Slide - Base de um Espaço Vetorial Gerado - 2023-2

Aula 05 Base de um espaço vetorial finitamente gerado; Resultados; Coordenadas. Base de um espaço vetorial finitamente gerado Queremos encontrar, dentro de um espaço vetorial V, um conjunto finito de vetores tais que qualquer outro vetor de V seja uma combinação linear deles. Definição 1: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito B ⊂ V para o qual valem: a) V = [B]; b) B é L.I. Exemplos: 1) V = R^2, e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1), {e₁, e₂} é base de V, conhecida como base canônica de R^2. V = [e₁, e₂] e {e₁, e₂} é L.I. (mostramos anteriormente). O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R^2. 2) {(0, 1), (0, 2)} não é base de R^2, pois é um conjunto L.D. 3) V = R^3. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de R^3. Esta é a base canônica de R^3. (i) (x, y, z) = x·(1, 0, 0) + y·(0, 1, 0) + z·(0, 0, 1) => R^3 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]. (ii) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L.I. {(1,0,0),(0,1,0)} não é base de R^3. É L.I., mas não gera todo R^3, isto é, [(1,0,0),(0,1,0)] ≠ R^3. V = M_2(R) ℬ = {[1 0], [0 1], [0 0], [0 0]} [0 0] , [0 0] é uma base de V. i) Já vimos que [ℬ] = V (aula anterior); ii) Vamos mostrar que ℬ é L.I.; Teorema 1: Sejam v̅_1, v̅_2, ..., v̅_n vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, dentre esses vetores podemos extrair uma base de V. Demonstração: Exemplo: Seja V = {(2, 1, 3, 0), (1, 0, 1, 2), (0, -1, 1, 4)} ⊂ R^4. Encontre uma base para V. (Exercício: Verifique que os vetores em questão são L.D.) Colocamos os vetores como linhas de uma matriz simbólica [2 1 3 0 1 0 1 2 0 -1 1 4] Operações com as linhas desta matriz são equivalentes no espaço vetorial a fazer combinações lineares e, portanto, os novas linhas serão ainda vetores do subespaço. Além disso, sendo as operações com as linhas reversíveis, os novas linhas geram os mesmos vetores que as linhas originais. Assim, ao operarmos com as linhas da matriz para consegui-la na forma escalonada não estaremos alterando o subespaço e, na forma escalonada, as novas linhas não nulas representarão vetores linearmente independentes e que geram o subespaço, ou seja, uma base. [2 1 3 0 1 0 1 2 0 -1 1 4] Teorema 2: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v_1, v_2, ... , v_n. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente L.D. (e, portanto, qualquer conjunto L.I. tem no máximo n vetores). Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado dim V. Demonstração: Exemplos: a) V = R^2: {(1,0), (0,1)} e {(1,1), (0,1)} são bases de R^2. Então, dim R^2 = 2. b) dim R^3 = 3. c) V = M_2(R). dim V = 4. Quando um espaço vetorial V é finitamente gerado (tem base finita) dizemos que V é espaço de dimensão finita. Teorema 3: Qualquer conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores L.I. formará uma base de V. Demonstração: Teorema 4: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V. Além disso, dim (U + W) = dim U + dim W - dim (U ∩ W). Exemplo: Considere U = {(x,y,z); x+y-z=0} W = {(x,y,z); x=y}. Determine U + W, U ∩ W, dim (U + W), dim (U ∩ W). Teorema 5: Dada uma base B = {v̂1, v̂2, ..., v̂n} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v̂1, v̂2, ..., v̂n. Definição: Sejam B = {v̂1, v̂2, ..., v̂n} base de V e v̂ pertencente a V onde v̂ = a1 v̂1 + a2 v̂2 + ... + an v̂n, chamamos estes números a1, a2, ..., an de coordenadas de v̂ em relação à base B e denotamos por [v̂]B = [a1 a2 ... an]ᵀ Exemplo: V = ℝ², B = {(1,0), (0,1)}. Se B' = {(1,1), (0,1)}, então Observação: A ordem dos elementos de uma base influi na matriz dos coordenadas de um vetor: B₁ = {(1,0), (0,1)} [(4,3)]B₁ = [4 3]ᵀ B₂ = {(0,1), (1,0)} [(4,3)]B₂ = [3 4]ᵀ.