Slide - Método da Rigidez Direta

EES024 - Análise Estrutural II Método da rigidez direta Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) 2o. semestre 2022 Introdução O método da rigidez direta (MRD) é uma formulação sistematizada (e, por- tanto, adequada à programação computacional) do método dos deslocamen- tos. Pode também ser entendido como uma particularização do método dos elementos finitos para estruturas reticuladas. Desta forma, os parâmetros de discretização são as componentes de deslo- camentos e rotações (graus de liberdade) nos nós. Os nós são as extremidades dos elementos de barra e podem ser introduzi- dos no modelo discreto da estrutura de acordo com a necessidade do ana- lista. Em geral, eles são posicionados nos pontos de encontro de barras, nos apoios, na extremidade de uma barra em balanço, em pontos com cargas concentradas e na discretização de barras com seção variável. As soluções fundamentais de barras isoladas fornecem os coeficientes da matriz de rigidez e do carregamento nodal necessários à montagem do sistema de equações. Particularmente, os carregamentos internos num elemento de barra devem ser transferidos aos nós, dando origem às chamadas cargas nodais equi- valentes. Isso pode ser feito através das reações de apoio de barras bi- engastadas com sinais opostos, como ilustrado a seguir. Introdução A estrutura foi discretizada em 5 elementos de barra e 6 nós (caso II) e a carga distribuída no elemento central foi transferida aos seus nós como car- gas nodais equivalentes. É importante observar que, após a solução do caso II (que é o resultado do método da rigidez direta), a deformada do elemento central e, portanto seus esforços internos, devem ser calculados superpondo os casos I e II. Introdução Lembrando o que foi estudado nas Aulas 8 a 10 (capítulo 9 do livro texto): Relação entre deslocamentos e forças nas extremidades da barra no sis- tema local (x′, y′): {f ′} = [k′]{d′} (1) {d′} → vetor de deslocabilidades no sistema local da barra; {f ′} → vetor de forças generalizadas nas extremidades da barra no seu sis- tema local; [k′] → matriz de rigidez da barra no seu sistema local. Introdução Barra sem articulação: [k′] =   EA/l 0 0 −EA/l 0 0 0 12EI/l3 6EI/l2 0 −12EI/l3 6EI/l2 0 6EI/l2 4EI/l 0 −6EI/l2 2EI/l −EA/l 0 0 EA/l 0 0 0 −12EI/l3 −6EI/l2 0 12EI/l3 −6EI/l2 0 6EI/l2 2EI/l 0 −6EI/l2 4EI/l   Barra com articulação na extremidade inicial: [k′] =   EA/l 0 0 −EA/l 0 0 0 3EI/l3 0 0 −3EI/l3 3EI/l2 0 0 0 0 0 0 −EA/l 0 0 EA/l 0 0 0 −3EI/l3 0 0 3EI/l3 −3EI/l2 0 3EI/l2 0 0 −3EI/l2 −3EI/l   Barra com articulação na extremidade final: [k′] =   EA/l 0 0 −EA/l 0 0 0 3EI/l3 3EI/l2 0 −3EI/l3 0 0 3EI/l2 3EI/l 0 −3EI/l2 0 −EA/l 0 0 EA/l 0 0 0 −3EI/l3 −3EI/l2 0 3EI/l3 0 0 0 0 0 0 0   Introdução Para a montagem da matriz de rigidez global da estrutura, é necessário que a Eq. (1) seja redefinida nas coordenadas globais, i.e., Relação entre deslocamentos e forças nas extremidades da barra no sis- tema global (x, y): {f} = [k]{d} (2) {d} → vetor de deslocabilidades da barra no sistema global; {f} → vetor de forças generalizadas nas extremidades da barra no sistema global; [k] → matriz de rigidez da barra no sistema global. Introdução Na sequência, vamos dividir a formulação do método da rigidez direta nos seguintes itens: • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. Método da rigidez direta Matriz de rigidez de uma barra no sistema global • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. Deslocamentos e forgas generalizados sao grandezas vetoriais que podem ser escritas em