Relatório Circuitos Rc com Correntes Alternadas

4 Circuitos RC com corrente alternada 41 Material resistor de 10 Ω capacitor de 22 μF 42 Introdução Como vimos na aula sobre capacitores a equação característica do capacitor ideal é dada por it C ddt VCt 41 Se aplicarmos uma voltagem alternada VG V0 senωt a este capacitor ele se carregará com uma corrente it dada por it C ddt V0 senωt ωCV0 cosωt ωCV0 sen ωt π2 42 A corrente então pode ser escrita como it ωCV0 sen ωt π2 i0 sen ωt π2 43 onde definimos a amplitude de corrente i0 como i0 ωCV0 44 43 Circuitos RC 49 Dessa forma a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode ser escrita como V0 1ωC i0 XC i0 45 A equação 45 é o equivalente da Lei de Ohm para capacitores com correntes alternadas A grandeza definida por XC 1ωC 46 tem dimensão de resistência e é chamada de reatância capacitiva ela desempenha um papel semelhante à resistência na Lei de Ohm com a importante diferença de ser inversamente proporcional à frequência Para frequências muito altas o capacitor se comporta como um curtocircuito resistência nula o que significa que sinais de alta frequência passam pelo capacitor sem serem atenuados Já para frequências muito baixas o valor da reatância aumenta e sinais de baixa frequência serão fortemente atenuados Esta propriedade dos capacitores é utilizada para a construção de filtros de frequência A equação 43 mostra que em um capacitor ideal a corrente e a voltagem estão defasadas de π2 radianos para uma tensão do gerador dada por VG V0 senωt 47 temos a corrente dada pela expressão it i0 sen ωt π2 48 mostrando que a corrente está adiantada de π2 radianos em relação à voltagem da fonte 43 Circuitos RC Para circuitos RC como o mostrado na figura 41 a aplicação da lei das tensões de Kirkhoff leva a VGt VCt VRt 49 V0 senωt qtC Rit 410 sendo VGt a tensão produzida pelo gerador Como este circuito é composto apenas de componentes lineares esperase que a corrente também varie senoidalmente com o tempo e com a mesma frequência de VGt tendo como forma geral it i0 sen ωt φ 411 onde φ representa a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito Derivando a equação 410 em relação ao tempo e fazendo uso da equação 411 encontra 43 Circuitos RC 50 A B R C A Figura 41 Circuito RC alimentado por uma fonte de tensão senoidal mos que ωV0 cosωt i0C senωt φ ωRi0 cosωt φ 412 A equação 412 pode ser reescrita expandindose as funções senωt φ e cosωt φ e em seguida reagrupando os termos que envolvem cosωt e senωt Após algumas manipulações algébricas obtemos cosωt ωV0 ωRi0 cos φ i0C sen φ senωt ωRi0 sen φ i0C cos φ 0 413 Como a equação 413 deve valer para qualquer instante de tempo os coeficientes dos termos cosωt e senωt devem ser individualmente nulos o que significa que duas equações devem ser satisfeitas simultaneamente Ri0 cos φ i0ωC sen φ V0 414 e Ri0 sen φ i0ωC cos φ 0 415 Da equação 415 obtemos diretamente a expressão para o ângulo de fase φ tan φ 1ωCR XCR 416 A Figura 42 mostra o comportamento da diferença de fase φ em radianos em função da frequência angular em rads para um circuito RC com R 10 Ω e C 22 μF O gráfico possui escala semilogarítmica para permitir uma melhor visualização da de Figura 42 Variação da diferença de fase entre corrente e tensão em função da frequência angular em um circuito RC pendência de φ Para valores de ω tendendo a zero a diferença de fase tende a π2 radianos já para valores de ω tendendo a infinito a diferença de fase tende a zero corrente e tensão em fase Já a equação 414 pode ser resolvida utilizandose as seguintes relações trigonométricas sen φ tan φ 1 tan² φ 417 e cos φ 1 1 tan² φ 418 Após utilizarmos as equações 417 e 418 na equação 414 e utilizarmos a equação 415 obtemos a relação entre as amplitudes de corrente e de tensão do gerador V₀ i₀ R² Xc² 419 Definimos então uma grandeza chamada impedância do circuito RC Z como sendo esta razão entre amplitudes Z V₀ i₀ R² Xc² 420 Note que Z tem dimensão de resistência e como V₀ Zi₀ num circuito com corrente alternada a impedância desempenha um papel análogo ao da resistência em circuitos com corrente contínua Observe também que a impedância do circuito não é simplesmente a soma de R e Xc mas sim a raiz quadrada da soma dos quadrados de R e Xc As equações 416 e 420 nos permitem imaginar uma representação gráfica na qual a Figura 43 Representação da impedância Z de um circuito RC como o módulo de um número complexo Ẑ R jXc impedância do circuito RC é representada por dois eixos ortogonais no plano o eixo horizontal representa o valor de R enquanto o eixo vertical representa o valor de Xc como se fossem as duas componentes de um vetor ou as partes real e imaginária de um número complexo veja figura 43 Nesse caso a impedância Z definida na equação 420 representa o módulo da impedância complexa Ẑ R jXc Note que se tivéssemos definido Ẑ como R jXc a analogia permaneceria válida mas a razão para termos escolhido o sinal negativo para a parte complexa ficará clara abaixo Note que utilizamos a letra j para representar o valor 1 isso é feito para que não haja confusão com a corrente no circuito representada pela letra i Essa analogia com grandezas complexas tem uma boa razão para ser feita pois circuitos