Lista 6 - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CˆAMPUS UNIVERSIT´ARIO DE V´ARZEA GRANDE FACULDADE DE ENGENHARIA Lista de Exerc´ıcios 6 - ´Algebra Linear 2021/I Profa. Gl´aucia A S Miranda (Turma VQ1) 1. Identificar a cˆonica, achar a equa¸c˜ao no ´ultimo sistema de coordenadas utilizado, determinar os focos (as ass´ıntotas, caso seja uma hip´erbole) e fazer um esbo¸co do gr´afico nesse sistema. (a) 9x2 − 4xy + 6y2 − 30 = 0; (b) 3x2 − 8xy − 12y2 + 81 = 0; (c) 8x2 + 8y2 − 16xy + 33 √ 2x − 31 √ 2y + 70 = 0; (d) xy + x + y = 0. 2. Seja A uma matriz sim´etrica de ordem 2. Prove que os autovetores de A associados a auto- valores diferentes s˜ao ortogonais. 3. Entre as fun¸c˜oes dadas abaixo, verifique quais s˜ao transforma¸c˜oes lineares. (a) T : IR 2 → IR 2; T(x, y) = (x 2, y). (b) T : IR 2 → IR 2; T(x, y) = (x, x + 1). (c) T : IR 2 → IR 2; T(x, y) = (x + y, x − y). 4. Considere a aplica¸c˜ao T : IR 2 → IR 3 definida por T(x, y) = (x + ky, x + k, y). Verifique em que casos T ´e linear: k = x, k = 0, k = 1, k = y. 5. Seja T : U → V transforma¸c˜ao linear tal que T(u) = 3u e T(v) = u − v. Calcular em fun¸c˜ao de u e v : (a) T(u + v) (b) T(3v) (c) T(4u − 5v). 6. Seja T : U → V uma aplica¸c˜ao linear entre espa¸cos vetoriais reais. Mostre que (a) Se T ´e transforma¸c˜ao linear, ent˜ao T(0U) = 0V .(Transforma¸c˜ao linear leva vetor nulo em vetor nulo). (b) T ´e transforma¸c˜ao linear se, e somente se, T(αu + βv) = αT(u) + βT(v), para quaisquer u, v ∈ U e α, β ∈ IR. 1 7. Seja T : IR 3 → IR 2 uma transforma¸c˜ao linear definida por T(1, 1, 1) = (1, 2), T(1, 1, 0) = (2, 3) e T(1, 0, 0) = (3, 4). (a) Determine T(x, y, z). (b) Determine v ∈ IR 3 tal que T(v) = (−3, −2). (c) Determine v ∈ IR 3 tal que T(v) = (0, 0). 8. Encontrar a transforma¸c˜ao linear T : IR 2 → IR 2 que leva um ponto (x, y) em: (a) sua reflex˜ao em torno da reta y = −x. (b) sua reflex˜ao atrav´es da origem. (c) sua proje¸c˜ao ortogonal sobre o eixo x. 9. Dadas as transforma¸c˜oes lineares T : IR n → IR m, fa¸ca o que se pede: (i) Determinar o n´ucleo, uma base para este subespa¸co e a sua dimens˜ao. T ´e injetora? Justifique. (ii) Determinar a imagem de T, uma base para este subespa¸co e sua dimens˜ao. T ´e sobreje- tora? Justifique. (iii) Quais dos seguintes vetores (1, −1, 1), (0, 0, 0), (−3, 3, 3) pertencem ao n´ucleo de T na letra (b)? (a) T(x, y) = (x + y, x, 2y) (b) T(x, y, z) = (x + y, y + z). 10. Considere T : IR 3 → IR 3 dada por T(x, y, z) = (x, y, 0). Qual ´e o n´ucleo e a imagem da transforma¸c˜ao linear? Neste caso, o que representam estes conjuntos geometricamente? Qual a rela¸c˜ao entre a dimens˜ao da imagem, a dimens˜ao do n´ucleo e a dimens˜ao do dom´ınio da transforma¸c˜ao? 11. Se T : V → W ´e uma transforma¸c˜ao linear, mostre que Im(T) e N(T) s˜ao subespa¸cos vetoriais de W e V respectivamente. 12. Determine uma transforma¸c˜ao linear T : IR 3 → IR 2 cujo n´ucleo seja gerado pelos vetores e1 = (1, 0, 0) e e2 = (0, 1, 0). 