Introducao a Algebra Linear - Soma de Subespacos e Combinacoes Lineares

Introdução a Algebra Linear 01082024 Soma de Subespaços Seja U e W subespaços de um espaço vetorial V Soma de u e w UW uw u U e w W note que ① 0 U W pois 0 0 0 0 U 0 W ② t t U W tt1t2 onde t1 U e t2 W t u w onde u U e w W ttu1u1w1w1tt UW U W ③ α ℝ e t U W t u w onde u U e w W αt αu w αu αw αt UW U W conclusão U W é um subespaço vetorial de V Obs v U W v U v W v v0 U W v U W v 0v U W v U W Portanto U W U W Definição 1 sejam U e W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V Diremos que a soma U W é soma direta de U e W se U n W 0 Neste caso escrevemos U W para dizer que U é soma direta com W Introdução à Algebra Linear 08082024 Condições Lineares Definição Sejam M1 M2 Mn elementos de um espaço vetorial V Qualquer u V é uma combinação linear dos vetores M1 M2 Mn se estiverem escalares α1 α2 αn em IR tais que u α1M1 α2M2 αnMn Ex V IR³ espaço vetorial com as operações usuais com os seguintes vetores M1 132 e M2 2 41 U 4187 se escreve com combinação linear de M1 e M2 u aM1 α2M2 4187 α1132 α22 41 α13α1 2α1 2α2 4α2 1 α2 α12α2 3α14α2 2α1 α2 α1 2α2 4 3α1 4α2 18 2α1 α2 7 1 2 4 3 4 18 2 1 7 escalonamento reocre a linha 1 multiplicar a linha 2 por 3 e soma a linha 1 com a linha 2 multiplicar a linha 1 por 2 e soma com linha 3 L23L1L2 L32L1L3 1 2 4 0 10 30 0 5 15 1 2 4 0 5 15 0 0 0 L212 L1 L2 L31L2 L3 α1 2α2 4 5α2 15 α2 3 α1 23 4 d1 2 U4187 3 132 2 2 41 u 3M1 2M2 Ex VIR² M110 e M201 V12 Escreva v 12 como combinação linear de M110 e M201 v α1M1 α2M2 12 α110 α201 12 α10 0α2 α1α2 α11 α22 V 12 1 10 2 01 Ex V IR³ L1 100 L2 010 L3 001 Escreva v 123 como combinação linear de L1 L2 L3 v 123 1100 2010 3001 Ex V IR³ Considere os vetores M1543 M2021 e M3 11110 Escrever um vetor qualquer v IR³ como combinação linear de M1 M2 e M3 v xyz a 543 b 021 c 11110 v xyz 5a4a3a 02bb c 11c 10c 5ac 4a2b11c 3ab10c 5a c x 4a 2b 11c y 3a b 10c 3 5 0 1 x 4 2 11 y 3 1 10 3 1 0 15 x5 4 2 11 y 3 1 10 3 L1 15 L1 L2 4 L1 L2 L3 3 L1 L3 1 0 15 x5 0 2 515 y4x5 0 1 475 33x5 1 0 15 x5 0 1 2551 73x5 0 2 515 y4x5 1 0 15 x5 0 1 2551 73x5 0 0 135 2x 10z 545 L3 2 L2 L3 Trocar L3 pela L2 a 15c x5 b 475c 3 3x5 435c 2x 1032 5y5 c 2x 1032 5y5 435 c 2x 1032 5y43 b 3 3x5 4752x 1032 5y43 7x 47y 513243 a x5 152x 1032 5y43 9x y 2843 Geradores Definição Seja V um espaço vetorial sobre IR e S u1 u2 un um subconjunto de V Indicamos por S o conjunto formado por todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de S Obs S v V v combinação linear de u1 u2 un com a1 a2 an IR Indicamos S u1 u2 un Teorema 1 Afirmamos que S é um subespaço vetorial de V De fato i S ou 0 S ii Sejam u S u a1 u1 a2 u2 an un v b1 u1 b2 u2 bn un ai IR bi IR u v a1 b1 u1 a2 b2 u2 an bn un u v S iii Sejam π IR e u S u a1 u1 a2 u2 an un π u π a1 u1 a2 u2 an un π a1 u1 π a2 u2 π an un π a1 u1 π a2 u2 π an un π u S Definição O subespaço vetorial S de V é chamado de subespaço vetorial de V gerado por S Obs Geradores são os vetores u1 u2 un Ex S 10 01 IR² IR² espaço vetorial sobre IR Determine S 10 01 S v IR² v α10 β01 com α e β IR v x y x10 y01 S IR² Ex S 100 010 IR³ Operações usuais IR³ Determine S 100 010 S v IR³ v α100 β010 α β IR v x y z α100 β010 α 0 0 0 β 0 α β 0 αx βy 0z v x y z x100 y010 S x y 0 x y IR Ex V IR³ S 100 010 001 S IR³ v x y z IR³ v x y z x100 y010 z001