Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Volumes, Vetores e Coordenadas

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11 As superfícies que delimitam um volume são definidas por p 5 e p 10 ϕ 2π9 e ϕ 7π9 z 2 e z 20 Determinar a O volume determinado pelas superfícies em questão utilizando integração b O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume Respostas a Volume 375π b PQ 2159 12 Um vetor Ê âx ây âz está aplicado no ponto Px 0 y 1 z 1 da superfície plana x y z 2 Determinar a o vetor Ê no sistema de coordenadas cartesianas b o ângulo θ que o vetor Ê faz com o vetor normal à superfície plana c as duas componentes vetoriais de Ê normal e tangencial à superfície plana Respostas a Ê âx ây âz b θ 7053 c ÊN 13 âx ây âz e ÊT 13 4âx 2ây 2âz 13 Um vetor A com módulo igual a 10 está orientado do ponto Pr 5 θ π4 ϕ π4 à origem de um sistema de coordenadas esféricas Expressar este vetor em a coordenadas esféricas no ponto P b coordenadas cartesianas no ponto P Respostas a A 10âr b A 5âx 5ây 52âz 14 Dado o vetor A âx ây âz aplicado ao ponto Px 3 y 1 z 2 determinar a As coordenadas esféricas r θ e ϕ do ponto P b O ângulo α que A faz com a superfície esférica centrada na origem que passa por P c O ângulo β que A faz com a superfície cônica coaxial com o eixo z que passa por P d O ângulo γ que A faz com o semiplano radial partindo do eixo z que passa por P Respostas a Pr 22 θ 45 ϕ 150 b α 75 c β 1239 d γ 14206 15 Um vetor A de módulo igual 8 está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos Pr 10 θ 30 ϕ 0 e Qr 20 θ 60 ϕ 90 e orientado no sentido de P a Q Determinar a O vetor A expresso em coordenadas cartesianas b O ângulo que o vetor A faz com o vetor normal à superfície plana z 0 c O módulo da projeção do vetor A sobre a superfície plana z 0 Respostas a A 221âx 767ây 059âz b α 8575 c Projà A 798 16 Transformar o vetor Ê 5x âx para coordenadas esféricas nos seguintes pontos a Ar 4 θ 30 ϕ 120 b Bx 2 y 2 z 2 Respostas a Ê 54 âr 534 âϕ 532 âθ b Ê 522 âr 522 âθ 5 âϕ 17 Sejam dados os pontos Ar 1 θ π3 ϕ π6 e Br 3 θ π2 ϕ π4 os quais representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos Determinar usando integração quando possível o seguinte a O volume total vol da porção de volume esférico formado b Os vetores normais de área Sr Sθ Sϕ que saem da superfície da porção de volume esférico nas direções dos vetores unitários âr âθ e âϕ respectivamente c O comprimento do segmento AB diagonal principal da porção de volume esférico d O vetor AB localizado em A e dirigido de A para B expresso em coordenadas esféricas Respostas a vol 13π36 b Sr 3π8 âr Sθ π3 âθ Sϕ 2π3 âϕ c AB 22318 m d AB 13713 âx 16883 ây 05 âz 18 Sejam dados os dois pontos Ar 10 θ 45 ϕ 0 e Br 10 θ 60 ϕ 90 Determinar a A distância d entre os dois pontos medida em linha reta b A distância d entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r 10 Respostas a d 1137 unidades de comprimento b d 1209 unidades de comprimento 19 a Se os vetores A xâx 3ây 3âz B 2âx yây 2âz e C âx ây zâz representam os lados de um paralelepípedo retângulo quais os valores de x y e z b Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima Respostas a x 15 y 10 z 05 unidades de comprimento b vol 2025 unidades de volume