Espaços Vetoriais - Exercícios Resolvidos e Contraexemplos

1 Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre R Caso V não seja um espaço vetorial sobre R dê um contraexemplo das propriedades que não são satisfeitas a V R2 xy xy R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por xy ab R2 e α R xyab xa1 yb1 αxy αx αy Solução Verificaremos se R2 é um espaço vetorial através da validação dos axiomas de um espaço vetorial Defina u xy v ab e w rs elementos genéricos de V R2 e αβ R A1 Associativa uvw xyabrs xa1yb1rs uvw xa1r1yb1s1 xar11ybs11 uvw xyar1bs1 xyabrs uvw A2 Comutativa uv xyab xa1yb1 ax1by1 vu A3 Existência do elemento neutro Precisamos de um elemento z1z2 V R2 tal que u u para todo u V Temos então que xyz1z2 xz11yz21 xy xx1yy1 11 Testanto o elemento neutro obtido u xy11 x11y11 xy u u 11xy 1x11y1 xy u A4 Vetor oposto Para cada u xy V R2 devemos ter u w1w2 V tal que uu uu xyw1w2 xw11yw21 11 w1 1x1 w2 1y1 Portanto o elemento oposto é u x2y2 uu xyx2y2 xx21yy21 11 uu x2y2xy x2x1y2y1 11 M1 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição αβu αβxy αβxβy αβxαβy αβxαβy αβxy αβu M2 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares αβu αβxy αβxαβy αxβxαyβy Por outro lado αuβu αxyβxy αxαyβxβy αxβx1αyβy1 Logo αβu αuβu Consequentemente esse axioma não é satisfeito Contraexemplo Suponha α 2 β 5 e u 11 Temos que αβu 2511 711 77 αuβu 211511 2255 251251 88 Como 77 88 temos um contraexemplo de que o axioma não é satisfeito M3 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores αuv αxyab αxa1yb1 αxa1αyb1 αuv αxαaααyαbα Por outro lado αuαv αxyαab αxαyαaαb αxαa1αyαb1 Logo αuv αuαv Consequentemente esse axioma não é satisfeito Contraexemplo Suponha α 2 u 11 e v 23 Temos que αuv 21123 2121131 205 010 αuαv 211223 2246 241261 19 Como 010 19 temos um contraexemplo de que o axioma não é satisfeito M4 Testando o elemento neutro da multiplicação 1 1u 1xy 1x1y xy u O conjunto V R2 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre R Portanto V não é um espaço vetorial sobre R não satisfazendo os axiomas M2 e M3 b V M3R com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por AB M3R e α R AB 12 AB BA α A Solução Verificaremos se V M3R é um espaço vetorial através da validação dos axiomas de um espaço vetorial Não é claro se é o elemento nulo de M3R ou o elemento neutro da adição definida para V Conideraremos o elemento nulo de M3R já que existência um elemento neutro foi sequer provada Defina A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 B b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 e C c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 elementos genéricos de V M3R e αβ R A1 Associativa ABC 12AB BAC 1212AB BAC C12AB BA ABC 14AB BAC CAB BA Por outro lado ABC A12BC CB 12A12BC CB 12BC CBA ABC 14ABC CB BC CBA Como o produto usual entre matrizes de M3R não é comutativo concluímos que ABC ABC e este axioma não é satisfeito Contraexemplo Sejam A 1 0 0 0 0 0 3 0 1 B 1 0 0 0 0 0 0 0 0 e C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Então AB BA 1 0 0 0 0 0 3 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 3 0 1 4 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 BC CB 1 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 0 0 Ou seja ABC 1 4 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 4 7 2 2 5 0 0 8 3 3 ABC 1 4 1 0 0 0 0 0 3 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 1 1 4 7 1 2 1 0 0 8 3 3 Portanto ABC ABC e esse axioma não é satisfeito A2 Comutativa AB 1 2ABBA 1 2BAAB BA A3 Existência do elemento neutro 0 Precisamos de um elemento 0 V tal que A 0 A para todo A V Temos então que A 0 1 2A0 0A