diferentes sistemas de coordenadas a partir de operadores de transformagao. Por exemplo, num plano, pode-se definir uma rotagao em torno do eixo z e escrever o operador em questao numa forma matricial: us y uy y \ a J dg 7 f: ‘ df a df \0 Lee Nal “oO Le Val M cee o 4, ost 0 ‘ oe DS ee 3 as a] \ Lea yu dy v ” dy xr d, = d; cos0 + dz send, dy = —d; sen@ + dz cos0 di cosO —_sen@] {dy > yp = dy —sen@ cos@| | dz y 4 de = de Como a rotagao é efetuada em torno y' a do eixo z, as deslocabilidades d3 e de \ fe gees “A 4s iam inalteradas, de form them ea |e, permaneceriam inalteradas, de forma rc _ , que pode-se concluir que: ’ dy ds d Jy a fd} =(RKa 8) di cosé send 0 0 0 0) (di d5 —sen@ cosd 0 0 0 O} | do d _ 0 0 1 0 0 0 d3 dy, ({ — 0 0 0 cos@ send O| ) dg ds 0 0 0 —sen@ cosO O| | ds di 0 0 O 0 0 1] (de ——— KS [R]— matriz de rotagao Analogamente, {f'} = [RI(Sf} (4) Quando a transformagao se refere apenas a uma rotagao, estes operadores sao ortogonais, o que significa dizer que, na sua forma matricial, a inversa equivale a transposta, i.e., [R]* = [RI" Assim, as Eqs. (3) e (4) podem ser reescritas nas seguintes formas: [R]* {a} = [RJ*[R]{d} = {a} > {d} = [RJ {a} (5) —— UZ] {ft = IRIS (6) Ainda, aplicando as Eqs. (3) e (4) a (1) e pré-multiplicando ambos os lados por [R]7: [RI{F} = [FR {a} > [RYU P} = [RYU {a} > (f= [RIA] {a} “SS —’ {1 Cuja comparagao com a Eq. (2) permite concluir que: [A] = [R}*[A'}[R] (7) Deve-se salientar ainda, que a matriz de rotagao de uma barra pode ser com- pletamente definida por suas coordenadas nodais no sistema global. y ri zj x cos@ = oo (8) send = a (9) onde: b= V(xj — xi)? + (yj — yi)? (10) Método da rigidez direta Vetor de forças generalizadas de uma barra no sistema global • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. Método da rigidez direta Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global Como já foi dito, as forças que atuam no interior de um elemento de barra devem ser transferidas aos seus nós, gerando o chamado vetor de forças nodais equivalentes, {feq}. Estas forças nodais equivalentes correspondem às reações de extremidade de uma barra bi-engastada, porém, com sinais trocados. Tais reações foram obtidas anteriormente no sistema local da barra, sendo designadas por ˆf ′ k. Desta forma, a Eq. (6) deve ainda ser aplicada, i.e., {f ′ eq} = −{ ˆf ′} ⇒ {feq} = −[R]T { ˆf ′} (11) As cargas concentradas podem ser consideradas no interior de um elemento de barra e tratadas da mesma forma que as cargas distribuídas, i.e., com- pondo o vetor {feq}. Entretanto, é mais prático considerar um nó do modelo discreto onde tais solicitações ocorrem. Método da rigidez direta Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K] • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. Método da rigidez direta Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K] Obtidas as matrizes de rigidez de todas as barras no sistema global, [k], basta somar os coeficientes que correspondem a um mesmo grau de liber- dade (GL). Para tanto, deve-se numerar os GL da estrutura completa. Vamos, então, admitir o seguinte exemplo ilustrativo: onde adotaremos a seguinte discretização: Elemento de barra 1 → barra AB Elemento de barra 2 → barra BC Método da rigidez direta Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K] Discretização e numeração dos GL: Matrizes de rigidez nos sistemas locais: [k′ 1] =   1k′ 11 0 0 1k′ 14 0 0 0 1k′ 22 1k′ 23 0 1k′ 25 1k′ 26 0 1k′ 32 1k′ 33 0 1k′ 35 1k′ 36 1k′ 41 0 0 1k′ 44 0 0 0 1k′ 52 1k′ 53 0 1k′ 55 1k′ 56 0 1k′ 62 1k′ 63 0 1k′ 65 1k′ 66   [k′ 2] =   2k′ 