Slide - Aula 1 - Introdução - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 01: Introdução ao curso e conceitos básicos DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 1 - Curso de Análise Estrutural II: • Introdução e conceitos básicos • Método das forças • Método dos deslocamentos • Método da rigidez direta • Teoremas de energia Bibliografia básica: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 2ª ed. (ou 1ª ed.), Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017; Livro - Mecânica dos Sólidos: volume 2, S. P. Timoshenko e J. M. Gere, LTC, 1982 (teoremas de energia). Bibliografia complementar: Apostila de exemplos, Alcebíades Vasconcelos Filho, Fernando A. de Paula, Gabriel O. Ribeiro. 1 - Curso de Análise Estrutural II: • Introdução e conceitos básicos • Método das forças • Método dos deslocamentos • Método da rigidez direta • Teoremas de energia Bibliografia básica: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 2ª ed. (ou 1ª ed.), Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017; Livro - Mecânica dos Sólidos: volume 2, S. P. Timoshenko e J. M. Gere, LTC, 1982 (teoremas de energia). Bibliografia complementar: Apostila de exemplos, Alcebíades Vasconcelos Filho, Fernando A. de Paula, Gabriel O. Ribeiro. 1 - Curso de Análise Estrutural II: • Introdução e conceitos básicos • Método das forças • Método dos deslocamentos • Método da rigidez direta • Teoremas de energia Bibliografia básica: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 2ª ed. (ou 1ª ed.), Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017; Livro - Mecânica dos Sólidos: volume 2, S. P. Timoshenko e J. M. Gere, LTC, 1982 (teoremas de energia). Bibliografia complementar: Apostila de exemplos, Alcebíades Vasconcelos Filho, Fernando A. de Paula, Gabriel O. Ribeiro. 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ele será construída, satisfazendo condições de segurança, de utilização, econômicas, estéticas, ambientais construtivas e legais. São inúmeras e muito complexas as etapas de um projeto estrutural. Entre elas está a previsão do comportamento da estrutura de tal forma que ela possa atender satisfatoriamente às condições de segurança e de utilização para as quais foi concebida. A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita uma previsão do comportamento da estrutura, abrangendo cálculos de: • Reações de apoio • Esforços internos • Deslocamentos e rotações • Tensões e deformações 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ele será construída, satisfazendo condições de segurança, de utilização, econômicas, estéticas, ambientais construtivas e legais. São inúmeras e muito complexas as etapas de um projeto estrutural. Entre elas está a previsão do comportamento da estrutura de tal forma que ela possa atender satisfatoriamente às condições de segurança e de utilização para as quais foi concebida. A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita uma previsão do comportamento da estrutura, abrangendo cálculos de: • Reações de apoio • Esforços internos • Deslocamentos e rotações • Tensões e deformações 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ele será construída, satisfazendo condições de segurança, de utilização, econômicas, estéticas, ambientais construtivas e legais. São inúmeras e muito complexas as etapas de um projeto estrutural. Entre elas está a previsão do comportamento da estrutura de tal forma que ela possa atender satisfatoriamente às condições de segurança e de utilização para as quais foi concebida. A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita uma previsão do comportamento da estrutura, abrangendo cálculos de: • Reações de apoio • Esforços internos • Deslocamentos e rotações • Tensões e deformações 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: (Forma analítica) (Métodos de análise) (Métodos numéricos) A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Estrutura Real: Estrutura física como construída Base para o desenvolvimento de simplificações e idealizações A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Modelo Estrutural (ou matemático): Modelo analítico idealizado para representar matematicamente o comportamento da estrutura real. Na concepção do modelo estrutural, adota-se uma série de hipóteses simplificadoras sobre: • Geometria do modelo (estruturas reticuladas, barras, placas, cascas, etc.) • Condições de apoio (apoios, engastes, rótulas, etc.) • Comportamento dos materiais (linear elástico, elastoplástico, dano, etc.) • Solicitações externas (sobrecargas, pressão do vento, cargas pontuais, etc.) A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Modelo Estrutural (ou matemático): A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Modelo Estrutural (ou matemático): A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Modelo Estrutural (ou matemático): A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Modelo Discreto (métodos de análise): Neste nível de abstração, o modelo estrutural é reformulado em um modelo discreto (parâmetros pontuais), concebido dentro das metodologias de cálculo dos métodos de análise. Estes métodos são empregados na análise de estruturas em que a solução direta do modelo estrutural (ou modelo analítico) não é trivial, como no caso de estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas). A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Modelo Discreto (métodos de análise): No método das forças para estruturas reticuladas hiperestáticas, os parâmetros são forças (ou momentos) em determinados pontos, de forma a garantir compatibilidade dos deslocamentos nas estruturas deformadas. Já no método dos deslocamentos, os parâmetros são deslocamentos em determinados pontos, de forma a garantir o equilíbrio da estrutura. O método da rigidez direta é uma formulação matricial do método dos deslocamentos, podendo ser visto como um caso particular do método dos elementos finitos, quando aplicado às estruturas reticuladas A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.1 - Etapas da análise estrutural: Modelo Computacional (solução aproximada por meio de funções de interpolação e implementação computacional de métodos numéricos): Atualmente, o processo de cálculo dos parâmetros discretos (e muitas vezes a própria discretização do modelo matemático) é realizado através de programas computacionais como ANSYS, SAP2000, ABAQUS, INSANE, utilizando-se diferentes métodos numéricos. A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração: 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 𝑁1 𝑁2 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: Pelas condições de equilíbrio, tem-se: ෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑁2 sen 𝜃 − 𝑁1 sen 𝜃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 𝑁1 𝑁2 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: Pelas condições de equilíbrio, tem-se: ෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑁2 sen 𝜃 − 𝑁1 sen 𝜃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 𝑁1 𝑁2 ෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁1 cos 𝜃 − 𝑃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 = 𝑃 2 cos(𝜃) 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: Pelas condições de equilíbrio, tem-se: ෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑁2 sen 𝜃 − 𝑁1 sen 𝜃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 𝑁1 𝑁2 ෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁1 cos 𝜃 − 𝑃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 = 𝑃 2 cos(𝜃) 2 incógnitas: 𝑁1 e 𝑁2 2 equações: σ 𝐹𝑥 = 0 e σ 𝐹𝑦 = 0 Estrutura isostática (equações de equilíbrio são suficientes para analisar a estrutura) 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: ෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑁2 sen 𝜃 − 𝑁1 sen 𝜃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: ෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑁2 sen 𝜃 − 𝑁1 sen 𝜃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 ෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁1 cos 𝜃 + 𝑁3 − 𝑃 = 0 ∴ 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: ෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑁2 sen 𝜃 − 𝑁1 sen 𝜃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 ෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁1 cos 𝜃 + 𝑁3 − 𝑃 = 0 ∴ 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas: 𝑁1 , 𝑁2 e 𝑁3 2 equações: σ 𝐹𝑥 = 0 e σ 𝐹𝑦 = 0 Estrutura hiperestática (equações de equilíbrio não são suficientes para analisar a estrutura) 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 3 incógnitas: 𝑁1 , 𝑁2 e 𝑁3 2 equações: σ 𝐹𝑥 = 0 e σ 𝐹𝑦 = 0 Estrutura hiperestática (equações de equilíbrio não são suficientes para analisar a estrutura) Neste caso é necessário recorrer: • Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações • Leis constitutivas (comportamento do material) 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações: São condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos externos. 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações: São condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos externos. Neste exemplo, a compatibilidade externa é atendida, considerando-se uma configuração deformada com deslocamentos nulos nos nós superiores. Já a compatibilidade interna exige que as extremidades das três barras ligadas ao nó inferior permaneçam unidas após o deslocamento. 𝐷 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações: São condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos externos. 𝐷 𝑑3 𝑑1 Devido à simetria do problema só há o deslocamento vertical D do nó inferior e, assumindo pequenos deslocamentos, pode-se considerar inalterado o ângulo θ após a deformação. d1 é o alongamento das barras inclinadas. d3 é o alongamento da barra vertical 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações: São condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos externos. Logo: 𝐷 𝑑3 𝑑1 Devido à simetria do problema só há o deslocamento vertical D do nó inferior e, assumindo pequenos deslocamentos, pode-se considerar inalterado o ângulo θ após a deformação. d1 é o alongamento das barras inclinadas. d3 é o alongamento da barra vertical 𝑑3 = 𝐷 𝑑1 = 𝐷 cos(𝜃) 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) Equação de compatibilidade 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação É necessário recorrer, ainda, às • Leis constitutivas (comportamento do material) 𝑑3 𝑑1 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação É necessário recorrer, ainda, às • Leis constitutivas (comportamento do material) 𝑑3 𝑑1 Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação É necessário recorrer, ainda, às • Leis constitutivas (comportamento do material) 𝑑3 𝑑1 Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Leis constitutivas (descreve o comportamento do material): O comportamento do material é caracterizado por leis constitutivas, que correspondem às relações entre tensões e deformações. Considerando o material homogêneo, isotrópico, linear e elástico, tem- se o seu comportamento representado pela lei de Hooke. 