Observe que ao considerar 0 I3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 e sabendo que I3 é elemento neutro multiplicativo da multiplicação usual obtemos A 0 1 2A0 0A 1 2AI3 I3A 1 22A A Testanto o elemento neutro obtido A 0 1 2A0 0A 1 2AI3 I3A 1 22A A 0 A 1 20AA0 1 2I3AAI3 1 22A A A4 Vetor oposto Para cada A V devemos ter A V tal que AA 0 Este axioma não é satisfeito em geral pois a definição de não garante que AAAA 0 Contraexemplo Seja A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Então AA 1 2I3I3I3I3 1 2I3 I3 I3 I3 0 M1 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição αβA α αβA Logo αβA αβA M2 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares αβA αAβA Logo αβA αAβA M3 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores αAB α 1 2ABBA pois o resultado de 1 2AB BA é uma matriz de M3R Como o produto entre α e qualquer matriz de M3R produz um valor nulo o resultado final será nulo Por outro lado αAαB 1 2 Logo αAB αAαB Consequentemente esse axioma é satisfeito M4 Testando o elemento neutro da multiplicação 1 1A 1 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A se A for diferente da matriz nula Contraexemplo Seja A 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Então 1A 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A O conjunto V R2 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre R Portanto V não é um espaço vetorial sobre R não satisfazendo os axiomas A1 e A4 c Seja V R3 xyz xyz R com as operações de adição e multiplicação por escalar defi nidas por a1a2a3b1b2b3 a1 b1 5a2 b2 7a3 b3 1 λa1a2a3 λa1 5λ1 λa2 7λ1 λa3 λ1 para toda xyz V R3 e todo λ R Solução Verificaremos se R2 é um espaço vetorial através da validação dos axiomas de um espaço vetorial Defina u a1a2a3 v b1b2b3 e w c1c2c3 elementos genéricos de V R2 e λγ R A1 Associativa uvw a1a2a3b1b2b3c1c2c3 uvw a1 b1 5a2 b2 7a3 b3 1c1c2c3 uvw a1 b1 5c1 5a2 b2 7c2 7a3 b3 1c3 1 uvw a1 b1 c1 55a2 b2 c2 77a3 b3 c3 11 uvw a1a2a3b1 c1 5b2 c2 7b3 c3 1 uvw a1a2a3b1b2b3c1c2c3 uvw A2 Comutativa uv a1a2a3b1b2b3 a1 b1 5a2 b2 7a3 b3 1 uv b1 a1 5b2 a2 7b3 a3 1 vu A3 Existência do vetor nulo Precisamos de um elemento V R3 tal que u u para todo u V Temos então que a1a2a3 a1a2a3 571 Testanto o elemento neutro obtido u a1a2a3571 a1 55a2 77a3 11 a1a2a3 u u 571a1a2a3 5a1 57a2 71a3 1 a1a2a3 u A4 Vetor oposto Para cada u a1a2a3 V R3 devemos ter u x1x2x3 V tal que uu uu a1a2a3x1x2x3 a1 x1 5a2 x2 7a3 x3 1 571 x1 5a1 5 x2 7a2 7 x3 1a3 1 Portando o elemento oposto é u a1 10a2 14a3 2 uu a1a2a3a1 10a2 14a3 2 uu a1 a1 105a2 a2 147a3 a3 21 571 uu a1 10a2 14a3 2a1a2a3 uu a1 10a1 5a2 14a2 7a3 2a3 1 571 M1 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição λγu λγa1a2a3 λγa1 5γ1 γa2 7γ1 γa3 γ1 λγu λγa1 5γ15λ1 λγa2 7γ17λ1 λγa3 γ1λ1 λγu λγa1 5λγ5λ5λ5 λγa2 7λγ7λ7λ7 λγa3 λγλλ1 λγu λγa1 5λγ5 λγa2 7λγ7 λγa3 λγ1 λγu λγa1 5λγ1 λγa2 7λγ1 λγa3 λγ1 λγu λγa1a2a3 λγu M2 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares λγu λγa1a2a3 λγu λγa1 5λγ1 λγa2 7λγ1 λγa3 λγ1 λγu λa1 γa1 5λ5γ5 λa2 γa2 7λ7γ7 λa3 γa3 λγ1 λγu λa1 5λ1 λa2 7λ1 λa3 λ1 γa1 5γ1 γa2 7γ1 γa3 γ1 λγu λa1a2a3γa1a2a3 λuγu M3 Verificando a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores λuv λa1a2a3b1b2b3 λa1 b1 5a2 b2 7a3 b3 1 λuv λa1 b1 55λ1 λa2 b2 77λ1 λa1 b1 1λ1 λuv λa1 λb1 5λ5λ5 λa2 b2λ7λ7λ7 λa1 b1λλλ1 λuv λa1 5λ5λb1 5λ55 λa2 7λ7b2λ7λ77 λa1 λ1b1λλ11 λuv λa1 5λ1λa2 7λ1λa3 λ1 λb1 5λ1λb2 7λ1λb3 λ1 λuv λa1a2a3λb1b2b3 λuλv M4 Testando o elemento neutro da multiplicação 1 1u 1a1a2a3 1a1 5111a2 7111a3 11 a1a2a3 u O conjunto V R3 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre R Portanto V é um espaço vetorial sobre R