11 0 0 2k′ 14 0 0 0 2k′ 22 2k′ 23 0 2k′ 25 2k′ 26 0 2k′ 32 2k′ 33 0 2k′ 35 2k′ 36 2k′ 41 0 0 2k′ 44 0 0 0 2k′ 52 2k′ 53 0 2k′ 55 2k′ 56 0 2k′ 62 2k′ 63 0 2k′ 65 2k′ 66   Método da rigidez direta Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K] Matrizes de rotação: Barra 1: cosθ = lAB lAB = 1 senθ = 0 lAB = 0 [R1] = [I] =   1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1   [R2] =   cosθ senθ 0 0 0 0 − senθ cosθ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cosθ senθ 0 0 0 0 − senθ cosθ 0 0 0 0 0 0 1   Método da rigidez direta Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K] Matrizes de rigidez das barras no sistema global: [k1] = [I][k′ 1][I] = [k′ 1] =   1 2 3 4 5 6 1k11 0 0 1k14 0 0 0 1k22 1k23 0 1k25 1k26 0 1k32 1k33 0 1k35 1k36 1k41 0 0 1k44 0 0 0 1k52 1k53 0 1k55 1k56 0 1k62 1k63 0 1k65 1k66   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 Observar que os índices das linhas e colunas correspondem aos GL do mode- lo, conforme numeração adotada. Método da rigidez direta Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K] Matrizes de rigidez das barras no sistema global: [k2] = [R2]T [k′ 2][R2] =   4 5 6 7 8 9 2k11 2k12 2k13 2k14 2k15 2k16 2k21 2k22 2k23 2k24 2k25 2k26 2k31 2k32 2k33 2k34 2k35 2k36 2k41 2k42 2k43 2k44 2k45 2k46 2k51 2k52 2k53 2k54 2k55 2k56 2k61 2k62 2k63 2k64 2k65 2k66   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 Método da rigidez direta Montagem da matriz de rigidez global do modelo: [K] Matrizes de rigidez global do modelo: [K] =   1 2 3 4 5 6 7 8 9 1k11 0 0 1k14 0 0 0 0 0 0 1k22 1k23 0 1k25 1k26 0 0 0 0 1k32 1k33 0 1k35 1k36 0 0 0 1k41 0 0 1k44+2k11 0+2k12 0+2k13 2k14 2k15 2k16 0 1k52 1k53 0+2k21 1k55+2k22 1k56+2k23 2k24 2k25 2k26 0 1k62 1k63 0+2k31 1k65+2k32 1k66+2k33 2k34 2k35 2k36 0 0 0 2k41 2k42 2k43 2k44 2k45 2k46 0 0 0 2k51 2k52 2k53 2k54 2k55 2k56 0 0 0 2k61 2k62 2k63 2k64 2k65 2k66   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 Método da rigidez direta Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F} • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. Método da rigidez direta Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F} A contribuição dos vetores de cargas nodais equivalentes das barras, {feq}, para o vetor de forças do modelo, {F}, segue um procedimento análogo ao da matriz de rigidez. Vamos apresenta-lo seguindo o mesmo exemplo: Método da rigidez direta Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F} Vetores de forças equivalentes de cada barra nos sistemas locais: {f ′ eq,1} =                0 −ql/2 −ql2/12 0 −ql/2 ql2/12                =                0 f ′eq,1 2 f ′eq,1 3 0 f ′eq,1 5 f ′eq,1 6                {f ′ eq,2} =                0 0 0 0 0 0                Observe que apenas as cargas no interior dos elementos de barra contribuem para {f ′ eq}. As cargas concentradas nos nós são incluídas posteriormente. 2 ql? at He 6 CRE o SAD 1 4 ai |ai 2 q=40 kN/m 2 @ l=1,, =2,5m 8| 9 ¥y Ls a) 7 Vetores de forcas equivalentes de cada barra no sistema global: to2 38 A 5 6 {feat} = (Ral {foaat = eat = {0 fT A 0 fet fee} 7 =[1] 45 678 9 {fea2} = [Ro] {feq2}= {0 0 0 0 0 Of * Contribuigao das forgas nodais equivalentes para { F'}: 22 8 4 5 6 78 9 {Fea}" ={0 fem! fee o40 e'40 Fe"'40 0 0 of Método da rigidez direta Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F} Ainda falta introduzir as demais cargas externas que atuam na estrutura, i.e., as cargas concentradas diretamente nos nós, {Fn}, e as reações de apoio, {Fr}. Assim: {F} = {Feq} + {Fn} + {Fr} (12) As componentes das forças generalizadas