Correção de Atividade Álgebra Linear

Introdução á Álgebra Linear Prova 11SI Prof Martinho da Costa Araújo Alunoa 30042025 1 Determinar a matriz inversa da matriz A 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 Quem é A2 2A 2 Seja V ℝ3 o espaço vetorial com as operações usuais e U xyz ℝ3 y 3x W xyz ℝ3 x 3y 0 e z y subconjuntos de V ℝ3 a Mostre que U é um subespaço de V ℝ3 b Mostre que W é um subespaço de V ℝ3 c Encontre o subespaço U W d Encontre o subespaço U W e Encontre uma base de U f Encontre uma base de W g Encontre uma base de U W h Encontre a dim U W i Encontre a dim U W j V ℝ3 U W 3 Consider a função T ℝ3 ℝ2 tal que Txyz x z 2x y 3z a Verifique que T é uma transformação linear b Determine o N T c Determine o Im T d Determine uma bae para N T e Determine uma base para Im T Observação 1 Forma de entregar a Atividade Prova11 Teams em 05052025 Resolução 1ª para calcular A2 2A primeiro calculamos A2 A12 A2 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 5 4 1 0 4 6 4 1 1 4 6 4 0 1 4 5 A2 2A 5 4 1 0 4 6 4 1 1 4 6 4 0 1 4 5 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 2 2 10 0 5 3 0 12 1 2 5 1 13 2ª a U é fechado sob multiplicação escalar seja u x 3x z U e c ℝ então cu cx c3x cz novamente a segunda coordenada é 3 vezes a primeira logo cu U U é subespaço de V b W é fechado sob multiplicação escalar seja w x y z W e c ℝ então cw cx cy cz temos cx 3cy cx 3y c0 0 cz cy cy logo cw W W é um subespaço de V c U W u w u U w W um vetor em U tem a forma x3xz e um vetor em U W tem a forma x 3y 3z y z y como x y z são livres U W ℝ3 U W ℝ3 d U W contêm vetores que satisfazem y 3x x 3y 0 e z y substituindo y 3x na segunda equação temos x 9x 0 ou seja x 0 então y 0 z 0 portanto U W 000 U W 000 Digitalizado com CamScanner e uma base para U é 130 001 f uma base para W é 311 g uma base para U W é 130 001 311 note que 311 é linearmente independente 130 e 001 130 001 311 h dimU W 3 I dim U W 0 J não V U W pois U W 0 para que seja uma direita a Interseção deve ser apenas ao vetor nulo não 3ª a Sejam u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 vetores ℝ3 então Tu v Tx1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 z1 z2 2x1 x2 y1 y2 3 z1 z2 Vetor em ℝ3 e c um escalar então Tcu Tcx cy cz cx cz 2cx cy 3cz cx z 2x y 3z cTu T satisfaz um transformação linear b primeira equação x z 2z y 3z 0 ou seja y 5z portanto os vttores no núcleo tem a forma z 5z z z1 5 1 NT z 5z z z ℝ Digitalizado com CamScanner c as colunas são 12 e 01 e 13 note que 13 1 12 1 01 e portanto a imagem é gerada por 12 e 01 como esses vetores são linearmente independentes eles formam uma base para ImT ℜ² d uma base para NT dada pelo vetor 151 e uma base para ImT é 12 01 5 4 1 0 2 2 2 2 7 2 3 2 4 6 4 1 2 4 4 4 2 10 0 5 1 4 6 3 2 4 6 6 3 6 12 3 0 3 2 2 4 6 8 2 5 3 10