13. Determine uma transforma¸c˜ao linear T : IR 2 → IR 3 cuja imagem seja gerada pelos vetores v1 = (1, 1, 1) e v2 = (0, 1, 1). 14. Seja F : V → IR 5 uma transforma¸c˜ao linear. 2 ´Algebra Linear - Profa. Gl´aucia A S Miranda 2 (a) Se F' é sobrejetora e dim N(F’) = 2, qual 6 a dim(V)? (b) Se F’ é injetora e sobrejetora, qual 6 a dim(V)? 15. Considere os operadores lineares do JR? definidos por T(z, y,z) = (x — 3y — 2z,y — 4z,z) e T(x, y, 2) = (a,x —y, 24 +y— 2). Verifique quais dos operadores lineares acima sao isomorfismos. Para os que forem, determine o isomorfismo inverso. Caso negativo ache uma base para N(T) e Im(T). 16. Sejam S : IR? > IR? dada por S(z,y) = (y,z) e T : R? > R? dada por T(z,y) = (—2z,y). Geometricamente, S e T produzem reflexdes em relagéo as retas y = ceux = 0, respectivamente. Determine: (a) S~*(a,y). (b) T (2, y). (c) (So T)(z, y) e interprete geometricamente. (d) (0 S)(z, y) e interprete geometricamente. 17. Seja T : IR? > R? a reflexéo em torno da reta y = 3x. Encontre uma base B de JR? tal que 1 0 T\p = . "Ie | 0 -1 | 18. Seja T : R?® — R®* um operador linear tal que T(z, y, z) = (wv — y, x + 2y — z,y — 2). (a) Encontre [T]2, sendo B = {(1,0,0), (0,1, 1), (1,0,1)} e C = {(1,0, 1), (0, 1, 1), (0,0, 1)}. (b) Se [T(v)]c = (12 — 1), encontre v. . . 1 3 19. Sejam os vetores v; = (1,3), vg = (—1,4) e a matriz [T]_p = | > 5 | , onde B = {v1, vo}. (a) Determine |T'(v1)]p e [T(v2)]p- (b) Encontre T(v,) e T (v2). (c) Encontre T(z, y). 0 2 20. Determine a transformacao linear T : R? — IR® tal que [T|G = | —1 0 |, onde —1 3 B= {(1,1),(0,1)} e C = {(0, 3,0), (—1, 0,0), (0,1, 1)}. 21. Sejam T, : IR? > IR? e Ty: IR? + R? dadas por T;(x,y) = (32 — y, -32 + y) e T(z, y) = (x + y, ©, 2y). 3 Algebra Linear - Profa. Gladucia A S Miranda 3 (a) Calcule T, 0 T; : IR? > IR®. (b) Mostre que T> o T; é uma transformagao linear. (c) Calcule [Ti] ,, [Tx] B© e [T20T)]G, onde C e B sao as bases canénicas do IR? e R®*, respectivamente. (d) Compare as matrizes [T2]§, . [Te e [Ty 0 Ti]%. O que vocé observa? 22. Seja T : IR? + JR? uma transformacao linear que dobra 0 comprimento do vetor u = (2,1) e triplica o comprimento do vetor v = (1,2) sem alterar as diregoes e nem inverter os sentidos. (a) Determine T(z, y). (b) Qual é a matriz do operador T na base {(2, 1), (1,2)}. 23. Verifique se o vetor v dado é autovetor do correspondente operador linear. 2 2 ns 2 (a) v = (-2,1), [T]o = 13 e C' base canonica de JR“. 111i (b) v = (1,1,2), [Tle = | 0 2 1 | eC éa base canénica de R®. 0 2 3 24. Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformacoes lineares: (a) T: IR? > R?, T(2,y) = («4+ 2y, —x + 4y). (b) T: JR? > R?, T(x, y) = (2x + 2y, x + 3y). (c) T: IR? 5 R3, T(x, y, z) = (a@ + y+ 2, 2y + 2, 2y + 32). (d) T: IR? > R3, T(x, y, z) = (x, -22 — y, 24 + y + 22). 