no sistema global são introduzidas diretamente no vetor {Fn}. Já o vetor das reações de apoio apresentará valor nulo para coeficientes cor- respondentes aos graus de liberdade livres e valores desconhecidos onde houver restrições. Neste segundo caso, os deslocamentos generalizados são conhecidos (nulos ou não) e a partição do sistema de rigidez, a ser detalhada adiante, permite a solução para os graus de liberdade incógnitos. As reações são calculadas numa etapa posterior. Método da rigidez direta Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo: {F} Aplicando a Eq. (12): {F} =                            0 f eq,1 2 f eq,1 3 0+0 f eq,1 5 +0−100 f eq,1 6 +0−100 0 0 0                            | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 +                            HA VA MA 0 0 0 HC VC MC                            | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 =                            0 + HA F2 + VA F3 + MA 0 F5 F6 0 + HC 0 + VC 0 + MC                            | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 onde Fk são valores conhecidos e HA, ..., MC são desconhecidos. Método da rigidez direta Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. N/m 100 kN ste ~6 40 kN/ : 3 2 © ID Ty TT 4 100 KN m 2m ®@ i Apds a montagem de [kK] e {F'}, ficamos com 0 seguinte sistema: Ku 0 0 Kua 0 0 0 0 0 0 Ha 0 Koo Koz 0 Ko, Kae 0 0 0 0 Fy4+ Va 0 K32 Ka3 0 K35 K36 0 0 0 0 F3+ Ma Ka 0 O Kas Kas Kage Kaz Kag Kay} | Da 0 O Ks. Ks3 Ksa Kss Kse Ksz7 Ksg Ks9| 4 Ds} = Fs O Kez Kes Kea Kes Kee Kez Kes Keo] | De Fe 0 0 O Ky K7 K7e K7z K7gs Kz 0 He 0 0 O Kgs Kegs Kse Kaz Keg Keo 0 Vo 0 0 O Kos Kos Kog Koz Kos Koo 0 Mc |S [K] {D} {F} Método da rigidez direta Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos Este sistema pode ser reorganizado da seguinte maneira:   K11 0 0 K14 0 0 0 0 0 0 K22 K23 0 K25 K26 0 0 0 0 K32 K33 0 K35 K36 0 0 0 K41 0 0 K44 K45 K46 K47 K48 K49 0 K52 K53 K54 K55 K56 K57 K58 K59 0 K62 K63 K64 K65 K66 K67 K68 K69 0 0 0 K74 K75 K76 K77 K78 K79 0 0 0 K84 K85 K86 K87 K88 K89 0 0 0 K94 K95 K96 K97 K98 K99                            0 0 0 D4 D5 D6 0 0 0                          =                          HA F2 + VA F3 + MA 0 F5 F6 HC VC MC                          ⇒   [ ˜ K1] [ ˜ K2] [ ˜ K3] [ ˜ K4] [ ˜ K5] [ ˜ K6] [ ˜ K7] [ ˜ K8] [ ˜ K9]      { ˜D1} { ˜D2} { ˜D3}    =    { ˜F1} { ˜F2} { ˜F3}    ou      [ ˜ K1]{ ˜D1} + [ ˜ K2]{ ˜D2} + [ ˜ K3]{ ˜D3} = { ˜F1} [ ˜ K4]{ ˜D1} + [ ˜ K5]{ ˜D2} + [ ˜ K6]{ ˜D3} = { ˜F2} [ ˜ K7]{ ˜D1} + [ ˜ K8]{ ˜D2} + [ ˜ K9]{ ˜D3} = { ˜F3} ⇒      [ ˜ K2]{ ˜D2} + [ ˜ K1]{ ˜D1} + [ ˜ K3]{ ˜D3} = { ˜F1} [ ˜ K5]{ ˜D2} + [ ˜ K4]{ ˜D1} + [ ˜ K6]{ ˜D3} = { ˜F2} [ ˜ K8]{ ˜D2} + [ ˜ K7]{ ˜D1} + [ ˜ K9]{ ˜D3} = { ˜F3} ⇒      [ ˜ K5]{ ˜D2} + [ ˜ K4]{ ˜D1} + [ ˜ K6]{ ˜D3} = { ˜F2} [ ˜ K2]{ ˜D2} + [ ˜ K1]{ ˜D1} + [ ˜ K3]{ ˜D3} = { ˜F1} [ ˜ K8]{ ˜D2} + [ ˜ K7]{ ˜D1} + [ ˜ K9]{ ˜D3} = { ˜F3} ⇒   [ ˜ K5] [ ˜ K4] [ ˜ K6] [ ˜ K2] [ ˜ K1] [ ˜ K3] [ ˜ K8] [ ˜ K7] [ ˜ K9]      { ˜D2} { ˜D1} { ˜D3}    =    { ˜F2} { ˜F1} { ˜F3}    Método da rigidez direta Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos ou seja:   K44 K45 K46 K41 0 0 K47 K48 K49 K54 K55 K56 0 K52 K53 K57 K58 K59 K64 K65 K66 0 K62 K63 K67 K68 K69 K14 0 0 K11 0 0 0 0 0 0 K25 K26 0 K22 K23 0 0 0 0 K35 K36 0 K32 K33 0 0 0 K74 K75 K76 0 0 0 K77 K78 K79 K84 K85 K86 0 0 0 K87 K88 K89 K94 K95 K96 0 0 0 K97 K98 K99                            D4 D5 D6 0 0 0 0 0 0                          =                          0 F5 F6 HA F2 + VA F3 + MA HC VC MC                          Daí:   K44 K45 K46 K54 K55 K56 K64 