Slide - Aula 11 - Reações de Engastamento Perfeito - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 11: Reações de engastamento perfeito DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS A metodologia utilizada pelo método dos deslocamentos para analisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de compatibilidade mas não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de equilíbrio. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é uma estrutura auxiliar cinematicamente determinada (denominada Sistemas Hipergeométrico [SH]), com configuração deformada conhecida, obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos. Os deslocamentos ou rotações associados aos vínculos restringidos, denominados deslocabilidades, são as incógnitas do problema. Revisão: Introdução ao método dos deslocamentos: 1º) Definir um sistema de referência global 2º) Identificar os deslocamentos desconhecidos de extremidades de barras (deslocabilidades globais) 3º) Construção da estrutura auxiliar (sistema hipergeométrico) 4º) Determinação dos termos de carga (Caso [0] – Solicitação externa no SH) 5º) Determinação dos coeficientes de rigidez globais (Casos [j] – Imposição de cada deslocabilidade isoladamente com valor unitário) 6º) Reestabelecimento das condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) 7º) Determinação das reações de apoio e dos diagramas de esforços solicitantes (superposição ponderada de efeitos) Revisão: Metodologia de análise: Revisão: Metodologia de análise: 5 kN/m E 3 m 6 m Revisão: Metodologia de análise: 5 kN/m D2 E D1 D3 3 m 6 m Revisão: Metodologia de análise: 5 kN/m D2 E D1 D3 3 m 6 m = β30 = +15 kNm β10 = 0 β20 = +15 kN 5 kN/m 15 kN 15 kNm Revisão: Metodologia de análise: K_11 = +35252.7 kN/m K_21 = +13160.4 kN/m K_31 = +2764.8 kNm/m K_12 = +13160.4 kN/m K_22 = +19729.7 kN/m K_32 = +326.4 kNm/m K_13 = +2764.8 kN/rad K_23 = +326.4 kN/rad K_33 = +21120.0 kNm/rad β_30 = +15 kNm β10 = 0 β_20 = +15 kN 5 kN/m D_1 = 1 K_31 K_11 K_21 D_2 = 1 K_12 K_22 K_32 D_3 = 1 K_33 K_13 K_23 5 kN/m 15 kN 3 m 6 m 24000.0 8000 2400.0 11252.7 13160.4 19729.7 2073.6 18929.7 4800.0 2764.8 5760.0 6º) Reestabelecimento das condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) Revisão: Metodologia de análise: Essas soluções fundamentais formam a base para o processo de discretização do método dos deslocamentos. Revisão: Metodologia de análise: 6 - Método dos deslocamentos: 6.3 - Soluções fundamentais para barras isoladas: 6 - Método dos deslocamentos: 6.3 - Soluções fundamentais para barras isoladas: 6 - Método dos deslocamentos: 6.4 – Aplicação do teorema da reciprocidade de Betti: 6 - Método dos deslocamentos: Do Teorema da reciprocidade de Betti ou Teorema do trabalho recíproco, tem-se: 6.4 – Aplicação do teorema da reciprocidade de Betti: 6 - Método dos deslocamentos: 6.4 – Aplicação do teorema da reciprocidade de Betti: 6 – Método dos deslocamentos: 6.5 – Funções de forma: 6 – Método dos deslocamentos: 6.5 – Funções de forma: As equações diferenciais ordinárias que relacionam u(x) e v(x) aos carregamentos externos são dadas por: 6 – Método dos deslocamentos: 6.5 – Funções de forma: Considerando-se as condições de contorno, tem-se: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 → 𝑢 0 = 𝑑1 ′ → 𝑏1 0 + 𝑏0 = 𝑑1 ′ → 𝑏0 = 𝑑1 ′ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑙 → 𝑢 𝑙 = 𝑑4 ′ → 𝑏1 𝑙 + 𝑏0 = 𝑑4 ′ → 𝑏1 = 𝑑4 ′ − 𝑑1 ′ 𝑙 Dessa forma, tem-se: 𝑢 𝑥 = 𝑑4 ′ − 𝑑1 ′ 𝑙 𝑥 + 𝑑1 ′ → 𝑢 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑙 𝑑1 ′ + 𝑥 𝑙 𝑑4 ′ Funções de forma N1 N4 𝑢 𝑥 = 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 Para os deslocamentos axiais, tem-se: 6 – Método dos deslocamentos: 6.5 – Funções de forma: De forma análoga, considerando-se as condições de contorno: 𝑣 0 = 𝑑2 ′ ; 𝑣 𝑙 = 𝑑5 ′ ; 𝑑𝑣 0 𝑑𝑥 = 𝑑3 ′ ; 𝑑𝑣 𝑙 𝑑𝑥 = 𝑑6 ′ 𝑣 𝑥 = 1 − 3𝑥2 𝑙2 + 2𝑥3 𝑙3 𝑑2 ′ + 𝑥 − 2𝑥2 𝑙 + 𝑥3 𝑙2 𝑑3 ′ + 3𝑥2 𝑙2 − 2𝑥3 𝑙3 𝑑5 ′ + − 𝑥2 𝑙 + 𝑥3 𝑙2 𝑑6 ′ Funções de forma N5 N6 𝑣 𝑥 = 𝑐3 𝑥3 + 𝑐2 𝑥2 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐0 Dessa forma, tem-se: N2 N3 Já para os deslocamentos transversais, tem-se: 6 – Método dos deslocamentos: 6.5 – Funções de forma: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: Em resumo, por exemplo, tem-se as seguintes reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.6 - Reações de engastamento perfeito: 6 - Método dos deslocamentos: 6.7 - Reações de engastamento perfeito no caso de variação de temperatura: 6 - Método dos deslocamentos: 6.8 - Reações de engastamento perfeito em barras com articulação: Dessa forma, considerando-se os parâmetros fundamentais e aplicando-se o princípio da superposição de efeitos: Estruturas reticuladas, muitas vezes, apresentam barras articuladas em uma extremidade ou em ambas. Nestes casos, para determinar as reações de engastamento perfeito em barras com articulação, pode-se adotar uma superposição de efeitos de barras sem articulação. Para tal, utiliza-se os seguintes parâmetros fundamentais determinados com base no conceito de coeficientes de rigidez de barras a flexão em que tAB = 1/2: 6 - Método dos deslocamentos: Por exemplo: 6.8 - Reações de engastamento perfeito em barras com articulação: 6 - Método dos deslocamentos: Por exemplo: Das soluções fundamentais para reações de engastamento perfeito, tem-se: 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 𝑞𝑙2 12 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 𝑞𝑙 2 6.8 - Reações de engastamento perfeito em barras com articulação: 6 - Método dos deslocamentos: Por exemplo: Das soluções fundamentais para reações de engastamento perfeito, tem-se: Dessa forma: 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 𝑞𝑙2 12 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 𝑞𝑙 2 𝑀𝐴 = 𝑞𝑙2 12 𝑀𝐴𝑡𝐴𝐵 = 𝑞𝑙2 12 1 2 = 𝑞𝑙2 24 𝑀𝐴 1 + 𝑡𝐴𝐵 𝑙 = 𝑞𝑙2 12 1 + 1 2 𝑙 = 3𝑞𝑙 24 6.8 - Reações de engastamento perfeito em barras com articulação: 6 - Método dos deslocamentos: Portanto: 𝑞𝑙2 12 𝑞𝑙2 24 3𝑞𝑙 24 3𝑞𝑙 24 6.8 - Reações de engastamento perfeito em barras com articulação: 6 - Método dos deslocamentos: Em resumo, por exemplo, tem-se as seguintes reações de engastamento perfeito: 6.8 - Reações de engastamento perfeito em barras com articulação: 6º) Reestabelecer as condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) 6 - Método dos deslocamentos: 6.9 - Metodologia de análise: 4º) Determinar os termos de carga (Caso [0] – Solicitação externa no SH) 6 - Método dos deslocamentos: 6.9 - Metodologia de análise: Reações de engastamento perfeito Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 9: Item 9.1 - Funções de forma Capítulo 9: Item 9.3 - Reações de engastamento perfeito Leitura sugerida: Capítulo 10: Item 10.1 - Deslocabilidades e sistema hipergeométrico Capítulo 10: Item 10.2 - Metodologia de análise pelo método dos deslocamentos 41 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado!