Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo-2021 2

PSMP - DCA - UFRN PAULO S. MOTTA PIRES ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Notas de Aula - versão 0.2 SLIT Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Departamento de Engenharia de Computação e Automação Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN PSMP - DCA - UFRN Definições Um sistema é qualquer processo que transforma sinais. Nessas Notas de Aula, um sistema será representado pelo diagrama mostrado na Figura SISTEMA ENTRADA RESPOSTA EXCITAÇÃO SAÍDA A entrada ou excitação corresponde ao sinal que se deseja modificar; a saída ou resposta corresponde às transformações realizadas pelo sistema sobre o sinal de entrada, SAÍDA = Transformação(ENTRADA) ou ENTRADA −→ SAÍDA Classificação dos Sistemas 1. Sistemas de tempo contínuo - O sinal de entrada de tempo contínuo, x(t), é transformado em um sinal de saída de tempo contínuo, y(t); SISTEMA t x(t) y(t) ou x(t) −→ y(t) 2. Sistemas de tempo discreto - O sinal de entrada de tempo discreto, x(n), é transformado em um sinal de saída de tempo discreto, y(n); SISTEMA n x(n) y(n) versão 0.2- documento gerado em 28/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN ou x(n) −→ y(n) 3. Sistemas lineares - satisfazem ao princípio da superposição. Se x1(t) provoca Sistemas lineares no sistema uma saída y1(t) e se x2(t) provoca, no mesmo sistema, a saída y2(t), x1(t) −→ y1(t) x2(t) −→ y2(t) então, para esse sistema é válida a propriedade de aditividade, x1(t) + x2(t) −→ y1(t) + y2(t) Se x(t) provoca no sistema a saída y(t), x(t) −→ y(t) então, para esse sistema é válida a propriedade da homogeneidade, αx(t) −→ αy(t) Na Figura, mostramos um sistema linear para o qual o princípio da superpo- sição (aditividade e homogeneidade) é válido. SISTEMA α1x1(t) α1y1(t) α2y2(t) α2x2(t) SISTEMA αkyk(t) αkxk(t) SISTEMA . . . x(t) y(t) versão 0.2- documento gerado em 28/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br Para o sistema mostrado na Figura, temos a x1(t) —> aryr(t) W2X2(t) —> azyo(t) OXK(E) —> aye (E) que pode ser escrita na forma k k x(t) = Y > ajixi(t) —> ) aiyi(t) = y(t) i=0 i=0 Os multiplicadores «; sao constantes. Verificamos, assim, que a resposta total do sistema é a combinacao linear das respostas causadas por cada sinal de entrada. 4. Sistemas invariantes no tempo - sdo sistemas para os quais um deslocamento no tempo no sinal de entrada causa um deslocamento idéntico no tempo no sinal de saida. Assim, se Sistemas invariantes no x(t) — y(t) tempo entao x(t _ to) —_ y(t Zz to) onde tg é o deslocamento. Nessas Notas DE AuLA abordaremos apenas os Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo - SLIT. Sistema Linear e Invariante no Tempo Vimos que P x(t)d(t — to) = x(to)o(t — to) . 2 t t desde que a fungdao x(t) seja continua em fp. Fazendo tp = T, temos x(t) SLIT y(t) x(t)d(t — T) = x(t)d(t — T) Integrando, temos ©C © cC / x(t)5(t — t)dt = x(t) / 5(t — Ddt = x(t) = / x(1)d(t — t)dt —oo —oo —oo ee—_«s»>___ =1 VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 28/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Dai, uma sinal qualquer, x(t), pode ser escrito em funcao da funcao impulso, (tf), na forma x(t) = / x(1)d(t — t)dt Funcao Resposta ao Impulso Resposta ao impulso, h(t), € a resposta de um sistema linear e invariante no tempo quando a sua entrada é uma fungao impulso, 6(f). o(t) h(t) SLIT Por ser um SLIT, uma entrada impulso deslocado, 6(¢ — T), vai gerar uma resposta ao impulso deslocada, h(t — T). o(f — T) h(t — T) SLIT Entdao, fo. OE — Td fo. Wt — Dt SLIT ou co co | 5(t—1dt — / h(t — tt A saida de um sistema é a transformacdo do seu sinal de entrada, y(t) = T[x(6)| Dai, y(t) =T| / x(t)6(t—t)dt] = T| / x(t)d(t— 1dr] = x()T| / b(t — 1dr] Como co co T| / 6(t— tat] = / h(t — t)dt VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 28/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR podemos escrever y(t) = x(t) / h(t — Ddt = / x(t)h(t — t)dt ou xo y(t) = x(t) * h(t) = / x(t)h(t — t)dt A operacao representada por * é chamada de convolucao (1é-se convolugéo A convolucdo, como defi- de x(t) com h(t)). A integral que define a operacdo é chamada de integral de _ nida, €é uma operacao entre convolucao. duas fung6es no dominio Podemos verificar que a saida de um SLIT depende do sinal de entrada, x(t), 40 tempo tendo como resul- e da resposta ao impulso, h(t), do sistema. Em outras palavras, se a resposta tado outra fungao no domi- ao impulso for conhecida, a resposta do SLIT pode ser obtida para qualquer ‘® do tempo. Essa opera- entrada cao é realizada resolvendo- Propriedades da Convolucao se ema integral. Para que a integral resulte em uma fun- 1. Propriedade comutativa ga do tempo, € necessario que o tempo, f, e outra va- x(t) * h(t) = h(t) * x(t) = / x(t)h(t — t)dt = | h(x)x(t — t)dt navel, T, estejam envolvidas —oo —oo e que a integracao seja feita em relacdo a essa outra va- 2. Propriedade associativa riavel. Assim, na integral de convolucao, t é constante e [x(t) * hy(t)] * ho(t) = x(£) * [hi (£) * ho(f)] = x(t) * [ho(f) * 1 ()] a integral é feita em relacdo aT. 3. Propriedade distributiva x(E) « [ny (t) + ha(t)] = x(t) * y(t) + x(t) * h(t) Exemplo1 Calcular a resposta, y(t), de um SLIT com entrada x(t) = p(t) e resposta ao impulso dada por h(t) = u(t) Temos, y(t) = h(t) * x(t) = / x(t)h(t — t)dt VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 28/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Entao, lembrando que p(t) = tu(t), 0O © y(t) = / p(t)u(t — tT)dt = / Tu(T)U(t — T)dT —oo —oo Observando que, na integral de convolucdo, tf € uma constante, podemos verifi- car que o produto de funcdes degrau unitario resulta na fungdo mostrada na Figura Por definicao, u(t) 1; t-—TtT>0 u(t — T) = 0; t-t<0O e, entao, t T 1, tT<t u(t — T) = u(t — T) 0; t>t Observar que a reflexado da t fungao u(t — T) 6 em torno t da constante t. u(T)u(t — T) T t Assim, a integral passa a ser escrita na forma t 72 t) = | Tat = > yO = J, 2|, Dai, a resposta do SLIT é dada por 2 t)= sult y(t) = Sut VERSAO 0.2- DOCUMENTO GERADO EM 28/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN LEITURA COMPLEMENTAR Leitura Complementar Hwei P. Hsu, Theory and Problems of Signals and Systems, Schaum’s Outline Series, McGraw -Hill, 1995. B. P. Lathi, Linear Systems and Signals, Second Edition, Oxford University Press, 2005. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems, Second Edition, Pearson Education,1996. versão 0.2- documento gerado em 28/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br