Lista 5 - 2023-1

(10) B B = { (1 0| 1 1), (2 1| 0 0) , (0 1| 1 0), (0 0| 0 2) } (0 0| 0 0) = α (1 0| 1 1) + β (2 1| 0 0) + γ (0 1| 1 0) + δ (0 0| 0 2) = (α α| α + 2β β) + (0 0| 0 0) + (β 0| γ 0) + (0 0| 0 2δ) = (α + 2β β| α + β + γ γ) ( α + 2β = 0 | α + β + γ = 0 ) α = -β = -2β α = β = 0 γ = 0 δ = 0 /\ α = β = γ = δ = 0 |\/| matrizes são LI SIM! É uma base de M₂(ℝ) (10) C (0,0,0,0) = α(1,1,1,1) + β(1,1,1,0) + γ (1,1,0,0) + δ(1,0,0,0) (0,0,0,0) = (α + β + γ + δ, α + β + γ, α + β, α) α = 0 β = -α = 0 γ = -α - β = 0 δ = -α - β - γ = 0 /\ |/\| conjunto LI É uma base de ℝ^4 (9) C α (m, 2n) + β (3, m+ n, m - 1) = (0,1,0) ↓ (0,0,0) = (αm + 3β, 2α + βm + βn, αn + βm - β) αm + 3β = 0 2α + βm + βn =0 αn + βm - β = 0 (2- n ) α + β (n +1) = 0 (2- n ) α + β (n +1) = 0 α = β (n+1) / (n-2) Subst. αm + 3β = 0 βm(n+1) + 3β = 0 → βm(n+1) = -3β = 3β/ (n-2) β = ( (n -2) - n^2 + 2m)/2 = 0 βm (n+1) (2-n) / (2-n) = 0 Para que seja LI , obviamente β=0 então fazemos 2m - mn - 2 - n^2 ≠ 0 → 2m - mn - 2 - n^2 ≠ 0 m^2 + nm + (2 - 2m) ≠ 0 _ _ n ≠ -m ± √(m^2 + 4(1)(2 - 2m)) 2( 1 ) _n = -m ± √ (m^2 + 8(m - 1))_/2_ (2) b α(m+v) + β (μ -v) + γ(μ -2υ) = (0,0,0) αμ + αxσ + βμ - βσ + γμ - 2γσ = 0 (α + β + γ)μ + (α - β -2γ)σ + (αγ)βσ + βw = 0 γ = 0 → α+ β = 0 → α = - β → α = β = 0 α - β = 0 disj α = β O conjunto e LI! (2) d α(μ+υ) + β(μ +υ+ w) + γw = 0 αμ + αxσ + βμ + βσ + βw + γw = 0 (α + β)μ +(α + β)υ + (β + γ)w = 0 β = -α β = -γ α = γ = β = -β conjunto LD. Ui = (xi, yi, zi) (0,0,0) = \alpha U1 + \beta U2 + \gamma U3 = (\alpha x1, \alpha y1, \alpha z1) + (\beta x2, \beta y2, \beta z2) + (\gamma x3, \gamma y3, \gamma z3) = (\alpha x1 + \beta x2 + \gamma x3, \alpha y1 + \beta y2 + \gamma y3, \alpha z1+ \beta z2 + \gamma z3) (\alpha x1 + \beta x2 + \gamma x3) = 0 \alpha y1 + \beta y2 + \gamma y3 = 0 \alpha z1 + \beta z2 + \gamma z3 = 0 Se \alpha = \beta = \gamma, teríamos a solução LI Então, como queremos solução LD, as possibilidades \underline{são infinitas} U1 = (1,0,0) , U2 = (0,1,1) , U3 = (2,2,2) \rightarrow \alpha + 2\gamma = 0 \rightarrow \alpha = -2\gamma = \beta \beta + 2\gamma = 0 \beta + 2\gamma = 0 \alpha - \beta = -2\gamma \gamma é livre infinitas soluções Lista 5 Álgebra Linear 1. Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique. (a) S = {(−1, 0, 2, 0, 1), (0, 1, 0, −2, 1), (−2, 3, 4, −6, 5)}, V = \mathbb{R}^5. (b) S = {(2, −1, 3)}, V = \mathbb{R}^3. (c) S = {(2, −1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}, V = \mathbb{R}^3. (d) * S = {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}, V = \mathbb{R}^3. (e) S = {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12)}, V = \mathbb{R}^3. (f) S = {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (0, 0, 1)}, V = \mathbb{R}^3. (g) S = {(1, 2), (−3, 1)}, V = \mathbb{R}^2. (h) S = {1 + x + x^2, 2 + 5x − 9x^2}, V = P_3(\mathbb{R}). (i) S = \left\{ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \right\}, V = M_2(\mathbb{R}). (j) S = {(1, 2, 2, −3), (−1, 4, −2, 0)}, V = \mathbb{R}^4. (k) * S = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 10 & 5 & 7 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}, V = M_3(\mathbb{R}). 2. Seja S = {u, v, w} um conjunto L.I. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta. (a) S_1 = {u + v, u + v + w}. (b) * S_2 = {u + v, u − v, u − 2v + w}. (c) S_3 = {u − v, v − w, w − u}. (d) * S_4 = {u + v, u + v + w, u}. 3. * Dê um exemplo em \mathbb{R}^3 mostrando que se o conjunto de vetores for L.D., então a representação de combinação linear não será única. 4. Mostre que se u, v, w é um conjunto L.I., então {u + v, u + w, v + w} também é um conjunto L.I. 5. * Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2, −1, 1) geram o \mathbb{R}^3 e encontrar uma base para \mathbb{R}^3 dentre esses vetores. 6. Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M_2(\mathbb{R}): S = \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right). 7. * Mostre que os polinômios 1, 1 − x, (1 − x)^2, (1 − x)^3 geram P_3(\mathbb{R}). 8. * Verifique se P_2(\mathbb{R}) é gerado por S = {1 + x, x + 2x^2, 1 − x^2}. 9. Determinar m, n \in \mathbb{R} para que os subconjuntos de vetores de \mathbb{R}^3 dados abaixo sejam L.I. em \mathbb{R}^3. (a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)}. (b) {(1, 3, 5), (2, m + 1, 10)}. (c) * {(m, 2, n), (3, m + n, m − 1)}. 10. Verificar em cada um dos casos se o subconjunto B do espaço vetorial V é uma base de V . (a) B = {1, 1 + x, 1 − x^2, 1 − x − x^2 − x^3}, V = P_3(\mathbb{R}) (b) * \mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \right\}, V = M_2(\mathbb{R}). (c) * \mathcal{B} = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}, V = \mathbb{R}^4.