Slide - Aula 4 - Análise de Uma Viga Pelo Método das Forças - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 04: Análise de uma viga pelo método das forças com remoção de vínculos externos ou internos DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) [SP] Estrutura isostática auxiliar (GIE = 0) (Número de vinculações suficientes) Vínculos liberados: e Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) [SP] Estrutura isostática auxiliar (GIE = 0) (Número de vinculações suficientes) Hiperestáticos associados aos vínculos liberados: X1 e X2 Vínculos liberados: e Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: Solicitação externa no [SP] Solicitação externa na estrutura original Solicitações isoladas de cargas unitárias no mesmo sentido dos hiperestáticos no [SP] 1 1 Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A): 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B): 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: Solicitação externa no [SP] Solicitação externa na estrutura original Solicitações isoladas de cargas unitárias no mesmo sentido dos hiperestáticos no [SP] 1 1 𝛿10 𝛿20 + 𝛿11 𝛿12 𝛿21 𝛿22 𝑋1 𝑋2 = 0 0 Matriz de flexibilidade Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Para estruturas reticuladas planas, como vigas, pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: Para treliças o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 Grau de indeterminação estática (GIE): Revisão: Para estruturas reticuladas planas, como vigas, pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: Para treliças o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser determinado por: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 Grau de indeterminação estática (GIE): Revisão: Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: De uma fora geral, o deslocamento (ou rotação) em um ponto qualquer de uma estrutura reticulada, com comportamento elástico linear, pode ser dado por: ∆= 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀 𝑑𝜃 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐷2 = 1 ത𝑃2 න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 Revisão: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Vamos analisar a seguinte viga contínua: Para a viga contínua abaixo, pede-se calcular as reações de apoio e traçar o diagrama de momentos fletores. Obs.: Desprezar a contribuição do cisalhamento na energia de deformação. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 1º) Cálculo do GIE: (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 5 + 3 ∙ 0 − 3 + 0 = 2 A estrutura é hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes). 1º) Cálculo do GIE: (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 5 + 3 ∙ 0 − 3 + 0 = 2 A estrutura é hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes). (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) 2º) Criação do [SP]: Sistema principal [SP] 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 5 + 3 ∙ 0 − 3 + 0 = 2 A estrutura é hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes). Sistema principal [SP] 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Reações de apoio: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Esforços solicitantes: s 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Esforços solicitantes: s s 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 − 𝑥 𝑄𝟎 𝑥 = − 𝑞𝑙 6 𝑀𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 𝑥 − 𝑥2 2 𝑀𝟎 𝑥 = 𝑞𝑙 6 3𝑙 − 𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑞𝑙 6 5𝑞𝑙 6 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑞𝑙 6 5𝑞𝑙 6 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 − 𝑥 𝑄𝟎 𝑥 = − 𝑞𝑙 6 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 𝑞𝑙 6 5𝑞𝑙 6 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 − 𝑥 𝑄𝟎 𝑥 = − 𝑞𝑙 6 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 𝑞𝑙 6 5𝑞𝑙 6 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 − 𝑥 𝑄𝟎 𝑥 = − 𝑞𝑙 6 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 5𝑞𝑙 6 𝑞𝑙 6 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 − 𝑥 𝑄𝟎 𝑥 = − 𝑞𝑙 6 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 5𝑞𝑙 6 𝑞𝑙 6 𝑞𝑙2 8 𝑙/2 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 − 𝑥 𝑄𝟎 𝑥 = − 𝑞𝑙 6 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 𝑞𝑙 6 5𝑞𝑙 6 𝑞𝑙2 8 𝑙/2 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 − 𝑥 𝑄𝟎 𝑥 = − 𝑞𝑙 6 𝑀𝟎 𝑥 = 𝑞 5𝑙 6 𝑥 − 𝑥2 2 𝑀𝟎 𝑥 = 𝑞𝑙 6 3𝑙 − 𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 𝑞𝑙 6 5𝑞𝑙 6 𝑞𝑙2 8 𝑙/2 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5º) Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Reações de apoio: 5º) Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1.) 1 3 2 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5º) Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1.) Esforços solicitantes: 1 3 2 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5º) Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1.) Esforços solicitantes: 1 3 2 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5º) Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1.) Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟏 𝑥 = − 2 3 𝑘𝑁 𝑄𝟏 𝑥 = 1 3 𝑘𝑁 𝑀𝟏 𝑥 = − 2𝑥 3 𝑘𝑁 𝑀𝟏 𝑥 = − 1 3 3𝑙 − 𝑥 𝑘𝑁 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑙: 1 3 2 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5º) Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Reações de apoio: 5º) Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2.) 2 3 1 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Esforços solicitantes: 5º) Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2.) 2 3 1 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Esforços solicitantes: 5º) Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2.) 2 3 1 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Diagramas de esforços solicitantes: 𝑄𝟐 𝑥 = − 1 3 𝑘𝑁 𝑄𝟐 𝑥 = 2 3 𝑘𝑁 𝑀𝟐 𝑥 = − 1𝑥 3 𝑘𝑁 𝑀𝟐 𝑥 = − 2 3 3𝑙 − 𝑥 𝑘𝑁 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 2𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 2𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 2𝑙: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 2𝑙: 5º) Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2.) 2 3 1 3 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. Termos de Carga: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado pelo carregamento externo no [SP] (caso 0). 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝑖𝟎 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝟎 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝟎 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Termos de Carga: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado pelo carregamento externo no [SP] (caso 0). 𝛿𝑖𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Utilizando a tabela de integração: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Utilizando a tabela de integração: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Utilizando a tabela de integração: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Utilizando a tabela de integração: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = − 5 24 𝑞𝑙4 𝐸𝐼 = − 253,125 𝐸𝐼 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = − 1 4 𝑞𝑙4 𝐸𝐼 = − 303,75 𝐸𝐼 O fato dos termos de carga apresentarem sinais negativos indica que os deslocamentos ocorrem no sentido oposto ao arbitrado para X1 e X2, conforme indicado nas figuras abaixo (como era de se esperar). 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj (caso j). 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝒊𝒋 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝒊𝑁𝒋 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝒊𝑀𝒋 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝒊𝑄𝒋 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj (caso j). 𝛿𝒊𝒋 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝒊𝑀𝒋 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Utilizando a tabela de integração: 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟐 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟐 = 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟏𝟐 = 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟏𝟐 = 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟐𝟐 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟐𝟐 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) Utilizando a tabela de integração: 𝛿𝟐𝟐 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) Sistema Principal alternativo: Liberação de vínculos internos Neste caso os hiperestáticos representam esforços internos na seção escolhida e os termos de carga e coeficientes de flexibilidade representam deslocamentos relativos. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Sistema Principal alternativo: Liberação de vínculos internos Neste caso os hiperestáticos representam esforços internos na seção escolhida e os termos de carga e coeficientes de flexibilidade representam deslocamentos relativos. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: Sistema Principal [SP] e hiperestáticos associados Deve-se notar que, neste caso, os vínculos eliminados foram as continuidades da rotação da viga nos apoios internos e os hiperestáticos, a serem calculados, são momentos fletores que reestabeleçam uma inclinação contínua da linha elástica. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5º) Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 5º) Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2.) 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝟏𝟐 = 𝛿𝟐𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝟐𝟐 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.2 - Análise de uma viga pelo método das forças: (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 8: Item 8.4: Análise de uma viga contínua Leitura sugerida: Capítulo 8: Item 8.1: Metodologia de análise pelo método das forças Capítulo 8: Item 8.2: Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga Capítulo 8: Item 8.3: Determinação dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade 107 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado!