Slide - Análise de um Pórtico Plano Pelo Método da Rigidez Direta

EES024 - Análise Estrutural II Análise de um pórtico plano pelo método da rigidez direta Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) 2o. semestre 2022 Formulação do problema e discretização da estrutura Vamos analisar o pórtico plano abaixo: considerando o sistema de coordenadas globais, a discretização em elemen- tos de barras e a numeração dos GL (iniciando pelos livres), a seguir: Sequência da análise • Montagem da matriz de rigidez global da estrutura, [K]; • Montagem do vetor de forças globais da estrutura, {F}; • Estabelecimento das condições de equilíbrio, [K]{D} = {F}; • Obtenção dos esforços internos em cada barra, {fe,i}. Montagem da matriz de rigidez global • Montagem da matriz de rigidez global da estrutura, [K]; • Montagem do vetor de forças globais da estrutura, {F}; • Estabelecimento das condições de equilíbrio, [K]{D} = {F}; • Obtenção dos esforços internos em cada barra, {fe,i}. Montagem da matriz de rigidez global Matriz de rigidez local de uma barra de pórtico plano sem articulação: [k′] =   d′ 1 d′ 2 d′ 3 d′ 4 d′ 5 d′ 6 EA/l 0 0 −EA/l 0 0 0 12EI/l3 6EI/l2 0 −12EI/l3 6EI/l2 0 6EI/l2 4EI/l 0 −6EI/l2 2EI/l −EA/l 0 0 EA/l 0 0 0 −12EI/l3 −6EI/l2 0 12EI/l3 −6EI/l2 0 6EI/l2 2EI/l 0 −6EI/l2 4EI/l   | d′ 1 | d′ 2 | d′ 3 | d′ 4 | d′ 5 | d′ 6 Matriz de rigidez global de uma barra de portico plano sem articulagao: c -s 0 c s 0 s c 0 [0] -s c 0 [0] _ Tru _ {0 0 1 ! 0 0 1 _ [A] = [R]7 [e’][R] = oe of ll ~ s oF [0] sc 0 [0] -s c 0 0 o 1 0 oOo 1 dis diy ix dhe diy je FA + 123 3? (4A - BP es — Shr s — BA? — 12BT 6? — (44 - BE )cs SB s | dia BA + pt? sere — (FA - BB cs — BA 5? — BT? sere | diy 4p 8B s ~ 8BLe 2B | be BA? 4 W2BL2 (BA 1281 )cs SH | | dn SIMET. BA 6? + eT? SBT el | dyy L at ] | dja Montagem da matriz de rigidez global Barra 1: Nó i → A Nó j → B c = xj − xi l = 2, 5 − 0 2, 5 = 1 s = yj − yi l = 1, 9 − 1, 9 2, 5 = 0 EA l = 5 x 105 2, 5 = 2 x 105, 12EI l3 = (12)(3 x 104) (2, 5)3 = 2, 304 x 104, 6EI l2 = (6)(3 x 104) (2, 5)2 = 2, 88 x 104, 4EI l = (4)(3 x 104) 2, 5 = 4, 8 x 104, 2EI l = 2, 4 x 104 ∴ [k1] = (104)   4 5 6 1 2 3 20 0 0 −20 0 0 2, 304 2, 88 0 −2, 304 2, 88 4, 8 0 −2, 88 2, 4 20 0 0 SIMET. 2, 304 −2, 88 4, 8   | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 Barra 2: 6—~ 15 2X3 5 i 5 4 ‘Cl o IF Noi+B Noj>C 4A BN ® L= ,/(2,5)? + (1,9)? = 3,14 8} 9 rs) He Is e= STS = 2 = 0,796 x C 7 3, /-y 0-1,9 s = Yi _ TT ~ 0,605 i 3,14 EA 5x105 5 12EI — (12)(3 x 10+) 4 — = —— =1,592x 10°, — = A = 1,163 x 104, l 3,14 13 (3, 14)8 EI 104 4EI 4 104 2EI GET _ (6)(3 x10") _ 1,826x 104, ——= (4)(3 x10") _ 3,822x104, =~ =1,911x 104 2 (3, 14)? l 3,14 l i 2 3 a 8 a 10,519 —7,111 1,105 -10,519 7,111 1,105] |1 6,567 1,453 7,111 -6,567 1,453 | |2 ; aad 3,822 -1,105 -1,453 1,911 | |3 ~. [ko] = (10°) 10,519 —7,111 —1,105| |7 SIMET. 