Prova de Álgebra II - UFMS Corumbá 2022 - Definições, Grupos e Homomorfismos

UNIVERTSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL CAMPUS DE CORUMBÁ CORUMBÁ 2022 ALUNO A Álgebra II 1 Defina e dê exemplo 14pts a Lei de composição interna b Grupo comutativo c Homomorfismo de anéis d Corpos 2 Seja E um grupo comutativo Sabendo que E é fechado para a operação quais as propriedades que a operação precisa satisfazer para que E seja um anel comutativo 1pt 3 Seja E e a b c d f munido da operação dada pela tábua abaixo 16 pts e a b c d f e e a b c d f a a b e f c d b b e a d f c c c d f e a b d d f c b e a f f c d a b e a Admitindo a propriedade associativa mostrar que E é um grupo não comutativo b Obter os subgrupos de E de ordem 3 4 Verifique em cada caso se f é um homomorfismo de grupo caso seja será também um isomorfismo Determine o núcleo 2 pts a f Z X Z Z dada por fx y y onde Z e Z X Z são grupos aditivos b f Z Z dada por fx 3x Z 5 Considere as operações e em Q definidas por xy x y 3 e xy x y xy3 Mostrar que Q é um anel 18 6 Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de M2 R prove 12 pt a 0 L1 0 b a b R 0 a L2 c b a bc R 7 Determine o quociente e o resto da divisão euclidiana de f 4x2 6x 2 por g x2 1 pertencentes ao anel RX 1 pt BOA PROVA Questão 1 a Definição Lei de composição interna Seja Ē um conjunto não vazio a aplicação f Ē x Ē Ē é dita operação ou lei de composição interna sobre Ē Se x y Ē x y Ē Logo fx y x y x y Ē x Ē Exemplo A aplicação f IN x IN IN dada por fx y x y ou seja f associa a cada par x y de números naturais a sua soma x y IN A aplicação f é conhecida como operação de adição sobre IN b Definição Grupo comutativo Seja G um conjunto não vazio onde está definida uma operação entre pares de G denotada por G x G G x y x y Dizemos que o par G é um grupo se i w b c w b c w b c G ii e G tal que w e e w w w G iii w G b G tal que w b b w e Além disso se em um grupo G vale i 𝜔 b b 𝜔 𝜔 b G Dizemos que G é um grupo comutativo Em resumo um grupo comutativo é um grupo G em 𝜔 b b 𝜔 𝜔 b G Exemplo Z é um grupo comutativo Pois dados x y z Z temos i x y z x y z ii Elemento neutro e 0 Z é o elemento neutro x 0 0 x x iii Inverso se x Z então x Z é seu inverso x x x x 0 iv x y y x c Definição Homomorfismo de Anéis Sejam A B anéis A aplicação ou função f A B dizse um homomorfismo de A em B se i fx y fx fy x y A ii fx y fx fy x y A Exemplo Sejam Z Z x Z anéis A aplicação f Z Z x Z definida por fn n 0 n Z é um homomorfismo de anéis Pois dados m n Z i fn m n m 0 n m 0 0 n 0 m 0 fn fm Logo fn m fn fm ii fn m n m 0 n 0m 0 fn fm