Slide - Variáveis Aleatórias Discretas 2022-2

Vari´aveis Aleat´orias Discretas Sokol Ndreca Departamento de Estat´ıstica Instituto de Ciˆencias Exatas Universidade Federal de Minas Gerais Sokol Ndreca (EST - UFMG) 1 / 33 1 Vari´aveis Aleat´orias 2 Vari´aveis Aleat´orias Discretas 3 Distribui¸c˜oes de Probabilidade e Fun¸c˜oes de Probabilidade 4 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Sokol Ndreca (EST - UFMG) 2 / 33 Nota Esses slides foram preparados para a disciplina EST027. O conte´udo deles ´e baseado no Livro-texto: Montgomery, D. C., Runger, G. C. Estat´ıstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5a Ed., LTC. Deixo claro que esse material n˜ao substitui a consulta do livro texto. Qualquer corre¸c˜ao, sugest˜ao ou critica ser´a sempre bem vinda. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 3 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Outline 1 Vari´aveis Aleat´orias 2 Vari´aveis Aleat´orias Discretas 3 Distribui¸c˜oes de Probabilidade e Fun¸c˜oes de Probabilidade 4 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Sokol Ndreca (EST - UFMG) 4 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Vari´aveis Aleat´orias Frequentemente estamos interessados em resumir o resultado de um experimento aleat´orio atrav´es de um n´umero. Em muitos exemplos vimos que, o espa¸co amostral ´e apenas uma descri¸c˜ao dos resultados poss´ıveis do experimento aleat´orio. Descri¸c˜oes de resultados nem sempre s˜ao suficientes, portanto ´e ´util associar um numero a cada resultado do espa¸co amostral, i.e., estamos pensando numa fun¸c˜ao dos resultados do experimento aleat´orio Exemplo: lan¸camos trˆes moedas e observamos o n´umero de caras obtido. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 5 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Vari´aveis Aleat´orias Lembrando o fato que um resultado do experimento aleat´orio n˜ao ´e conhecido a priori, o valor resultante da vari´avel n˜ao ser´a conhecido a priori, tamb´em. Por esse motivo, a vari´avel que associa um n´umero ao resultado de um experimento aleat´orio ´e conhecida como vari´avel aleat´oria. Vari´avel Aleat´oria Uma vari´avel aleat´oria ´e uma fun¸c˜ao que confere um n´umero real a cada resultado no espa¸co amostral de um experimento aleat´orio. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 6 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Nota¸c˜ao Precisamos de uma nota¸c˜ao para distinguir vari´avel aleat´oria de n´umero real. Uma vari´avel aleat´oria ´e denotada por letra mai´uscula, tal como X. X : S → R Depois do experimento ser conduzido, o valor observado da vari´avel aleat´oria ´e denotado por letra min´uscula, tal como x. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 7 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Tipos de Vari´aveis Aleat´orias Vari´aveis Aleat´orias Discretas e Cont´ınuas Uma vari´avel aleat´orio discreta ´e um vari´avel aleat´orio com uma faixa finita (ou infinita cont´avel) de valores. Uma vari´avel aleat´orio continua ´e um vari´avel aleat´orio com um intervalo (tanto finito como infinito) de n´umeros reais para sua faixa. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 8 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Exemplos de Vari´aveis Aleat´orias Exemplos de Vari´aveis Aleat´orias Discretas: n´umero de arranh˜oes em uma superf´ıcie; propor¸c˜ao de parte defeituosas em 1000 resultados; n´umero de bits transmitidos e recebidos com erro. Cont´ınuas: corrente el´etrica; comprimento; press˜ao; temperatura. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 9 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Discretas Outline 1 Vari´aveis Aleat´orias 2 Vari´aveis Aleat´orias Discretas 3 Distribui¸c˜oes de Probabilidade e Fun¸c˜oes de Probabilidade 4 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Sokol Ndreca (EST - UFMG) 10 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Discretas Vari´aveis Aleat´orias Discretas Muitos sistemas f´ısicos podem ser modelados pelas vari´aveis aleat´orias. A distribui¸c˜ao das vari´aveis aleat´orias envolvidas em cada um desses sistemas pode ser analisada e os resultados dessa an´alise podem ser usados em diversas aplica¸c˜oes e exemplos. Vamos apresentar aqui a an´alise de experimentos aleat´orios que envolvem vari´aveis aleat´orias discretas. Muitas vezes, omitimos uma discuss˜ao sobre o espa¸co amostral do experimento aleat´orio e descrevemos diretamente a distribui¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 11 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Discretas Exemplo 3-1: Linhas com Vozes Um sistema de comunica¸c˜ao por voz para uma empresa cont´em 48 linhas externas. Em certo tempo, o sistema ´e observado e algumas linhas est˜ao sendo usadas. Seja a vari´avel X o n´umero de linhas em uso. Ent˜ao, X pode assumir quaisquer dos valores inteiros de 0 at´e 48. Por exemplo: quando o sistema ´e observado e 10 linhas est˜ao em uso, ent˜ao x = 10. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 12 / 33 Vari´aveis Aleat´orias Discretas Exemplo 3-2: Semicondutor Em um processo de fabrica¸c˜ao de um semicondutor, duas pastilhas de um lote s˜ao testadas. Cada pastilha ´e classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma pastilha passar no teste seja 0,8 e que as pastilhas sejam independentes. Defina X como igual ao n´umero de pastilhas que passam. Resultados Pastilha 1 Pastilha 2 Probabilidade x Passa Passa 0,64 2 Falha Passa 0,16 1 Passa Falha 0,16 1 Falha Falha 0,04 0 Por exemplo, a probabilidade da primeira pastilha passar(p) e a segunda falhar(f), P(pf) = (0, 8)(0, 2) = 0, 16. P(X = 1) = P(pf) + P(fp) = 2(0, 16) = 0, 32 O espa¸co amostral: S = {pp, fp, pf, ff}. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 13 / 33 Distribui¸c˜oes e Fun¸c˜oes de Probabilidade Outline 1 Vari´aveis Aleat´orias 2 Vari´aveis Aleat´orias Discretas 3 Distribui¸c˜oes de Probabilidade e Fun¸c˜oes de Probabilidade 4 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Sokol Ndreca (EST - UFMG) 14 / 33 Distribui¸c˜oes e Fun¸c˜oes de Probabilidade Distribui¸c˜ao de Probabilidade Uma vari´avel aleat´oria X associa os resultados de um experimento aleat´orio a um n´umero na reta real, i.e., uma vari´avel aleat´oria X ´e um caracter´ıstico num´erico do experimento aleat´orio. Muitas vezes, omitimos uma discuss˜ao sobre o espa¸co amostral do experimento aleat´orio e descrevemos diretamente a distribui¸c˜ao de probabilidade de uma vari´avel aleat´oria. A distribui¸c˜ao de probabilidade de uma vari´avel aleat´oria X ´e uma descri¸c˜ao das probabilidades associadas com os valores poss´ıveis de X. Para uma vari´avel discreta, a distribui¸c˜ao de probabilidade pode ser: apenas uma lista de valores poss´ıveis com suas probabilidades associadas. conveniente expressar a probabilidade em termos de uma f´ormula. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 15 / 33 Distribui¸c˜oes e Fun¸c˜oes de Probabilidade Exemplo 3-4: Canal Digital H´a uma chance de que um bit transmitido por meio de um canal de transmiss˜ao digital seja recebido com erro. Seja X o n´umero de bits com erros nos pr´oximos quatro bits transmitidos. Os valores poss´ıveis de X s˜ao {0, 1, 2, 3, 4}. Suponha que as probabilidades associadas a cada valor s˜ao P(X = 0) = 0, 651, P(X = 1) = 0, 2916, P(X = 2) = 0, 0486, P(X = 3) = 0, 0036, P(X = 4) = 0, 0001. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 16 / 33 Distribui¸c˜oes e Fun¸c˜oes de Probabilidade A figura abaixo mostra uma descri¸c˜ao gr´afica da distribui¸c˜ao de X. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 17 / 33 Distribui¸c˜oes e Fun¸c˜oes de Probabilidade Fun¸c˜ao de Probabilidade Suponha que um carregamento em uma viga longa e delgada coloque massa somente em pontos discretos. O carregamento pode ser descrito por uma fun¸c˜ao que especifica a massa em cada um dos pontos discretos. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 18 / 33 Fungcao de Probabilidade e Similarmente, a distribuicao de uma varidvel discreta X pode ser descrita por uma funcao que especifica a probabilidade de cada um dos valores (discretos) possiveis de X. Funcao de Probabilidade Para uma variavel aleatéria discreta X, com possiveis valores 1, %2,...,%n, a fungao de probabilidade é uma fungao tal que @ f(x) =0 0 Vi f(z) =1 © f(x) = P(X = x%) 19/33 Distribui¸c˜oes e Fun¸c˜oes de Probabilidade Exemplo: Para o exemplo anterior vimos que f(0) = P(X = 0) = 0, 651; f(1) = P(X = 1) = 0, 2916 f(2) = P(X = 2) = 0, 0486; f(3) = P(X = 3) = 0, 0036; f(4) = P(X = 4) = 0, 0001 Temos ainda que f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 20 / 33 Distribui¸c˜oes e Fun¸c˜oes de Probabilidade Exemplo 3-5: Contamina¸cao de Pastilhas Seja X o n´umero de pastilhas de semicondutores que precisam ser analisadas, de modo a detectar uma grande part´ıcula de contamina¸c˜ao. Considere que a probabilidade de uma pastilha conter uma grande part´ıcula seja 0,01 e que as pastilhas sejam independentes. Determine a fun¸c˜ao de probabilidade de X. Solu¸c˜ao. Seja p uma pastilha em que uma grande part´ıcula de contamina¸c˜ao esteja presente e seja a uma pastilha em que essa part´ıcula de contamina¸c˜ao esteja ausente. O espa¸co amostral do experimento ´e infinito. Pode ser representado por todas sequˆencias que comecem com a e terminem com um p: S = {p, ap, aap, aaap, aaaap, . . . }. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 21 / 33 Exemplo 3-5: Contaminacao de Pastilhas e Temos que P(X =1) = P(p) = 0,01 P(X = 2) = P(ap) = (1 — 0,01)(0,01) = 0,0099 oe Em geral temos que P(X =x) = P(aa...ap) = (1 — 0,01)"~1(0, 01) ——’4J/ (a—-1)a’s e Veremos mais a frente que essa é uma distribuicao conhecida como distribuigao geométrica. 22/33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Outline 1 Vari´aveis Aleat´orias 2 Vari´aveis Aleat´orias Discretas 3 Distribui¸c˜oes de Probabilidade e Fun¸c˜oes de Probabilidade 4 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Sokol Ndreca (EST - UFMG) 23 / 33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Exemplo 3-6: Canal Digital Considere a distribui¸c˜ao de probabilidade para o canal digital do Exemplo 3-4. Determine a probabilidade de encontrar trˆes ou menos bits com erro, i.e., P(X ≤ 3). Note, {X ≤ 3} = {X = 0} ∪ {X = 1} ∪ {X = 2} ∪ {X = 3} P({X ≤ 3}) = P({X = 0} ∪ {X = 1} ∪ {X = 2} ∪ {X = 3}) P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0, 6561 + 0, 2916 + 0, 0486 + 0, 0036 = 0, 9999. Essa abordagem pode ser usada para determinar P(X = 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 2) = 0, 0036. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 24 / 33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Esse exemplo mostra utilidade das probabilidades acumuladas, do tipo P(X ≤ x). Veremos que tais probabilidades tamb´em podem ser usadas para encontrar a fun¸c˜ao de probabilidade de X. Esse ´e um m´etodo alternativo para descrever fun¸c˜oes de probabilidade. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 25 / 33 Funcao de Distribuigao Cumulativa oe Em geral, seja X uma varidvel aleatéria que assume valores U1,%UQ,--+-5Un- e Os eventos {X = 27},{X = 29},...,{X =2,} sao mutuamente excludentes. 2 Logo, P(X <2) =P( (J {X =ai}) Lj,<u = So P(X =2) fe = SO fla). fe 26/33 Funcao de Distribuigao Cumulativa Fungao de Distribuigao Cumulativa A fungao de distribuigaéo cumulativa de uma varidvel aleatéria discreta X, denotada por F(x), é definida como F(x)=P(X <x), VreR = 35 f(a). L{<u Para uma varidvel aleatéria discreta X, F(a) satisfaz as seguintes propriedades: @0< F(x) <1 © v<ys Fle) < Fly). 27/33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Cumulativa As propriedades (1) e (2) s˜ao consequˆencias da defini¸c˜ao. A propriedade (3) ´e decorrente do fato de que se x ≤ y ⇒ {X ≤ x} ⊂ {X ≤ y}, e portanto P(X ≤ x) ≤ P(X ≤ y). A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao cumulativa F de X ´e uma fun¸c˜ao escada, i.e., o valor de F ´e constante em intervalos [xi−1, xi) e ent˜ao d´a um salto de tamanho f(xi) = P(X = xi) em xi. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 28 / 33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Exemplo 3-7: Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Cumulativa Determine a fun¸c˜ao de probabilidade de X a partir da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao cumulativa F(x) =        0 se x < −2 0, 2 se −2 ≤ x < 0 0, 7 se 0 ≤ x < 2 1 se x ≥ 2. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 29 / 33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Exemplo 3-7: Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Cumulativa A partir do gr´afico podemos ver que os ´unicos pontos que recebem probabilidade diferente de zero s˜ao -2, 0, 2, e esses s˜ao os valores que X assume. Logo, f(−2) = P(X = −2) = P(X ≤ −2) − P(X < −2) = 0, 2 − 0 = 0, 2 f(0) = P(X = 0) = P(X ≤ 0) − P(X < 0) = 0, 7 − 0, 2 = 0, 5 f(2) = P(X = 2) = P(X ≤ 2) − P(X < 2) = 1 − 0, 7 = 0, 3 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 30 / 33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Exemplo 3-8: Amostragem sem Reposi¸c˜ao Suponha que uma produ¸c˜ao di´aria de 850 pe¸cas fabricadas contenha 50 delas que n˜ao obedecem os requerimentos do consumidor. Duas pe¸cas s˜ao selecionadas ao acaso, sem reposi¸c˜ao, na batelada. Seja X o n´umero de pe¸cas n˜ao conformes na amostra. Qual a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao cumulativa de X? Precisamos primeiro encontrar a fun¸c˜ao de probabilidade de X f(0) = P(X = 0) = 800 850 799 849 = 0, 886 f(1) = P(X = 1) = 2800 850 50 849 = 0, 111 f(2) = P(X = 2) = 50 850 49 849 = 0, 003 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 31 / 33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Exemplo 3-8: Amostragem sem Reposi¸c˜ao Logo F(0) = P(X ≤ 0) = 0, 886 F(1) = P(X ≤ 1) = 0, 886 + 0, 111 = 0, 997 F(2) = P(X ≤ 2) = 1 Sokol Ndreca (EST - UFMG) 32 / 33 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao Cumulativa Exemplo 3-8: Amostragem sem Reposi¸c˜ao F(x) =            0 se x < 0, 0, 886 se 0 ≤ x < 1, 0, 997 se 1 ≤ x < 2, 1 se x ≥ 2. Sokol Ndreca (EST - UFMG) 33 / 33