6,567 —1,453] |8 3,822 | |9 Montagem da matriz de rigidez global Assim: [K] = (104) x   1 2 3 4 5 6 7 8 9 20+10, 519 0−7, 111 0+1, 105 −20 0 0 −10, 519 7, 111 1, 105 2, 304+6, 567 −2, 88+1, 453 0 −2, 304 −2, 88 7, 111 −6, 567 1, 453 4, 8+3, 822 0 2, 88 2, 4 −1, 105 −1, 453 1, 911 20 0 0 0 0 0 2, 304 2, 88 0 0 0 4, 8 0 0 0 SIMET. 10, 519 −7, 111 −1, 105 6, 567 −1, 453 3, 822   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 Montagem da matriz de rigidez global ∴ [K] = (104) x   30, 519 −7, 111 1, 105 −20 0 0 −10, 519 7, 111 1, 105 8, 871 −1, 427 0 −2, 304 −2, 88 7, 111 −6, 567 1, 453 8, 622 0 2, 88 2, 4 −1, 105 −1, 453 1, 911 20 0 0 0 0 0 2, 304 2, 88 0 0 0 4, 8 0 0 0 SIMET. 10, 519 −7, 111 −1, 105 6, 567 −1, 453 3, 822   Montagem do vetor de forças globais • Montagem da matriz de rigidez global da estrutura, [K]; • Montagem do vetor de forças globais da estrutura, {F}; • Estabelecimento das condições de equilíbrio, [K]{D} = {F}; • Obtenção dos esforços internos em cada barra, {fe,i}. Montagem do vetor de forças globais {F} = {Feq} + {Fn} + {Fr} {Feq} → vetor de forças nodais equivalentes (às forças no interior das barras); {Fn} → vetor de forças nodais (aplicadas diretamente aos nós); {Fr} → reações de apoio. Assim: {Fn} =                            0 −100 −100 0 0 0 0 0 0                            | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 {Fr} =                            0 0 0 HA VA MA HC VC MC                            | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 As forças nodais equivalentes são obtidas pela contribuição direta de cada elemento de barra, de forma semelhante ao procedimento de montagem da matriz de rigidez. Barra 1: ql? /12 q gl? /12 vaaa at 2 (TET Ae ® 12 V) ql /2 ql /2 4 1 a P a 2 q=40 kN/m 2 @ l=1,, =2,5m 8 9 ¥ Le ) 7 0 0 —ql/2 —50 —ql? /12 —20, 83 {feq.at = 4 of = 0 {fea} = [Ri}’ {feqa} = {feat —ql/2 —50 =[1] ql? /12 20, 83 A 5 6 12 3 {fei}? ={0 -50 -20,83 0 -50 20,83} Barra 2: 6 p | 3 c © 2) 100 kN 4 1 Ps i) va PSY 79, 62 kN Ino =3,14m 9 BC 7 @ | y Ls N22 7 ec sl ful_ fl _, [0,796 —0,605 0 | _ f 60,51 —s c||vf |v 0,605 0,796 | |-100f — \—79, 62 PI/8 P PI/8 P Pb/I Pa/1 P/2 P/2 a><— ) {figo}" = {30,225 —39,81 -31,25 30,225 -—39,81 31,25} 67> [5 30, 225 kN 2) 33 ch meals 4 8125 KN my) 1 39, 81 kN @ 8| 9 y ~) LL. 31,2 —. x PNG 39,81 EN 30,225 kN 0,796 0,605 0 30, 225 —0,605 0,796 0 [0] —39, 81 pape ye 0 0 1 —31, 25 {fea2} = [Ra] {fea2t = 0,796 0,605 O| ) 30,225 [0] —0,605 0,796 0] | —39,81 0 0 1] | 31,25 to 2 38 TB YD o{feq2}7 ={0 -50 -31,25 0 -50 31,25} Montagem do vetor de forças globais Assim: {Feq} =                            0+0 −50−50 20, 83−31, 25 0 −50 −20, 83 0 −50 31, 25                            | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 =                            0 −100 −10, 42 0 −50 −20, 83 0 −50 31, 25                            | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 Concluindo: {F} = {Feq}+{Fn}+{Fr} =                            0 −100 −10, 42 0 −50 −20, 83 0 −50 31, 25                            +                            0 −100 −100 0 0 0 0 0 0                            +                            0 0 0 HA VA MA HC VC MC                            =                            0 −200 −110, 42 HA −50 + VA −20, 83 + MA HC −50 + VC 31, 25 + MC                            Condição de equilíbrio • Montagem da matriz de rigidez global da estrutura, [K]; • Montagem do vetor de forças globais da estrutura, {F}; • Estabelecimento das condições de equilíbrio, [K]{D} = {F}; • Obtenção dos esforços internos em cada barra, {fe,i}. 30,519 —7,111 1,105 + —20 0 0 —10,519 7,111 1,105 8,871 1,427! 0 2,304 -2,88 7,111 -6,567 1,453 8,622 | 0 2, 88 2,4 1,105 1,453 1,911 BG (10*) 2,304 =. 2, 88 0 0 0 4,8 0 0 0 SIMET. | 10,519 —7,111 —1,105 6,567 —1,453 3, 822 Dy 0 Do —200 D3 —110, 42 “ae coon igtt cee. <0 b= —50+ V4 0 20,83 + M4 0 Ho 0 —50+ Vo 0 31,25+ Mc fel «fi {fp} _ {fF} _ _ ie tke | Vr (py f > WultPoh = thd ~ irl {Ps} ={0} 30,519 —7,111 1,105 Di 0 104 8,871 —1,427| 2D2S$=2 —200 SIMET. 8, 622 Ds —110, 42 -,| Dy = —6,486 x 107* m] | Dz = —3, 048 x 107° m] | D3 = —1, 702 x 107° rad Reagoées de apoio: {Fy} = [Kp] {Di} + [Kee] {De} Sa’ ={0} Ha —20 0 0 0 Va 0 —2,304 2,88 _ —50 Ma \ _ 193 0 —2,88 2,4 Boek (10-4) —20, 83 Hof -10,519 7,111 1,105] ) 42’ 45 0 Vo 7,111 —6,567 —1,453 , —50 Mc 1, 105 1,453 1,911 31, 25 -.| Ha = 129,72 KN| | Va = 71,21 KN| | Ma = 67,76 kNm Ho = —129,72 kN] | Vo = 228,77 KN] | Mo = —115,23 KNm Esforços internos • Montagem da matriz de rigidez global da estrutura, [K]; • Montagem do vetor de forças globais da estrutura, {F}; • Estabelecimento das condições de equilíbrio, [K]{D} = {F}; • Obtenção dos esforços internos em cada barra, {fe,i}. {fe} = {f'} — {feq} = [KURI a} — {feq} = [RIAN {a} — {£24} San =[R][k] Barra 1: {fea} = [Ril[kil{di} — {feqa} = [ei {di} — {fea} Ww (] 20 0 0 —20 0 0 0 0 2,304 2,88 O —2,304 2,88 0 —50 pan 4,8 0 —2,88 2,4 0 4 —20, 83 {fei} = (10°) 20 0 0 —6, 486 (0™")- 0 SIMET. 2,304 —2,88] | —30,48 —50 4,8 —17,02 20, 83 129, 72 kN 71,21 kN _ J 67,76 kN m ~ ) —129,72 kN 28,79 kN —14,74kNm Esforços internos Barra 2: {fe,2} = [R2][k2]{d2} − {f′ eq,2} [k2]{d2} =   10, 519 −7, 111 1, 105 −10, 519 7, 111 1, 105 6, 567 1, 453 7, 111 −6, 567 1, 453 3, 822 −1, 105 −1, 453 1, 911 10, 519 −7, 111 −1, 105 SIMET. 6, 567 −1, 453 3, 822                −6, 486 −30, 48 −17, 02 0 0 0              =              129, 72 −178, 77 −116, 50 −129, 72 178, 77 −83, 98              {fe,2} =   0, 796 0, 605 0 −0, 605 0, 796 0 [0] 0 0 1 0, 796 0, 605 0 [0] −0, 605 0, 796 0 0 0 1                129, 72 −178, 77 −116, 50 −129, 72 178, 77 −83, 98              −              30, 225 −39, 81 −31, 25 30, 225 −39, 81 31, 25              =              181, 19 kN −24, 03 kN −85, 25 kN m −241, 70 kN 103, 65 kN −115, 23 kN m             