Algebra B - UFPel - Atividade sobre Irredutibilidade de Polinômios em Q e Zp

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Algebra B Professora Liliana Jurado Atividade valendo presenca 1 Indicar Verdadeiro V ou Falso F a O polinˆomio fx x3 3x 15 e redutıvel sobre Q b Seja fx Zx irredutıvel sobre Z entao fx e irredutıvel sobre Q c O polinˆomio fx x4 x3 x2 x 1 e irredutıvel sobre Q d Seja fx x4 2 Z5x tem raızes sobre Z5 2 Passar os seguintes polinˆomios para Zpx a fx x4 20x3 8x2 4 Zx para Z2x b fx x3 10x3 13x2 1 Zx para Z3x 1 Algebra 2 MeuGuru Setembro 2023 Atividade Exercıcio 1 a O polinˆomio fx x3 3x 15 e irredutıvel sobre os numeros racionais Q Pelo criterio de Eisenstein 1 Se existe um numero primo p que divide todos os coeficientes do polinˆomio exceto o coeficiente lıder o termo de maior grau 2 E se p2 nao divide o coeficiente constante o termo independente do polinˆomio No caso de fx x3 3x 15 podemos verificar que p 3 divide todos os coeficientes exceto o coeficiente lıder que e 1 e 32 9 nao divide o coeficiente constante que e 15 Portanto a afirmacao O polinˆomio fx x3 3x 15 e redutıvel sobre Q e falsa b A afirmacao e verdadeira Se um polinˆomio fx e irredutıvel sobre os numeros inteiros Zx isso significa que ele nao pode ser fatorado em polinˆomios de grau menor com coeficientes inteiros a menos que seja uma unidade ou seja um numero inteiro invertıvel como 1 Agora se fx e irredutıvel sobre Zx entao ele tambem e irredutıvel sobre o campo dos numeros racionais Q porque Q e uma extensao dos numeros inteiros e herda as propriedades de irredutibili dade dos polinˆomios de Zx Portanto a afirmacao e verdadeira se fx e irredutıvel sobre Z entao fx tambem e irredutıvel sobre Q c A afirmacao e verdadeira O polinˆomio fx x4 x3 x2 x 1 e irre dutıvel sobre Q Neste caso pelo criterio de Eisenstein podemos ver que o numero primo 2 divide todos os coeficientes do polinˆomio exceto o coeficiente lıder que e 1 Alem disso 4 nao divide o coeficiente constante que e 1 Portanto o criterio 1 de Eisenstein se aplica e portanto o polinˆomio e irredutıvel sobre Q d A afirmacao fx x4 2 Z5x tem raızes sobre Z5 e falsa Para isso consideramos o Pequeno Teorema de Fermat O Teorema de Fermat afirma que para todo numero primo p e todo inteiro a que nao e multiplo de p ap1 1 mod I No nosso caso p 5 e a 2 Portanto 251 24 16 1 mod II No entanto 16 nao e congruente a 1 mod II o que significa que 2 nao e inversıvel nao tem inverso multiplicativo em Z5 Isso implica que o polinˆomio fx x4 2 nao tem raızes em Z5 uma vez que nao existe um valor x em Z5 que satisfaca a equacao fx 0 Exercıcio 2 a Para passar o polinˆomio fx x4 20x3 8x2 4 para Z2x onde p 2 realizamos a reducao dos coeficientes modulo 2 x4 x4 mod 2 x4 em Z2x 20x3 0x3 mod 2 0x3 em Z2x 8x2 0x2 mod 2 0x2 em Z2x 4 0 mod 2 0 em Z2x Portanto o polinˆomio em Z2x e fx x4 b Para passar o polinˆomio fx x3 10x3 13x2 1 para Z3x onde p 3 realizamos a reducao dos coeficientes modulo 3 x3 x3 mod 3 x3 em Z3x 10x3 1x3 mod 3 x3 em Z3x 13x2 1x2 mod 3 x2 em Z3x 1 1 mod 3 1 em Z3x Portanto o polinˆomio em Z3x e fx 2x3 x2 1 2