Slide - Autovalores e Autovetores - 2023-2

Lula 12 autovalores e autovetores Definimos a multiplicidade algébrica de um autovalor λ como sendo a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Definimos a multiplicidade geométrica de um autovalor λ como sendo a dimensão do espaço V_λ associado ao autovalor λ. No exemplo A = [3 0 -4 0 3 5 0 0 -1] λ = 3 tem multiplicidade algébrica igual a 2. Encontramos autovetores do tipo (x,y,0), x ≠ 0 ou y ≠ 0, logo, [(1,0,0),(0,1,0)] geram V_3, assim, formam uma base para V_3, pois são L.I. Portanto, a multiplicidade geométrica de V_3 é 2. Diagonalização de Operadores Dado um operador linear T:V → V, nosso objetivo é conseguir uma base β de V na qual a matriz do operador nesta base [T]_β seja uma matriz diagonal, que é a forma mais simples possível de representar um operador. Teorema: Autovetores associados a autovalores distintos são L.I. Corolário: Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T:V → V é um operador linear que possui n autovalores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T. Exemplo: 1) Seja T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 transformação linear dada por T(x,y) = (-3x + 4y, -x + 2y) cuja matriz em relação à base canônica \mathcal{B} é \begin{bmatrix} 3 & 4 \ -1 & 2 \end{bmatrix}. 2) Seja T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 transformação linear cuja matriz em relação à base canônica \mathcal{B} é \begin{bmatrix} 3 & 0 & -4 \ 0 & 3 & 5 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} Dada T: V \to V transformação linear qualquer, se conseguirmos uma base \mathcal{B} = \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots, \vec{v_n} \} de autovetores de T, então, como T(\vec{v_1}) = \lambda_1 \vec{v_1} + 0 \cdot \vec{v_2} + \ldots + 0 \cdot \vec{v_n} T(\vec{v_2}) = 0 \cdot \vec{v_1} + \lambda_2 \vec{v_2} + \ldots + 0 \cdot \vec{v_n} \ldots T(\vec{v_n}) = 0 \cdot \vec{v_1} + 0 \cdot \vec{v_2} + \ldots + \lambda_n \vec{v_n}, Temos [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \ 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \ \ldots & \ldots & \ddots & \ldots \ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \end{bmatrix}. Não precisamos ter, necessariamente, os λ_i's distintos (excemplo 2). Na verdade, um autovalor aparecerá na diagonal tantas vezes quantas forem os vetores li associados. Por outro lado, se A = {u_1, u_2, ..., u_n} é base de V tal que [T]^A_A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & ... & 0\\ 0 & a_2 & ... & 0\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & a_n \end{bmatrix}, então T(\vec{u}_1) = a_1 \vec{u}_1, T(\vec{u}_2) = a_2 \vec{u}_2, ... , T(\vec{u}_n) = a_n \vec{u}_n, ou seja, \vec{u}_1, \vec{u}_2, ..., \vec{u}_n são autovetores de T. Conclusão: Um operador T : V → V admite uma base B em relação à qual sua matriz [T]^B_B é diagonal se, e somente se, essa base B for formada por autovetores de T. Definição: Seja T : V → V um operador linear. Dizemos que T é um operador diagonlizável se existe uma base B de V cujos elementos são autovetores de T. Exemplo: Seja T : R³ → R³ a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica B é [T]^B_B = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4\\ 0 & 3 & 5\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}. Polinômio minimal Queremos descobrir se um operador é diagonalizável ou não sem calcular os autovetores. Definição: Seja p(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 um polinômio e A uma matriz quadrada. Então p(A) é a matriz p(A) = a_n . A^n + ... + a_1 A + a_0 I. Quando p(A) = 0, dizemos que o polinômio anula a matriz A. Exemplo: Sejam p(x) = x^2 - 9 e q(x) = 2x + 3. Se A = \begin{bmatrix} -1 & 4\\ 2 & 1 \end{bmatrix}. Definição: Seja A uma matriz quadrada. O polinômio mínimo de A é um polinômio m(x) = x^k + a_{k-1} x^{k-1} + ... + a_0 tal que i) m(A) = \vec{0}, isto é, m(x) anula a matriz A. ii) m(x) é o polinômio de menor grau entre aqueles que anulam A (observe que a_k = 1). Teorema 1: Sejam T: V → V operador linear e A uma base qualquer de V de dimensão n. Então T é diagonalizável se, e somente se, o polinômio mínimo de [T]_A^A é de forma m(x) = (x - λ_1)(x - λ_2)...(x - λ_r) com λ_1, λ_2,..., λ_r distintos. O problema de determinar se T é diagonalizável reduz-se ao resolver achar o polinômio mínimo de T. Teorema de Cayley-Hamilton: Seja T: V → V um operador linear, A uma base de V e ρ(x) o polinômio característico de T. Então ρ([T]_A^A) = \bar{0}, \text{o matriz nula}. Isto significa que o polinômio característico é um condidato ao polinômio mínimo pois ele satisfaz a condição i de definições anteriores. Teorema 2: As raízes do polinômio minimal são as mesmas raízes (distintas) do polinômio característico. Desses resultados, temos: o polinômio minimal de um operador linear T: V → V deve ser de grau menor ou no máximo igual ao do polinômio característico e ainda deve ter as mesmas raízes (distintas). Por exemplo, seja T: V → V um operador linear e A uma base de V. Suponhamos que o polinômio característico de T seja ρ(λ) = (λ - 3)^2 (λ - 1)^3 (λ + 5). Então o seu polinômio mínimo será um dos polinômios: p_1(x) = (x - 3)(x - 1)(x + 5); p_2(x) = (x - 3)^2 (x - 1)(x + 5); p_3(x) = (x - 3)(x - 1)^2 (x + 5); p_4(x) = (x - 3)(x - 1)^3 (x + 5); p_5(x) = (x - 3)^2 (x - 1)^2 (x + 5); p_6(x) = (x - 3)^2 (x - 1)^3 (x + 5). Como o polinômio minimal é o de menor grau que anula [T^n]_A, verificamos primeiramente se p_1([T^n]_A) = 0. Em caso afirmativo, p_1(x) será o polinômio minimal. Se p_1([T^n]_A) ≠ 0, testamos p_2([T^n]_A) e assim sucessivamente. Na pior das hipóteses o polinômio minimal será ρ(λ), isto é, o polinômio característico. Teorema 3: Sejam λ_1, λ_2, ..., λ_n os autovalores de um operador linear T: V → V. Então T será diagonalizável se, e somente se, o polinômio (x - λ_1)(x - λ_2) ... (x - λ_n) anula a matriz T. Voltando ao exemplo discutido antes do Teorema 3, o operador em questão só será diagonalizável se o seu polinômio minimal for p_s(x). Exemplo: O operador linear T: R^4 → R^4 definido por T(x, y, z, t) = (3x - 4z, 3y + 5z, -z, -t) é diagonalizável?