K65 K66      D4 D5 D6    =    0 F5 F6   −   K41 0 0 K47 K48 K49 0 K52 K53 K57 K58 K59 0 K62 K63 K67 K68 K69                0 0 0 0 0 0              donde pode-se calcular D4, D5 e D6. Método da rigidez direta Partigao do sistema de equacées e solugao para os graus de liberdade desconhecidos Generalizando essa ideia de partigao do sistema de rigidez: [Agi] + [Kee] {De} {Fs} onde o sub-indice | esta associado aos graus de liberdade livres e o sub- indice f, aos graus de liberdade fixos (nao necessariamente nulos, como no caso dos recalques de apoio). Convém destacar que esta configuracao do sistema seria automaticamente satisfeita se os graus de liberdade livres fossem (todos) numerados anterior- mente aos fixos. A solugao para os deslocamentos generalizados desconhecidos seria obtida resolvendo: [Ku]{Di} = {Fi} — [Kis] {De} (14) Método da rigidez direta Cálculo das reações de apoio • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. Método da rigidez direta Calculo das reagdes de apoio Acabamos de ver que a solugao para os deslocamentos generalizados des- conhecidos é dada por: eh | feo} - teh} [Agi] » [Ky] {Ds} {F's} = [Ku]{Di} = {Fi} — [Kis {Dy} Uma vez resolvida esta Ultima equagao para {Di}, as reagdes de apoio po- dem ser calculadas da seguinte forma: {Fs} = [Kpi]{Di} + [Kee] {De} (15) Entretanto, deve-se atentar ao fato de que o vetor {fF} pode conter parce- las referentes a cargas nodais equivalentes e/ou referentes a cargas concen- tradas. Tais parcelas precisam ser subtraidas para a correta apuracao das reagdes de apoio. No exemplo que vinhamos abordando: Ha Kia 0 0 Ki. 0 0 0 0 0 0 0 VA 0 Ko5 Kae D 0 Ko2 Koz 0 0 0 0 Fe Ma\_| 0 K35_ Kae D. 4} 9 K32 K33 0 0 0 Ol JF Ho ( |Kra Kis K76| ) n° 0 0 0 K7z K7g Kz] )0 0 Ve Ksa Kgs Kee 6 0 0 O Ks7 Ksg Kesg| |0 0 Mc Ko4 Kos Koo 0 0 0 Koz Kogg Kool \O 0 Método da rigidez direta Cálculo dos esforços internos • Matriz de rigidez de uma barra no sistema global; • Vetor de forças nodais equivalentes de uma barra no sistema global; • Montagem da matriz de rigidez global do modelo; • Montagem do vetor de forças generalizadas do modelo; • Partição do sistema de equações e solução para os graus de liberdade desconhecidos; • Cálculo das reações de apoio; • Cálculo dos esforços internos. Método da rigidez direta Cálculo dos esforços internos Nos programas de análise estrutural baseados no método da rigidez direta, os traçados dos diagramas de esforços internos são obtidos a partir dos seus valores extremos em cada elemento de barra. Assim sendo, devemos atentar para dois pontos fundamentais. O primeiro deles está associado ao fato dos diagramas serem referenciados ao sistema local das barras, de forma que a Eq. (1) seria a mais apropriada para obtenção destes valores extremos. Entretanto, os deslocamentos gene- ralizados foram calculados no sistema global, de forma que a Eq. (3) também deve ser levada em conta. Desta forma: {f ′} = [k′]{d′} = [k′][R]{d} O segundo ponto já foi abordado no início destas notas de aula (ver figura na próxima página) e refere-se ao fato das cargas internas ao elemento terem sido transferidas aos nós e aplicadas de forma concentrada, o que não ocorre de fato. Na sobreposição dos casos I e II, estas cargas nodais equivalentes seriam anuladas pelas reações de engastamento. Assim, os esforços de ex- tremidade, {fe}, seriam dados, finalmente, por: {fe} = {f ′} − {f ′ eq} = [k′][R]{d} − {f ′ eq} (16) Método da rigidez direta Cálculo dos esforços internos Leitura recomendada • Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017: Capítulo 13