Logo fn m fn fm d Definição Corpos Seja K anel comutativo com unidade Dizemos que K é um corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso em relação a operação multiplicação ou seja se 0 K tal que 0 é não nulo existe 0¹ K tal que 0 0¹ 1 onde 1 é a unidade Exemplo O conjunto dos números reais ℝ é um corpo Conjunto dos números complexos ℂ é um corpo Questão 2 Seja E um grupo comutativo Sabendo que E é fechado para operação Queremos determinar quais as propriedades que a operação precisa satisfazer para que E seja um anel comutativo Como E é um grupo comutativo a seja i ω b c ω b c ω b c E Associativo ii ω b b ω ω b E comutatividade iii Elemento neutro e E tal que ω E vale ω e e ω ω iv Elemento inverso oposto ω E ω E tal que ω ω ω ω e Assum a operação deve satisfazer 1 Associatividade ω b c ω b c ω b c E 2 Distributiva à esquerda e à direita ω b c ω b ω c e ω b c ω c b c ω b c E 3 comutatividade ω b b ω Então se a operação satisfazer as propriedades de associatividade distributiva em relação a operação à esquerda e à direita e comutatividade Temos assim E é um anel comutativo Questão 3 Seja Ē e o b c d f munido da operação b vamos determinar os subgrupos de ordem 3 de Ē Observe que e ϵ Ē é o elemento neutro de Ē Pela tabela temos ω³ ω ω ω e b³ b b b e Logo ω e ω b b são únicos subgrupos de ordem 3 de Ē Questão 4 a f ℤ x ℤ ℤ dado por fxy y onde ℤ e ℤ x ℤ são grupos aditivos Vejamos se f é um homomorfismo Sejam x₁y₁ x₂y₂ ϵ ℤ x ℤ temos fx₁y₁ x₂y₂ fx₁ x₂ y₁ y₂ y₁ y₂ fx₁y₁ fx₂y₂ Logo f é um homomorfismo Determinemos o núcleo de f Temos se fxy 0 então y 0 Logo Nucf xy ϵ ℤ x ℤ y 0 Como Nucf 00 segue que f não é injetora Observe que f é sobrejetora Pois Imf y y ϵ ℤ ℤ Portanto f é um homomorfismo cujo núcleo é dado por Nucf xy ϵ ℤ x ℤ y 0 Como f não é injetora segue que f não é um isomorfismo b Seja f Z Z dada por fx 3x Z Vejamos se f é um homomorfismo Sejam xy Z temos fx y 3x y 3x 3y fx fy Logo f é um homomorfismo Núcleo de f Se fx 0 então 3x 0 ou seja x 0 Logo Nucf 0 Portanto f é injetora Vejamos se f é sobrejetora Observe que Imf 3x x Z Z Pois 2 Z mas 2 Imf pois 2 não é um múltiplo de 3 Logo f não é sobrejetora Portanto f é um homomorfismo cujo núcleo é dado por Nucf 0 implicando que f é injetora Mas f não é sobrejetora e portanto f não é um isomorfismo Questão 5 Considere as operações e em Q defini das por x y x y 3 x y x y xy3 Vejamos que Q é um anel lembrando Q wb wb Z e b 0 Sejam xyz Q onde x w1b1 y w2b2 z w3b3 com wi bi Z e bi 0 i 1 2 3 1 Associatividade de x y z w1b1 w2b2 w3b3 w1b1 w2b2 3 w3b3 w1b1 w2b2 3 w3b3 w1b1 3 w2b2 w3b3 3 w1b1 