com correntes alternadas podem ser tratados utilizando o formalismo de números complexos Considere um circuito composto apenas por um gerador e um capacitor a tensão do gerador é dada por VGt V₀ senωt 421 De acordo com a fórmula de Euler qualquer número complexo obedece a relação ejθ cos θ j sen θ e a tensão do gerador pode ser escrita como VGt Im VGt 422 onde definimos a voltagem complexa VGt como VGt V₀ ejωt 423 Como vimos na seção 42 para este circuito com apenas o gerador e o capacitor a corrente é dada por it i₀ sen ωt π2 424 com i₀ ωCV₀ Da mesma forma que fizemos com a voltagem podemos representar a corrente em termos de uma grandeza complexa it Im ıt 425 onde a corrente complexa ıt é dada por ıt i₀ ejωtπ2 426 A grande vantagem do uso do formalismo de números complexos é que uma vez que as grandezas complexas estejam definidas basta utilizarmos uma relação análoga à Lei de Ohm para resolvermos o circuito Vt Ẑ ıt 427 Como já temos as expressões para Vt e ıt podemos encontrar a impedância complexa para este circuito puramente capacitivo Ẑc VGt ıt V₀ ejωt ωCV₀ ejωtπ2 1 ωC ejπ2 1 jωC jXc 428 Fica clara portanto a razão de termos escolhido a componente capacitiva da impedância complexa do circuito RC como sendo Xc o sinal negativo decorre do comportamento do capacitor que sempre adianta a corrente em relação à tensão da fonte A partir das expressões para a amplitude de tensão no circuito RC podemos expressar a diferença de fase φ e a amplitude de tensão do gerador em termos dessas grandezas Pela Lei de Ohm sabemos que a amplitude de tensão no resistor é dada por V₀R R i₀ 429 enquanto a amplitude de tensão no capacitor é dada pela equação 45 V₀C Xc i₀ 430 Portanto as equações 414 e 415 podem ser reescritas na forma V₀R cos φ V₀C sen φ V₀ 431 e V₀R sen φ V₀C cos φ 0 432 44 Procedimentos experimentais 54 Figura 44 Circuito a ser utilizado no procedimento I Tomando o quadrado de cada equacao e somando membro a membro obtemos V0 2 V 2 0C V 2 0R 433 E uma simples manipulacao algebrica da equacao 432 nos permite obter uma expressao alternativa para a diferenca de fase tan ϕ V0C V0R 434 44 Procedimentos experimentais 441 Procedimento I verificacao do analogo da lei de Ohm para capaci tores Queremos verificar a validade da relacao V0C XC i0 verificando o comportamento da reatˆancia capacitiva com a frequˆencia 1 Meca com o multımetro digital os valores de R e C e em seguida monte o circuito da figura 44 ligue os equipamentos e ajuste o gerador para alimentar o circuito com uma tensao senoidal de frequˆencia proxima de f 10 kHz Com o osciloscopio meca a frequˆencia do sinal com sua respectiva incerteza 2 Ajuste o gerador para que a amplitude de tensao sobre o resistor V0R medida no canal 2 do osciloscopio seja proxima a 03 V Lembrese de utilizar no osciloscopio a escala que permita a medida com a maior precisao Figura 45 Ilustração da medida da diferença de fase no circuito RC A linha contínua representa a voltagem da fonte VG e a linha tracejada representa a voltagem no resistor VR Nessa figura VR que é um sinal proporcional à corrente pois num resistor tensão e corrente estão em fase está adiantada em relação a VG como deve sempre ser num circuito RC 3 Observe que existe uma diferença de fase φ entre os dois sinais o que fica claro pela diferença de tempo entre 2 pontos similares em cada forma de onda veja a figura 45 A diferença de fase pode ser medida a partir da medida dessa diferença temporal Δt escolha 2 pontos similares em cada forma de onda meça Δt e sua incerteza Como exemplo na figura 45 Δt é a diferença de tempo entre 2 pontos onde as formas de onda passam pelo zero Em seguida calcule a diferença de fase entre a tensão no resistor VR e a tensão do gerador VG como φ 2πfΔt calcule também sua incerteza Não se esqueça de utilizar o valor de f medido no item anterior 4 A partir do valor obtido para φ calcule o valor da reatância capacitiva XC para a frequência f 5 Meça agora a amplitude de tensão sobre o resistor V0R e sua incerteza Calcule a amplitude de corrente no circuito utilizando a Lei de Ohm i₀ V0RR lembrese de utilizar o valor de R medido com o multímetro Sem alterar o ajuste do gerador meça a amplitude de tensão do gerador V0G medida no canal 1 do osciloscópio Com os valores de V0R e V0G calcule o valor da amplitude de tensão no capacitor como V0C V0G² V0R² Anote todos os valores na primeira linha da Tabela 1 6 Ajuste agora a amplitude do gerador de modo que a amplitude de tensão sobre o resistor seja de 04 V e repita as medidas do item anterior Em seguida repita todo este procedimento para todos os valores de V0R indicados na Tabela 1 44 Procedimentos experimentais 56 Tabela 1 Valores sugeri dos para V0R V0R σV0R V i0 σi0 A V0G σV0G V V0C V σV0C V 030 040 050 060 070 080 7 A partir dos dados da Tabela 1 faca um grafico de V0C vs i0 e obtenha o valor da reatˆancia capacitiva XC para a frequˆencia f Compare com o valor obtido a partir da diferenca de fase e com o valor nominal 8 Calcule de maneira alternativa a partir da equacao 434 e das amplitudes V0R e V0C da primeira linha da tabela a diferenca de fase ϕ e sua incerteza Compare o valor com o valor obtido na questao 3 deste procedimento Os valores sao compatıveis