Lista 1 e 2 - 2023-1

Lista 1 Lista 2 Lista de Exercicios Algebra Linear Problema 1 Resposta O G(A) € 0 espacgo gerado com os vetores de A. Para definir o plano podemos usar a equacao vetorial: I: t(—1,3,—-1) + s(1, 2,4) e também é possivel usar uma equacao geral do plano com i j ik 3-1). |-1l -1}., |-1 8 of S-B alti teks 124 2 4 1 4 1 2 N = (14,3, —5) que resulta no plano 14x + 3y —5z =0 Problema 2 Resposta Podemos considerar as coordenadas na base 8 = {1,2,x7} que resulta em (1, -1,0), (5,3, —2), (1,3, -1) que nos leva a 1 -1 0O 5 3 2 =i); a} Col a+ of; ; =—9+(-7) =—16 3-1 1 -1l 1 3 1 3 -I1 Assim os vetores sao LI. Problema 3 Resposta O determinante define se é LI ou LD: 10a 10 1 1 1 aj=ajl lil 1 1 a 1 la se a = 0, j4 temos que o conjunto é L.D.. Por outro lado, o determinante é 101 111 =1); +h =a la 1 1 1 la 1 que significa que a = 1 leva o determinante também a ser zero. Logo Linear- mente Dependente. Assim concluimos que s6 sera linearmente independente se a(a — 1) £0, ou seja, sea 40eaFl. Problema 4 Resposta O plano é dado por 2x -—y—-—z=0 que nos leva a (x,y, —20 + y) = x(1, 0, —2) + y(0, 1, 1) e, assim, 0 conjunto gerador é {(1,0, —2), (0,1, 1)}. Problema 5 Resposta Recomendamos comegar usando as coordenadas na base @ = {1,x,x?} que é [1, 0,0], [0, 1, 0], [(0, —1, 1] Assim o determinante é 1 0 0 0 1 O =1|7, i= 0 -1 1 assim os vetores formam uma base. ltata?=a-14+b-rt+e:-(a?—2)=a4+(b-—c)r4+ cx? que resulta em a = 1,c = 1,b = 2, ou seja, temos que l+ot+e?=1-142-241-(x*?—2) Problema 6 Resposta Os coeficientes na base B = {(a1, b1), (a2, b2)} e temos que —7T(a1, b;) _ 11 (az, bz) = (—Ta, _ 1lag, —7b, _ 1162) = (, 3) 2 6(a1, b1) + 8(a2, b2) = (6a1 + 8a2, 6b1 + 8b2) = (2, −4) Assim podemos definir a nova base que dá os vetores da base anterior com os coeficientes da matriz: −7a1 − 11a2 = 1 6a1 + 8a2 = 2 Assim temos −66a2 + 56a2 = −10a2 = 20 que leva a a2 = −2. Temos que a1 = 3. Por outro lado: −7b1 − 11b2 = 3 6b1 + 8b2 = −4 Neste caso, temos −10a2 = 18 − 28 = −10 que resulta em a2 = 1 e assim a1 = −2. Os vetores são B = {(3, −2), (−2, 1)} Problema 7 Resposta Os vetores são 1 − x2 = a(2 + x) + b(1 − 2x2) + c(x + x2) 1 + x = a(2 + x) + b(1 − 2x2) + c(x + x2) x2 = a(2 + x) + b(1 − 2x2) + c(x + x2) Assim vamos resolver sistemas 1 − x2 = (2a + b) + (a + c)x + (c − 2b)x2 o sistema é dado por 2a + b = 1 a + c = 0 c − 2b = −1 A solução é a + c = 0 b − 2c = 1 −3c = 1 Assim c = −1/3, b = 1/3, a = 1/3. Para a equação 1 + x = a(2 + x) + b(1 − 2x2) + c(x + x2) 3 tem sistema 2a + b = 1 a + c = 1 c − 2b = 0 tem solução dada por a = 1/3, b = 1/3 e c = 2/3. Para a equação x2 = a(2 + x) + b(1 − 2x2) + c(x + x2) tem sistema 2a + b = 0 a + c = 0 c − 2b = 1 e a solução é a = 1/3, b = −2/3 e c = −1/3. A matriz mudança de base [I]A B =   1/3 1/3 −1/3 1/3 1/3 2/3 1/3 −2/3 −1/3   4