3 w2b2 w3b3 w1b1 w2b2 w3b3 x y z Logo x y z x y z 2 Elemento neutro para Queremos encontrar e Q tal que e x x e x x Q Seja e wb Q candidato a elemento neutro então vale e x x ou seja wb w1b1 wb w1b1 3 w1b1 isto é wb w1b1 3 w1b1 wb w1b1 w1b1 3 wb 3 Logo tomando ω3 b1 temos que e 31 3 ε Q é o elemento neutro para e x 3 ω1b1 3 ω1b1 3 ω1b1 e1 x e ω1b1 3 ω1b1 3 3 ω1b1 3 Elemento inverso para Queremos mostrar x ω1b1 ε Q x ωb ε Q tal que x x x x 3 Seja x ωb ε Q candidato a inverso de x ω1b1 ε Q Vale x x 3 ou seja ω1b1 ωb 3 Então ω1b1 ωb 3 3 ωb 3 3 ω1b1 ωb 6 ω1b1 ωb 6b1 ω1 b1 ε Q Logo o inverso de x ω b é x 6b1 ω1 b1 ε Q x x ω1b1 6b1 ω1 b1 ω1b1 6b1 ω1b1 3 ω1b1 6 ω1b1 3 3 4 comutatividade da operação x y ω1b1 ω2b2 ω1b1 ω2b2 3 ω2b2 ω1b1 3 ω2b2 ω1b1 y x Logo x y y x 5 Associatividade da operação x y z ω1b1 ω2b2 ω3b3 ω1b1 ω2b2 ω1ω23b1b2 ω3b3 ω1b1 ω2b2 ω1ω23b1b2 ω3b3 ω1b1 ω2b2 ω1ω23b1b2 ω33b3 Por outro lado x y z ω1b1 ω2b2 ω3b3 ω1b1 ω2b2 ω3b3 ω2ω33b2b3 ω1b1 ω2b2 ω3b3 ω2ω33b2b3 ω1b1 ω2b2 ω3b3 ω2ω33b2b3 ω1b1 ω2b2 ω3b3 ω2ω33b2b3 ω1ω23b1b2 ω1ω33b1b3 ω1ω2ω39b1b2b3 ω1b1 ω2b2 ω1ω23b1b2 ω3b3 ω1b1 ω2b2 ω1ω23b1b2 ω33b3 Logo x y z x y z 6 Distributividade à esquerda e à direita x y z w₁b₁ w₂b₂ w₃b₃ w₁b₁ w₂b₂ w₃b₃ 3 w₁b₁ w₂b₂ w₃b₃ 3 w₁3b₁ w₂b₂ w₃b₃ 3 w₁b₁ w₂b₂ w₃b₃ 3 w₁w₂3b₁b₂ w₁w₃3b₁b₃ w₁b₁ Por outro lado x y x z w₁b₁ w₂b₂ w₁b₁ w₃b₃ w₁b₁ w₂b₂ w₁w₂3b₁b₂ w₁b₁ w₃b₃ w₁w₃3b₁b₃ w₁b₁ w₂b₂ w₁w₂3b₁b₂ w₁b₁ w₃b₃ w₁w₃3b₁b₃ 3 w₁b₁ w₂b₂ w₃b₃ 3 w₁w₂3b₁b₂ w₁w₃3b₁b₃ w₁b₁ Logo x y z x y x z Agora temos x y z w₁b₁ w₂b₂ w₃b₃ w₁b₁ w₂b₂ 3 w₃b₃ w₁b₁ w₂b₂ 3 w₃b₃ w₁b₁ w₂b₂ 3 w₃3b₃ Por outro lado x z y z w₁b₁ w₃b₃ w₂b₂ w₃b₃ w₁b₁ w₃b₃ w₁w₃3b₁b₃ w₂b₂ w₃b₃ w₂w₃3b₂b₃ w₁b₁ w₃b₃ w₁w₃3b₁b₃ w₂b₂ w₃b₃ w₂w₃3b₂b₃ 3 w₁b₁ w₂b₂ 3 w₃b₃ w₁b₁ w₂b₂ 3 w₃3b₃ Logo x y z x z y z Portanto B₁ é um anel L2 0 ω ω b c IR c b Note que L2 Ø Pois tomando ωbc0 temos 0 0 0 0 L2 sejam 0 ω1 0 ω2 L2 c1 b1 c2 b2 0 ω1 0 ω2 0 ω1 ω2 L2 c1 c2 b1 b2 pois ω1 ω2 c1 c2 b1 b2 IR 0 ω1 0 ω2 0 ω1 c2 0 ω1 b2 se ω1 0 e c2 0 0 b1 c2 c1 a2 b1 b2 L2 Logo L2 não é um subanal de M2IR Em resumo Apenas L1 é um subanal de M2IR Questão 6 vejamos se os conjuntos L1 e L2 são subanais de M2IR L1 ω 0 0 b ω b IR Primeiro note que L1 Ø Pois tomando ω b 0 segue 0 0 0 0 L1 Sejam ω1 0 0 b1 ω2 0 0 b2 L1 Temos ω1 0 0 b1 ω2 0 0 b2 ω1 ω2 0 0 b1 b2 L1 pois ω1 ω2 b1 b2 IR ω1 0 0 b1 ω2 0 0 b2 ω1 ω2 0 0 0 0 0 0 b1 b2 ω1 ω2 0 0 b1 b2 L1 pois ω1 ω2 b1 b2 IR Portanto L1 é um subanal de M2IR Questão 7 sejam f 4x2 6x 2 e g x2 1 Temos algoritmo da divisão 4x2 6x 2 L x2 1 4 4x2 4 6x 2 Logo quociente é o polinômio constante qx 4 e IRx e o resto é o polinômio rx 6x 2 IRx