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Leis constitutivas (descreve o comportamento do material): O comportamento do material é caracterizado por leis constitutivas, que correspondem às relações entre tensões e deformações. Considerando o material homogêneo, isotrópico, linear e elástico, tem- se o seu comportamento representado pela lei de Hooke. 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Leis constitutivas (descreve o comportamento do material): O comportamento do material é caracterizado por leis constitutivas, que correspondem às relações entre tensões e deformações. Considerando o material homogêneo, isotrópico, linear e elástico, tem- se o seu comportamento representado pela lei de Hooke. No caso das barras do exemplo em análise, a tensão axial, 𝜎𝑥, se relaciona à deformação axial, 𝜀𝑥, através do módulo de elasticidade do material: 𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 Lei constitutiva 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Leis constitutivas (descreve o comportamento do material): O comportamento do material é caracterizado por leis constitutivas, que correspondem às relações entre tensões e deformações. Considerando o material homogêneo, isotrópico, linear e elástico, tem- se o seu comportamento representado pela lei de Hooke. No caso das barras do exemplo em análise, a tensão axial, 𝜎𝑥, se relaciona à deformação axial, 𝜀𝑥, através do módulo de elasticidade do material: 𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑑3 𝑑1 Lei constitutiva Barra vertical 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: Leis constitutivas (descreve o comportamento do material): O comportamento do material é caracterizado por leis constitutivas, que correspondem às relações entre tensões e deformações. Considerando o material homogêneo, isotrópico, linear e elástico, tem- se o seu comportamento representado pela lei de Hooke. No caso das barras do exemplo em análise, a tensão axial, 𝜎𝑥, se relaciona à deformação axial, 𝜀𝑥, através do módulo de elasticidade do material: 𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑑3 𝑑1 Lei constitutiva Barra vertical 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) Barras inclinadas 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 4 - Conceitos básicos: 4.2 - Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Estruturas hipostáticas possuem número de vinculações inferior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações insuficientes). Neste caso, a estrutura se torna um mecanismo com movimento de corpo rígido e incapacidade de permanecer em equilíbrio estático (instável). Estrutura isostáticas possuem número de vinculações igual ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações suficientes). Em geral, podem ser analisadas (calculado reações de apoio e esforços internos) levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente determinada). Estruturas hiperestáticas possuem número de vinculações superior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações excedentes). Nestes casos, são necessárias equações adicionais para analisar a estrutura, não sendo possível analisar a estrutura levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente indeterminadas). Tais equações são obtidas a partir de considerações sobre compatibilidade entre deslocamentos e deformações e sobre o comportamento dos materiais. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Estruturas hipostáticas possuem número de vinculações inferior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações insuficientes). Neste caso, a estrutura se torna um mecanismo com movimento de corpo rígido e incapacidade de permanecer em equilíbrio estático (instável). Estrutura isostáticas possuem número de vinculações igual ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações suficientes). Em geral, podem ser analisadas (calculado reações de apoio e esforços internos) levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente determinada). Estruturas hiperestáticas possuem número de vinculações superior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações excedentes). Nestes casos, são necessárias equações adicionais para analisar a estrutura, não sendo possível analisar a estrutura levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente indeterminadas). Tais equações são obtidas a partir de considerações sobre compatibilidade entre deslocamentos e deformações e sobre o comportamento dos materiais. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Estruturas hipostáticas possuem número de vinculações inferior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações insuficientes). Neste caso, a estrutura se torna um mecanismo com movimento de corpo rígido e incapacidade de permanecer em equilíbrio estático (instável). Estrutura isostáticas possuem número de vinculações igual ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações suficientes). Em geral, podem ser analisadas (calculado reações de apoio e esforços internos) levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente determinada). Estruturas hiperestáticas possuem número de vinculações superior ao número de equações de equilíbrio estático (vinculações excedentes). Nestes casos, são necessárias equações adicionais para analisar a estrutura, não sendo possível analisar a estrutura levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio estático (estaticamente indeterminadas). Tais equações são obtidas a partir de considerações sobre compatibilidade entre deslocamentos e deformações e sobre o comportamento dos materiais. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Embora a resolução de estruturas hiperestática seja mais complexa, a maioria das estruturas é hiperestática. Então, por que se utiliza estruturas hiperestáticas? 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Melhor distribuição dos esforços: Na configuração hiperestática, apesar das colunas ficarem carregadas à flexão, o momento fletor máximo na viga é inferior ao caso isostático. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Possibilidade de maior controle na distribuição dos esforços: O projetista pode aumentar ou reduzir esforços em determinadas regiões da estrutura através da variação dos parâmetros de rigidez dos diferentes elementos (o que não pode ser feito nas estruturas isostáticas). 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Segurança adicional (redundância): Se parte de uma estrutura hiperestática perder sua capacidade resistente, a estrutura ainda pode ter estabilidade. Na treliça, se houver flambagem da diagonal comprimida, a estrutura permanece estável. Na viga, se houver plastificação na extremidade engastada (formação de rótula plástica), a estrutura permanece estável. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Segurança adicional (redundância): Se parte de uma estrutura hiperestática perder sua capacidade resistente, a estrutura ainda pode ter estabilidade. Na treliça, se houver flambagem da diagonal comprimida, a estrutura permanece estável. Na viga, se houver plastificação na extremidade engastada (formação de rótula plástica), a estrutura permanece estável. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Em contrapartida, estruturas hiperestáticas tem esforços internos induzidos por recalques de apoio e por variação de temperatura e são menos adaptáveis aos erros de fabricação na ocasião da montagem. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Em contrapartida, estruturas hiperestáticas tem esforços internos induzidos por recalques de apoio e por variação de temperatura e são menos adaptáveis aos erros de fabricação na ocasião da montagem. 4 - Conceitos básicos: 4.3 - Estrutura hiperestática x Estrutura isostática: Em contrapartida, estruturas hiperestáticas tem esforços internos induzidos por recalques de apoio e por variação de temperatura e são menos adaptáveis aos erros de fabricação na ocasião da montagem. 4 - Conceitos básicos: 4.4 - Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: 4 - Conceitos básicos: 4.4 - Introdução aos métodos de análise: Como observado, as condições básicas para análise estrutural são: • Condições de equilíbrio • Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações • Comportamento do material (leis constitutivas) A imposição destas condições, como neste exemplo simples, pode ser uma tarefa árdua dependendo da complexidade da estrutura analisada. Portanto, a imposição destas condições de forma sistematizada é a base dos métodos básicos de análise estrutural: • Método das forças (ou método da flexibilidade, ou método da compatibilidade) • Método dos deslocamentos (ou método da rigidez, ou método do equilíbrio) 4 - Conceitos básicos: 4.4 - Introdução aos métodos de análise: Como observado, as condições básicas para análise estrutural são: • Condições de equilíbrio • Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações • Comportamento do material (leis constitutivas) A imposição destas condições, como neste exemplo simples, pode ser uma tarefa árdua dependendo da complexidade da estrutura analisada. Portanto, a imposição destas condições de forma sistematizada é a base dos métodos básicos de análise estrutural: • Método das forças (ou método da flexibilidade, ou método da compatibilidade) • Método dos deslocamentos (ou método da rigidez, ou método do equilíbrio) 4 - Conceitos básicos: 4.4 - Introdução aos métodos de análise: Como observado, as condições básicas para análise estrutural são: • Condições de equilíbrio • Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações • Comportamento do material (leis constitutivas) A imposição destas condições, como neste exemplo simples, pode ser uma tarefa árdua dependendo da complexidade da estrutura analisada. Portanto, a imposição destas condições de forma sistematizada é a base dos métodos básicos de análise estrutural: • Método das forças (ou método da flexibilidade, ou método da compatibilidade) • Método dos deslocamentos (ou método da rigidez, ou método do equilíbrio) 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: O método das forças tem como ideia básica determinar, dentro do conjunto de soluções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio, aquela que faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas. Incógnitas: forças e momentos. Sequência de aplicação das condições básicas: • Equilíbrio; • Leis constitutivas; • Compatibilidade. 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: Na prática, porém, a metodologia utilizada pelo método das forças para analisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de compatibilidade. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura isostática auxiliar (sistema principal [SP]), obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. As forças ou momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e recebem a nomenclatura de hiperestáticos. 