Álgebra Linear

1 A Para determinar se os vetores 1 1 1 e 1 1 5 formam uma base para o espaço vetorial R³ precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram R³ Linearmente Independentes Dois vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação c₁v₁ c₂v₂ 0 é c₁ 0 e c₂ 0 Aqui v₁ 1 1 1 e v₂ 1 1 5 Vamos montar o sistema de equações c₁1 1 1 c₂1 1 5 0 0 0 Isso resulta nas equações 1 c₁ c₂ 0 2 c₁ c₂ 0 3 c₁ 5c₂ 0 Resolvendo o sistema Da equação 1 c₁ c₂ Substituindo na equação 2 c₂ c₂ 0 2c₂ 0 c₂ 0 Portanto c₁ 0 também Como a única solução é c₁ 0 e c₂ 0 os vetores são linearmente independentes B Para determinar se os vetores 1 1 1 1 2 3 e 2 1 1 formam uma base para R³ precisamos verificar se eles são linearmente independentes Para isso podemos montar uma matriz com esses vetores como linhas ou colunas e calcular o determinante Os vetores são v₁ 1 1 1 v₂ 1 2 3 v₃ 2 1 1 A matriz formada por esses vetores é A 1 1 11 2 32 1 1 Calculemos o determinante dessa matriz O determinante de A é dado por detA 1 2 1 3 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 2 Calculando cada termo 1 1 2 1 3 1 1 2 3 1 5 5 2 1 1 1 3 2 1 1 6 1 5 5 3 1 1 1 2 2 1 1 4 1 5 5 Somando os termos detA 5 5 5 5 Como o determinante é diferente de zero detA 5 os vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base para R³ Introdução á Álgebra Linear Atividade 05SI Prof Martinho da Costa Araújo Alunoa 24032025 1 Seja V R³ o espaço vetorial com as operações usuais Determine se os seguinte vetores formam uma base do espaço vetorial V R³ a 1 1 1 e 1 15 b 1 1 1 1 2 3 e 2 1 1 c 1 2 3 1 0 1 3 1 0 e 2 1 2 d 1 1 2 1 2 5 e 5 3 4 2 Determine uma base para os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial V R³ a S x y z R³ y 2x b S x y z R³ x 2z 0 c S x y z R³ 2x y 3z 0 d S x y z R³ x 3y e z y 3 Consider o espaço vetorial das matrizes 2 2 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar V M₂R x y w x y z w R Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços a W₂ a b a 5b c 0 c d b W₃ a b c a 3b e d 0 c d 4 No exercício anterior quem é dimW₂ W₃ Observação 1 Forma de entregar a Atividade 05 Teams em 29032025 C Para determinar se os vetores 1 2 3 1 0 1 e 3 1 0 formam uma base para o espaço vetorial V ℝ³ precisamos verificar se eles são linearmente independentes Isso pode ser feito calculando o determinante da matriz formada por esses vetores como linhas ou colunas A matriz é A 1 2 31 0 13 1 0 O determinante de A é calculado da seguinte forma detA 1 0 0 1 1 2 1 0 1 3 3 1 1 0 3 Calculando cada termo 1 1 0 1 1 1 1 2 2 0 3 2 3 6 3 3 1 0 3 1 3 Somando os termos detA 1 6 3 10 Como o determinante é diferente de zero detA 10 0 os vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base para ℝ³ Os vetores 1 2 3 1 0 1 e 3 1 0 formam uma base para o espaço vetorial ℝ³ D Para verificar se os vetores 1 1 2 1 2 5 e 5 3 4 formam uma base para ℝ³ precisamos verificar se eles são linearmente independentes Isso é feito calculando o determinante da matriz formada por esses vetores Se o determinante for diferente de zero então os vetores são linearmente independentes e formam uma base A matriz formada pelos vetores é 1 1 51 2 32 5 4 Calculamos o determinante desta matriz det 1 2 4 5 3 1 1 4 3 2 5 1 5 2 2 1 8 15 1 4 6 5 5 4 1 7 1 2 5 1 7 2 5 0 Como o determinante é zero os vetores são linearmente dependentes e não formam uma base para ℝ³ 2 A Para determinar uma base para o subespaço vetorial S x y z ℝ³ y 2x começamos analisando a condição dada y 2x Podemos expressar os vetores no subespaço S em termos de duas variáveis livres x e z 1 Como y 2x podemos escrever qualquer vetor em S como x 2x z Agora vamos expressar este vetor como uma combinação linear dos vetores que formam uma base para S Observe que x 2x z x1 2 0 z0 0 1 Portanto os vetores 1 2 0 e 0 0 1 são candidatos a formar uma base para o subespaço S Verificação de linearidade O vetor 1 2 0 corresponde ao caso onde x 1 e z 0 O vetor 0 0 1 corresponde ao caso onde x 0 e z 1 Esses vetores são linearmente independentes e geram o subespaço S pois qualquer vetor x 2x z pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores Assim uma base para o subespaço S é dada por 1 2 0 0 0 1 B Para determinar uma base para o subespaço vetorial S x y z R³ x 2z 0 vamos expressar as condições do subespaço em termos de vetores livres A condição x 2z 0 pode ser reescrita como x 2z Assim podemos parametrizar os vetores do subespaço como x y z 2z y z Podemos escolher z 1 e y 0 para obter um vetor 2 0 1 E podemos escolher z 0 e y 1 para obter outro vetor 0 1 0 Os vetores 2 0 1 e 0 1 0 são linearmente independentes e geram todo o subespaço Portanto uma base para o subespaço é 2 0 1 0 1 0 C Para determinar uma base para o subespaço vetorial S x y z R³ 2x y 3z 0 começamos analisando a equação dada 2x y 3z 0 Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras Vamos escolher expressar y em função de x e z y 2x 3z Agora podemos parametrizar as soluções em termos de x e z Escolhemos x t e z s onde t s R Substituindo na expressão de y temos y 2t 3s Assim um vetor genérico no subespaço S pode ser escrito como x y z t 2t 3s s Podemos separar isso em dois vetores que geram o espaço 1 Quando t 1 e s 0 1 2 1 3 0 0 1 2 0 2 Quando t 0 e s 1 0 2 0 3 1 1 0 3 1 Portanto uma base para o subespaço S é dada pelos vetores 1 2 0 0 3 1 Esses vetores são linearmente independentes e geram o subespaço definido pela equação 2x y 3z 0 D Para determinar uma base para o subespaço vetorial S x y z R³ x 3y e z y vamos expressar os vetores em termos de um parâmetro Dadas as equações x 3y e z y podemos escolher y t como parâmetro Então x 3t y t z t Assim um vetor genérico do subespaço pode ser escrito como x y z 3t t t t3 1 1 Portanto uma base para o subespaço é o vetor 3 1 1 Como esse vetor não é o vetor nulo ele forma uma base do subespaço unidimensional gerado por ele 3 A Passo 1 Expressar a restrição A condição 𝑎5𝑏𝑐0 pode ser reescrita como 𝑎5𝑏𝑐 Assim cada matriz no subespaço 𝑊₂ tem a forma 𝑎 𝑏𝑐 𝑑5𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑑 Passo 2 Identificar os vetores geradores Podemos expressar qualquer matriz em 𝑊₂ como uma combinação linear dos vetores geradores Escolhemos 𝑏𝑐 e 𝑑 como variáveis livres 5𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑑𝑏5 1 0 0𝑐1 0 1 0𝑑0 0 0 1 Passo 3 Determinar uma base Os vetores geradores são 5 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Estes vetores são linearmente independentes e formam uma base para o subespaço 𝑊₂ Passo 4 Determinar a dimensão Como temos três vetores linearmente independentes a dimensão do subespaço 𝑊₂ é 3 Portanto uma base para 𝑊₂ é 5 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 E a dimensão de 𝑊₂ é 3 B Para o subespaço 𝑊₃𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑐𝑎3𝑏 e 𝑑0 precisamos encontrar uma base e a dimensão As condições dadas são 1 𝑐𝑎3𝑏 2 𝑑0 Podemos expressar as matrizes do subespaço 𝑊₃ na forma 𝑎 𝑏 𝑎3𝑏 0 Aqui 𝑎 e 𝑏 são parâmetros livres Vamos expressar a matriz como uma combinação linear de vetores 𝑎 𝑏 𝑎3𝑏 0𝑎1 0 1 0𝑏0 1 3 0 Os vetores 1 0 1 0 e 0 1 3 0 são linearmente independentes e formam uma base para 𝑊₃ Portanto a dimensão de 𝑊₃ é 2 Base de 𝑊₃ 1 0 1 0 0 1 3 0 Dimensão de 𝑊₃ 2 4 Para determinar a dimensão de 𝑊₂𝑊₃ precisamos encontrar uma base para essa soma de subespaços e calcular sua dimensão Vamos começar analisando as condições dadas para 𝑊₂ e 𝑊₃ Subespaço 𝑊₂ As condições são 𝑎5𝑏𝑐0 Podemos expressar 𝑎 em termos de 𝑏 e 𝑐 𝑎5𝑏𝑐 Assim uma matriz genérica em 𝑊₂ é 𝑎 𝑏𝑐 𝑑5𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑑𝑏5 1 0 0𝑐1 0 1 0𝑑0 0 0 1 Portanto uma base para 𝑊₂ é 5 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A dimensão de 𝑊₂ é 3 Subespaço 𝑊₃ As condições são 𝑐𝑎3𝑏 𝑑0 Podemos expressar 𝑐 em termos de 𝑎 e 𝑏 𝑐𝑎3𝑏 Assim uma matriz genérica em 𝑊₃ é 𝑎 𝑏𝑐 𝑑𝑎 𝑏𝑎3𝑏 0𝑎1 0 1 0𝑏0 1 3 0 Portanto uma base para 𝑊₃ é 1 0 1 0 0 1 3 0 A dimensão de W3 é 2 Soma W2 W3 Para encontrar a base de W2 W3 juntamos as bases de W2 e W3 e verificamos a linearidade 5 10 0 1 01 0 0 00 1 1 01 0 0 1 3 0 Verificamos a independência linear desses vetores Após simplificação encontramos que eles são linearmente independentes Portanto a dimensão de W2 W3 é 4