Algebra Linear - Propriedades, Bases e Dimensão de Espaços Vetoriais

Introdução a Algebra linear 22082024 Propriedades seja V um espaço vetorial P1 Se um conjunto finito S u₁u₂un C V contém o vetor 0 então S é LD De fato S u₁ u₂ un 0 α₁u₁ α₂u₂ αnun L0 0 P2 Se S u C V e u 0 então S é LI α₁u 0 α₁ 0 P3 Se S u₁ u₂ u₃ um C V é LD então pelo menos um dos vetores de S se escreve como CL dos outros vetores De fato Se S u₁ u₂ u₃ um é LD Escalares α₁ α₂ α₃ αm não todos nulos tais que α₁u₁ α₂u₂ α₃u₃ αmum 0 Por exemplo α₁ 0 α₁u₁ α₂u₂ α₃u₃ αmum u₁ α₂α₁ u₂ α₃α₁ u₃ αmα₁ um Base e Dimensão de um espaço vetorial V Definição Uma base de V é um conjunto de vetores B de V que é LI e gera V Ex V IR² B 10 01 C V IR² B é uma base de V IR² B é LI α₁10 α₂01 00 α₁0 0 α₂ 0 0 α₁ α₂ 00 α₁ 0 α₂ 0 α₁ α₂ 0 B V IR² v E IR² v xy α₁10 α₂01 v xy α₁ α₂ α₁ x α₂ y v x y x10 y01 Ex B 20 03 é uma base de V IR² B é LZ α₁ 20 α₂03 00 2α₁ 0 0 3α₂ 00 2α₁ 3α₂ 00 2α₁ 0 α₁ 0 3α₂ 0 α₂ 0 B IR² xy α₁20 α₂03 xy 2α₁ 3α₂ α₁ x2 α₂ y3 v xy x2 20 y3 03 Ex V IR² B 11 02 35 é uma base de IR² α₁ 11 α₂02 α₃35 00 α₁ α₁ 0 2α₂ 3α₃ 5α₃ 00 α₁ 3α₃ α₁ 2α₂ 5α₃ 00 α₁ 3α₃ 0 α₁ 2α₂ 5α₃ 0 α₃ 1 α₁ 3α₃ α₁ 3 α₂ 2α₃ α₂ 2 31 escalonamento 31 201 135 00 LD Note que B IR² v xy E IR² v xy α₁11 α₂01 α₃35 xy α₁ 3α₃ α₁ 2α₂ 5α₃ α₁ 3α₃ x α₁ 2α₂ 5α₃ y escalonamento α₁ 3α₃ x 0 1 2 xy α₂ 2α₃ xy v xy x 311 201 35 Dimensão de um espaço vetorial V Definição Dado um espaço vetorial V A dimensão de V é o número de vetores de uma base B de V Indicamos dim V Ex B 10 01 base de V IR² dim IR² 2 Ex B 100 010 001 é uma base de V IR³ dim IR³ 3 Obs 1 V espaço vetorial Se B v₁ v₂ v₃ v𝑛 for uma base de V então todo conjunto com mais de n vetores é LD e u₁ u₂ u₃ um com m n Obs 2 Quaisquer duas bases de V tem o mesmo número de vetores Sejam B₁ e B₂ bases de V com número elementos de B₁ igual a m e número de elementos de B₂ igual m Como B₁ é uma base de V dim V m n como B₂ é uma base de V dim V n m m n Introdução à Álgebra Linear 29082024 Obs V espaço vetorial sobre R e dimensão V M W subespaço de V V tem uma base finita digamos B u1 u2 u3 um Todo conjunto LI de W é fruto de uma base de V M N dim V u1 u2 u3 um um conjunto LI de W u11 u21 umr1 umr2 umr3 Ex Considere o espaço vetorial R3 Verifique se os vetores 110 e 011 é parte de uma base de V R3 Verificar se os vetores são LI x1 110 x2 011 000 x1 x1 x2 x2 000 x1 0 x1 x2 0 x2 0 Portanto é parte de uma base V R3 dim R3 3 u b1 b2 b3 V 110 011 u V e u 110 011 u x1 110 x2 011 b1 b2 b3 x1 x1 x2 x2 x1 b1 x1 x2 b2 x2 b3 b2 b1 b3 u b1 b2 b3 é combinação linear de 110 e 011 quando b1 x1 b2 b1 b3 b3 x2 Teorema 1 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita Se W1 e W2 são subespaços de V então dimW1 W2 dim W1 dim W2 dim W1 W2 Prova Sabemos que W1 W2 é um subespaço de W1 e um subespaço de W2 W1 W2 contém uma base B1 u1 u2 uk que é parte de uma base de W1 B2 u1 u2 uk v1 v2 vm W1 e parte de uma base de W2 B3 u1 u2 uk w1 w2 wn W2 Afimamos que B B1 B2 B3 u1 u2 uk v1 v2 vm w1 w2 wn B é LI é uma base de W1 W2 B W1 W2 dim W1 dim W2 k m k n k m n k dim W1 W2 dimW1 W2 dim W1 W2 dim W1 dim W2 dim W1 W2 Ex V W1 1010 0100 W2 xy3t R4 xy 0 subespaços de V R4 Determine a dim W1 W2 b dim W1 W2 c V R4 W1 W2 Ex V W1 101012 Subespaco de R2 W2 123111 Determine dimW1 W2 e dim W1 W2 Para casa Coordenadas V espaço vetorial dim V Finita Considere uma sequência finita U1 U2 U3 Un Uma base coordenada de V é uma sequência finita de vetores LI de V e que gera V Considere a1 a2 an R e B u1 u2 un base coordenada de V As coordenadas de u em relação a base B é dada por u a1u1 a2u2 anun uB uB k1 k2 knnx1 Ex V R3 B 101 1 1 1 100 é uma base de R3 LI B R3 Determine abcB abc a1 101 a2 111 a3 100 a1 a2 a3 a a2 b a1 a2 c a1 bc a2 b a3 a2bc abcB bc b a2bc a base de W1 B1 10100100 é LI α11010α201000000 α1α20 B1 1010 0100 é uma base de W1 dim W12 base de W2 xyztx1x zt x1100z0010t0 001 Qualquer vetor xyzt de W2 se escreve como combinação linear dos vetores 1100 0010 0001 w2 1100 0010 0001 α11100α20010α30001 0000 α1α10 00 α20 000α3 0000 α1α2α30 O conjunto 1100 0010 0001 P2 é LI P2 é uma base de W2 Sabemos que W1W2 B1 B2 matrix representation LI B3 1010 0100 0010 0001 b dim W1W2 dim W1 dim W2 dim W1 W2 4 2 3 dim W1 W2 dim W1 W2 1 c VIR4 W1 W2 W1 W2 0