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e do hiperestático, X1. Se o GIE da estrutura original fosse de ordem maior, novos casos, cada um isolando o efeito de um hiperestático, deveriam ser adicionados. 𝑋1 = 𝑁3 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e do hiperestático, X1. Se o GIE da estrutura original fosse de ordem maior, novos casos, cada um isolando o efeito de um hiperestático, deveriam ser adicionados. 𝑋1 = 𝑁3 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e do hiperestático, X1. Se o GIE da estrutura original fosse de ordem maior, novos casos, cada um isolando o efeito de um hiperestático, deveriam ser adicionados. 𝑋1 = 𝑁3 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade 4 - Conceitos básicos: 4.5 - Introdução ao método das forças: 4 - Conceitos básicos: 4.6 - Princípio da superposição de efeitos: Como pôde ser visto, os métodos básicos para análise de estruturas hiperestáticas fazem uso do princípio da superposição de efeitos. Este princípio estabelece que a superposição (soma) dos campos de deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando simultaneamente. 4 - Conceitos básicos: 4.6 - Princípio da superposição de efeitos: Como pôde ser visto, os métodos básicos para análise de estruturas hiperestáticas fazem uso do princípio da superposição de efeitos. Este princípio estabelece que a superposição (soma) dos campos de deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando simultaneamente. 4 - Conceitos básicos: 4.6 - Princípio da superposição de efeitos: Como pôde ser visto, os métodos básicos para análise de estruturas hiperestáticas fazem uso do princípio da superposição de efeitos. Este princípio estabelece que a superposição (soma) dos campos de deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando simultaneamente. 4 - Conceitos básicos: 4.6 - Princípio da superposição de efeitos: O princípio da superposição de efeitos, entretanto, é aplicável somente quando: • Os materiais apresentam comportamento elástico e linear, isto é, obedecem à lei de Hooke (análise fisicamente linear) • A estrutura é calculada em regime de pequenos deslocamentos (análise geometricamente linear). Pode-se considerar o regime de pequenos deslocamentos quando as equações de equilíbrio escritas na geometria não deformada da estrutura fornecem resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equações de equilíbrio escritas na geometria deformada. Na prática, adota-se tal suposição quando os deslocamentos têm valores bem inferiores aos tamanhos típicos dos elementos estruturais, o que é comum nas estruturas convencionais da engenharia civil. Uma análise estrutural que considera pequenos deslocamentos é denominada análise de primeira ordem. Uma análise que leva em conta os deslocamentos da estrutura e, portanto, formula as condições de equilíbrio na configuração deformada, em geral, para grandes deslocamentos, é denominada análise de segunda ordem. 4 - Conceitos básicos: 4.6 - Princípio da superposição de efeitos: O princípio da superposição de efeitos, entretanto, é aplicável somente quando: • Os materiais apresentam comportamento elástico e linear, isto é, obedecem à lei de Hooke (análise fisicamente linear) • A estrutura é calculada em regime de pequenos deslocamentos (análise geometricamente linear). Pode-se considerar o regime de pequenos deslocamentos quando as equações de equilíbrio escritas na geometria não deformada da estrutura fornecem resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equações de equilíbrio escritas na geometria deformada. Na prática, adota-se tal suposição quando os deslocamentos têm valores bem inferiores aos tamanhos típicos dos elementos estruturais, o que é comum nas estruturas convencionais da engenharia civil. Uma análise estrutural que considera pequenos deslocamentos é denominada análise de primeira ordem. Uma análise que leva em conta os deslocamentos da estrutura e, portanto, formula as condições de equilíbrio na configuração deformada, em geral, para grandes deslocamentos, é denominada análise de segunda ordem. 4 - Conceitos básicos: 4.6 - Princípio da superposição de efeitos: O princípio da superposição de efeitos, entretanto, é aplicável somente quando: • Os materiais apresentam comportamento elástico e linear, isto é, obedecem à lei de Hooke (análise fisicamente linear) • A estrutura é calculada em regime de pequenos deslocamentos (análise geometricamente linear). Pode-se considerar o regime de pequenos deslocamentos quando as equações de equilíbrio escritas na geometria não deformada da estrutura fornecem resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equações de equilíbrio escritas na geometria deformada. Na prática, adota-se tal suposição quando os deslocamentos têm valores bem inferiores aos tamanhos típicos dos elementos estruturais, o que é comum nas estruturas convencionais da engenharia civil. Uma análise estrutural que considera pequenos deslocamentos é denominada análise de primeira ordem. Uma análise que leva em conta os deslocamentos da estrutura e, portanto, formula as condições de equilíbrio na configuração deformada, em geral, para grandes deslocamentos, é denominada análise de segunda ordem. Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 4: Considerações sobre equilíbrio e compatibilidade Leitura recomendada: Capítulo 1: Introdução à análise de estruturas Capítulo 2: Modelos de estruturas reticuladas Capítulo 3: Estruturas isostática 73 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado!