Anéis em Álgebra: Definições, Propriedades e Domínios de Integridade

Aneis Aneis Elisabete Sousa Freitas INMAUFMS 30 de maio de 2022 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Seja A um conjunto não vazio onde estejam definidas duas operações as quais chamaremos de adição e multiplicação denotadas por e A A A a b a b A A A a b a b Álgebra IIElisabete Anéis Aneis Definicao Dizemos que A e um anel se as seguintes 6 propriedades sao verificadas para quaisquer que sejam a b c A A1 a b c a b c A2 e A tal que a e e a a A3 x A existe y A tal que x y y x e A4 a b b a M1 a b c a b c AM a b c a b a c a b c a c b c Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Observacoes A2 Suponha e e A tais que a e e a a e a e e a a para todos a A Daı e e e e e e e portanto e e Concluimos que o elemento e e unico com esta propriedade ele e denominado o elemento neutro da adicao em A e sera indicado por 0 A3 Suponha x A e y y A tais que x y y x 0 e x y y x 0 Segue que y y 0 y x y y x y 0 y y Concluimos que o elemento y e unico com esta propriedade ele e denominado o oposto de x e sera denotado por x Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Dizemos que um anel A e um anel com unidade 1 se satisfaz a propriedade M2 f A f 0 tal que x f f x x para todo x A Observacao M2 Suponha f f A tais que x f f x x e x f f x x para todos x A Daı f f f e f f f portanto f f Concluimos que o elemento f e unico com esta propriedade ele e denominado o elemento unidade da multiplicacao em A e sera indicado por 1 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Dizemos que um anel A e um anel comutativo se satisfaz a propriedade M3 x y y x para todos x y A Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Dizemos que um anel A e um anel sem divisores do zero se satisfaz a propriedade M4 x y A x y 0 x 0 ou y 0 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Um Domınio de Integridade e um anel comutativo com unidade e sem divisores do zero Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Definicao Um Corpo e um anel comutativo com unidade que alem disso satisfaz a seguinte propriedade do elemento inverso M5 x A x 0 y A tal que x y y x 1 Observacao M5 Suponha x 0 e y y A tais que x y y x 1 e x y y x 1 Segue que y y 1 y x y y x y 1 y y Concluimos que o elemento y e unico com esta propriedade ele e denominado o inverso de x e sera denotado por x1 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exemplos Z Q R n Z com n inteiro Zn com n 1 natural com as operacoes usuais sao exemplos de aneis Observamos que 2 Z 2 m m Z e um anel comutativo mas nao possue unidade Z6 0 1 2 3 4 5 e um anel comutativo com unidade mas nao e domınio de integridade Z5 0 1 2 3 4 e um corpo Q e R sao corpos Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis ExercıcioProve que se A e um anel qualquer entao sao validas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x y z A a 0 x x 0 0 b x y x y x y c x y x y d x y z x y x z e y z x y x z x f 1 x x se 1 A g 1 1 1 se 1 A h 1 x x se 1 A Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis ExercıcioTodo corpo e um dominio de integridade Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Seja A um domınio de integridade e a b c A Prove que se a 0 e ab ac entao b c Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Exercício Seja D um domínio de integridade e seja a D a 0 Prove que a seguinte função é injetiva φₐ D D x a x Álgebra IIElisabete Anéis Aneis Exercıcio Use o exercıcio anterior para provar que todo domınio de integridade finito e um corpo Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Seja A um anel tal que x2 x para todo x A prove que A e um anel comutativo Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Seja A Z i a bi a b Z onde i2 1 e a bi c di a c e b d Vamos definir e em A do seguinte modo adicao a bi c di a b c di multiplicacao a bi c di ac bd ad bci Prove que A Z i e um domınio de integridade e calcule todos os elementos de Z i que sao invertıveis relativamente a multiplicacao Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Prove que se definirmos no conjunto FR de todas as funcoes f R R a soma usual de funcoes f gx f x gx e o produto como f gx f gx entao FR nao e um anel Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Calcule os divisores de zero nos seguinte aneis Z6 Z8 Z18 Z60 Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Sejam A um anel B um conjunto e f B A uma funcao bijetiva Para cada x y B definimos x y f 1f x f y e x y f 1f x f y Prove que B e um anel Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Aneis Exercıcio Considere R4 a b c d a b c d R com as operacoes definidas a seguir a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d a b c d aa bb cc dd ab abcd cd ac ac db db ad ad bc bc O conjunto R4 com as operacoes e sera denotado por Quat Prove que Quat e um anel com unidade nao comutativo e que satisfaz a propriedade M5 do elemento inverso OBS Dizemos que Quat e um anel de divisao tambem chamado de corpo nao comutativo Algebra IIElisabete INMAUFMS Aneis Exercício Todo corpo é um dominio de integridade Álgebra IIElisabete De tato seja A um corpo a b A tais que ab 0 Se a 0 nada a mostrar Se a 0 existe a¹ A tal que a¹ a 1 Logo 0 a¹ 0 a¹ ab a¹ a b 1 b b b 0 Logo A é domínio de integridade Exercício Prove que se definirmos no conjunto ℱℝ de todas as funções f ℝ ℝ a soma usual de funções f gx fx gx e o produto como f gx fgx então ℱℝ não é um anel Se fosse anel deveria valer AM Escolha fx x² gx x hx x Daí fghx fghx fx x f0 0 x ℝ e fgx fhx fgx fhx fx fx x² x² 2x² x ℝ Logo fghx fgx fhx e ℱℝ não é um anel Exercício Calcule os divisores de zero nos seguinte anéis Z6 Z8 Z18 Z60 Note que os divisores de 0 em Z6 são os divisores não triviais de 6 a saber 2 3 Para Z8 os divisores de zero são 2 4 em Z18 são 2 3 9 e em Z60 são os elementos 2 4 3 5 6 12 20 10 15 30 Exercício Prove que se A é um anel qualquer então são válidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam xyz A a 0 x x 0 0 b x y x y x y c x y x y d x y z x y x z e y z x y x z x f 1 x x se 1 A g 1 1 1 se 1 A h 1 x x se 1 A a Dado x A1 segue dos axiomas de anéis que x 0 x 0 0 v 0 x 0 Somando x 0 em ambos os lados 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 0 x 0 x 0 0 x 0 se faz analogamente b Dados x y A1 temos x y x y x x1 y 0 y 0 item a Pela unicidade do inverso aditivo concluímos que x Y x y Além disso x y x y x y y x 0 0 item a Pela unicidade do inverso aditivo temos x y x y Logo x y x y x y c Dado x A temos x A De x x 0 e pela unicidade do inverso aditivo temos x x Usando este fato e o item b x y x y xy xy d Como y z y z usando os axiomas de anul e o item b temos x y z x y z x y x z x y x z x y x z e Como y z y z usando os axiomas de anul e o item b temos y z x y z x y x z x y x z x y x z x f Se 1 A então x 1x 1x 1x 1 1x 0x 0 Item a Pela unicidade do inverso temos 1x x g Se 1 A então usando o item c 11 11 1 h Se 1 A então usando o item c 1x 1x x Exercício Seja A 𝕫i abi ab 𝕫 onde i² 1 e abi cdi a c e b d Vamos definir e em A do seguinte modo adição abi cdi a b c di multiplicação a bi c di ac bd ad bci Prove que A 𝕫i é um domínio de integridade e calcule todos os elementos de 𝕫i que são invertíveis relativamente à multiplicação Álgebra IIElisabete Vejamos que 𝕫i é anel de integridade A1 Dados abi cdi efi 𝕫i abi cdi efi abi cedfi ace bdfi acbdi efi abc cdf efi A2 Dados a bi 0 𝕫i onde 0 00i temos abi o a0 bi0 abi o é o elemento neutro de 𝕫i A3 Dado a bi Zi tome a bi Zi e note que a bi a bi a a b bi 0 0 i 0 A3 Dados a bi c di Zi a bi c di a c b di c d a bi c di a bi M1 Dados a bi c di e fi Zi a bi c die fi a bi ce df cf dei ace df bcf de acf de bce df i ac bde ad bcf ac bdf ad bcei ac bd ad bci e fi a bic di e fi AM Dados a b i c d i e f i Zi a b i c d i e f i a b ic e d f i ac e bd f ad f bc e i a c b d a d b c i k e b f a b e i a b ic d i a b ie f i e ainda c d i e f i a b i c e d f i a b i c e a d f b c e b d f a i c a d b c b d a i e a f b e b f a i c d ia b i e f ia b i Logo Zi é um anel Tomando 1 1 0 Zi Temos a b i 1 a1 b0 a0 b1 i a b i 1 a b i 1a 0b 1b 0a i a b i a b i Zi Portanto Zi possui unidade 1 Além disso a bic di ac bd ad bci ca db cb dai c di a bi abi cdi ℤi donde ℤi é comutativo Agora tome a bi c di ℤi tais que abicdi 0 Suponha que a 0 a seja a bi 0 Daí 0 ac bd ad bci ac bd 0 ad bc 0 Se b 0 então ac 0 e ad 0 donde c d 0 e segue que c di 0 Se b 0 então acd bd² 0 acd bc² 0 bc² bd² 0 bc² d² 0 c² d² 0 c d 0 Logo c di 0 o concluímos que ℤi é um domínio de integridade Agora vamos mostrar que os elementos invertíveis de ℤi são a bi ℤi a² b² 1 Com efeito se a bi ℤi e tal que a² b² 1 então abia bi 1 Se abia bi 1 segue que abi é invertível Se abiabi 1 então abiabi 1 donde a bi é invertível Agora se a bi é invertível então abicdi 1 para algum cdi ℤi ac bd ad bci 1 ac bd 1 e ad bc 0 Por outro lado a bic di ac bd ad bci 1 Logo 1 1 1 a bic dia bic di a² b²εℤ c² d²εℤ a² b² 1