Algebra II - Definições, Propriedades de Grupos e Anéis, Homomorfismos e Divisão Euclidiana

ÁLGEBRA II 1 Defina e dê exemplo 14pts a Lei de composição interna b Grupo comutativo c Homomorfismo de anéis d Corpos 2 Seja E um grupo comutativo Sabendo que E é fechado para a operação quais as propriedades que a operação precisa satisfazer para que E seja um anel comutativo 1pt 3 Seja E e a b c d f munido da operação dada pela tábua abaixo 16 pts e a b c d f e e a b c d f a a b e f c d b b e a d f c c c d f e a b d d f c b e a f f c d a b e a Admitindo a propriedade associativa mostrar que E é um grupo não comutativo b Obter os subgrupos de E de ordem 3 4 Verifique em cada caso se f é um homomorfismo de grupo caso seja será também um isomorfismo Determine o núcleo 2 pts a f Z X Z Z dada por fx y y onde Z e Z X Z são grupos aditivos b f Z Z dada por fx 3x Z 5 Considere as operações e em Q definidas por xy x y 3 e xy x y xy3 Mostrar que Q é um anel 18 6 Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de M2 R prove 12 pt a 0 L1 0 b a b R 0 a L2 c b a bc R 7 Determine o quociente e o resto da divisão euclidiana de f 4x2 6x 2 por g x2 1 pertencentes ao anel RX 1 pt