25. Verifique se a transformacao linear T : R*® > IR? dada por T(z,y, z) = (x,y, x — 3y + 22) é diagonalizavel. Caso a resposta seja positiva, indique a matriz diagonal de T’ e a base em relacao a qual T' é diagonalizavel. 26. Dé exemplos de: (a) Um operador linear em IR? que nao possui autovalores reais. (b) Um operador linear em JR? que satisfaca todas as condic6es a seguir: i. T é diagonalizavel; ii. T nao é injetora; iii. T(v) # v, para qualquer vetor nao nulo; iv. \ = 2 é autovalor de T; 4 Algebra Linear - Profa. Gladucia A S Miranda 4 v. v0 = (1, 0, −1) ´e autovetor de T; vi. T(v0) ̸= v0; vii. (0, 0, 2) ∈ Im(T). Gabarito 1. (a) (x′)2 6 + (y′)2 3 = 1, uma elipse. (b) 13 81(x′)2 − 4 81(y′)2 = 1, uma hip´erbole. (c) x′′ 8 + (y′′)2 = 1, uma par´abola. (d) (x′′)2 2 − (y′′)2 2 = 1, uma hip´erbole. 2. Demonstra¸c˜ao. 3. Os itens (a) e (b) n˜ao s˜ao transforma¸c˜oes lineares e o item (c) ´e transforma¸c˜ao linear. 4. Somente para k = 0 temos que T ´e transforma¸c˜ao linear. 5. (a) 4u − v. (b) 3u − 3v. (c) 7u + 5v. 6. Demonstra¸c˜ao. 7. (a) T(x, y, z) = (3x − y − z, 4x − y − z). (b) v ´e qualquer vetor pertencente ao conjunto {(1, 6 − c, c); c ∈ IR}. (c) v ´e qualquer vetor pertencente ao subespa¸co [(0, −1, 1)]. 8. (a) T(x, y) = (−y, −x). (b) T(x, y) = (−x, −y). (c) T(x, y) = (x, 0). 9. (a) N(T) = {(0, 0)} e Im(T) = [(1, 1, 0), (1, 0, 2)]. (b) N(T) = {(−y, y, −y); y ∈ IR} e Im(T) = {[(1, 0), (0, 1)]}. Temos (0, 0, 0), (1, −1, 1) ∈ N(T). 5 ´Algebra Linear - Profa. Gl´aucia A S Miranda 5 10. N(T) = [(0,0,1)]. Geometricamente representa 0 eixo z. Im(T) = {(2,y, z) € IR’; z = 0}. Geometricamente é 0 plano zy. 11. Demonstragao. 12. T(x, y, z) = (2,2). 13. T(z, y) = (@,e+y," +). 14. (a) dimV = 7. (b) dimV = 5. 15. Ambos sao isomorfismos. As inversas sao T’~!(x, y, z) = (v+3y+14z, y+4z,z)eT (2, y, z) = (x, x — y, 3x — y — z), respectivamente. 16. (a) ST1=8. (b) T-1=T. (c) (SoT)(x,y) = (y, —x). Rotagao de 90° no sentido horario. (d) (To S)(z,y) = (—y, x). Rotagao de 90° no sentido anti-horario. 1 -l 1 18. (a) [T]8 = 1 1 Of. —2 0 -2 1 1 5 (b) v= (5 5 -§] : 1 3 19. (a) [Tw] = | 5 | ; [P(v2)|B = | 5 | (b) T(v,) = (38, —5), T(v2) = (—2, 29). 182 +y —107ax + 24y (c) T(a,y) = | ———, ———— } . 7 7 20. T(x, y) = (x, —10x% + 9y, —4a + 3y). 21. (a) Th 0 Ty(x, y) = (0, 32 — y, —6x + 2y). 5 2y —2 10 2. (a) T(x,y) = (a =o) . 3 3 2 0 b) [T|2 = ; wim-[22 6 Algebra Linear - Profa. Gladucia A S Miranda 6 23. (a) Sim. (b) Sim. 24. (a) λ1 = 2, v1 = (2, 1); λ2 = 3, v2 = (1, 1). (b) λ1 = 4, v1 = (1, 1); λ2 = 1, v2 = (−2, 1). (c) λ1 = 1, v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, −1, 1); λ2 = 4, v3 = (1, 1, 2). (d) λ1 = −1, v1 = (0, −3, 1); λ2 = 1, v2 = (−1, 1, 1); λ3 = 2, v3 = (0, 0, 1). 25. T ´e diagonaliz´avel. Uma base que diagonaliza T ´e B = {(−1, 0, 1), (3, 1, 0), (0, 0, 1)} e [T]B =    1 0 0 0 1 0 0 0 2    . 26. (a) T(x, y) = (y, −x) (b) T(x, y, z) = (0, 3y, 2x + 2z). 7 ´Algebra Linear - Profa. Gl´aucia A S Miranda 7