Slide - Aula 10 - Dinâmica de Manipuladores - 2023-1

MANIPULADORES ROBÓTICOS Engineering Eletrical Departament Universidade Federal de Minas Gerais MANIPULADORES ROB´OTICOS DINˆAMICA DE MANIPULADORES Presented by Gilmar Cruz J´unior June 19, 2023 AGENDA 1 Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica 2 Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral 3 Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial 4 Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References INTRODU¸C˜AO No estudo da cinem´atica ´e levado em estudado os movimento de um robˆo manipulador sem considerar as for¸cas e torques. As equa¸c˜oes dinˆamicas, pelo contr´ario, relaciona for¸cas/torque com os movimentos. As equa¸c˜oes de movimentos s˜ao importantes pois: S˜ao consideradas no projeto de robˆo; Em simula¸c˜ao e anima¸c˜oes; No projeto de controladores. Nesse curso veremos duas forma comuns de formula¸c˜ao do modelo dinˆamico de manipuladores: Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange; Formula¸c˜ao Newton-Euler. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 2 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior INTRODUÇÃO Princípio do Trabalho Virtual Principio do Trabalho Virtual: Considerando um manipulador, pela análise estática temos que as forças e torques aplicados ao efetuador são iguais às forças ou torques das juntas do robô, onde: F = [f/t] , τ = [τ1 ... τn] No qual, pelo princípio do trabalho virtual têm-se que: τ^T q ̇ = F^T x ̇ , no qual x ̇ = [v ω]^T . June 19, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 4 / 32 Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior INTRODUÇÃO Princípio do Trabalho Virtual Uma das formas mais comuns para determinar o modelo dinâmico de um robô é a formulação Euler-Lagrange derivadas do Princípio do Trabalho Virtual. Principio do Trabalho Virtual: O O Princípio do Trabalho Virtual afirma que trabalho realizado pelas forças externas correspondentes a qualquer conjunto de deslocamentos virtuais (possíveis deslocamentos) é zero para um sistema em equilíbrio. Σ (i=1 to k) F_i^T δr_i = 0, no qual F_i são as forças aplicadas a uma partícula i e δr_i é um deslocamento virtual (perturbação). June 19, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 3 / 32 Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References INTRODU¸C˜AO Princ´ıpio do Trabalho Virtual Dado que ˙x = J(q)˙q ´e o modelo cinem´atico diferencial do manipulador, temos que: τ T ˙q = FTJ(q)˙q Simplificando, tem-se que: τ T = FTJ(q) Realizando a transposta em ambos os lados da equa¸c˜ao, tem-se: τ = J(q)TF, que relaciona as for¸cas e torques aplicados no efetuador com as for¸cas e torques aplicados nos juntas por meio da matriz jacobiana. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 5 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References INTRODU¸C˜AO Equa¸c˜ao Canˆonica Na an´alise dinˆamica de corpos r´ıgidos utiliza-se a 2ª lei de Newton para relacionar as for¸cas e torques com os momentos e acelera¸c˜oes. Sendo assim, utiliza-se uma Equa¸c˜ao Dinˆamica Canˆonica dada por: M¨q + C˙q + g(q) = τ, no qual: M: ´e a matriz de inercia; ¨q: s˜ao as acelera¸c˜oes das juntas; C: ´e a matriz de efeitos Coriolis e Acelera¸c˜oes Centr´ıfugas; ˙q: s˜ao as velocidades das juntas; g: ´e o vetor da acelera¸c˜ao da gravidade; τ: ´e o vetor de for¸cas e torques generalizados. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 6 / 32 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica 2 Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral 3 Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial 4 Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange s˜ao derivadas de um conjunto de equa¸c˜oes que descrevem a evolu¸c˜ao do tempo de um sistema mecˆanico sujeito a restri¸c˜oes holonˆomicas. Sendo assim, dado o Lagrangiano L: L = K − P, em que K ´e a energia cin´etica dos corpos e P ´e a energia potencial, as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange ´e dada por: d dt ∂L ∂ ˙qi − ∂L ∂qi = τ i, para i = 1, 2, · · · , n, no qual n ´e o n´umero de juntas do manipulador. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 7 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE Exemplos Modelo dinˆamico de uma part´ıcula: Considere uma part´ıcula de massa constante m, coma restri¸c˜ao de movimentos somente na dire¸c˜ao vertical y, sujeita a uma for¸ca f e a a¸c˜ao da gravidade g. Pela 2ª lei de Newton tem-se que F = ma, ent˜ao a for¸ca resultante no corpo ´e dada por: f = F − mg, f = m¨y − mg, A for¸ca aplicada na part´ıcula ´e dada por: F = m¨y + mg bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 8 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE Exemplos A energia cin´etica e potencial da part´ıcula s˜ao dadas por: K = 1 2m ˙y2, e P = mgy. Sendo assim o Lagrangiano ´e dada por: L = K − P, L = 1 2m ˙y2 − mgy, Aplicando a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange: d dt ∂L ∂ ˙qi − ∂L ∂qi = τ i, bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 9 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE Exemplos Aplicando a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, tem-se que: τ = d dt ∂L ∂ ˙y − ∂L ∂y , τ = d dt ∂( 1 2m ˙y2 − mgy) ∂ ˙y − ∂( 1 2m ˙y2 − mgy) ∂y , τ = d dt (m ˙y) − mg, τ = m¨y − mg, Como a for¸ca generaliza¸c˜ao neste caso ´e igual a f = τ, ent˜ao: f = m¨y − mg bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 10 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE Exemplos Considere um robˆo de uma ´unica junta rotativa, conforme ilustrado na figura abaixo. A Energia Cin´etica ´e dada por: K = 1 2Im ˙θ2 m + 1 2Il ˙θ2 l , no qual θm = aθl. A Energia Potencial ´e dada por: P = Mgl(1 − cos θl), no qual θl = 0 o bra¸co est´a pendurado. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 11 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE Exemplos Dado que θm tem uma rela¸c˜ao linear com θl, qualquer um pode ser utilizado como coordenada generalizada. Sendo assim, a Energia Cin´etica pode ser escrita como: K = 1 2(Ima2 + Il) ˙θ2 l , K = 1 2I ˙θ2 l , no qual I = Ima2 + Il. Desta forma, o Lagrangiano ´e dado por: L = K − P, L = 1 2I ˙θ2 l − Mgl(1 − cos θl), bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 12 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE Exemplos Portanto, a equa¸c˜ao de Euler Lagrange ´e dado por: τl = d dt ∂L ∂ ˙θl − ∂L ∂θl , τl = I ¨θl + Mgl sin θl A for¸ca generalizada τl consiste em um torque no motor de τ que reflete aos amortecimentos Bl ˙θl e Bm ˙θm. Sendo assim, o amortecimento refletido no motor ´e dado por: τl = τ − (Bma + Bl) ˙θl, τl = τ − B ˙θl. Desta forma, a express˜ao da dinˆamica do manipulador consiste em: τ = I ¨θl + B ˙θl + Mgl sin θl bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 13 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References MODELO EULER-LAGRANGE Vis˜ao Geral As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange s˜ao facilmente encontradas desde que as Energias Cin´etica e Potencial sejam expressas em fun¸c˜ao as coordenadas generalizadas. Obs.: No caso de um manipulador de n DoF, se encontrar´a uma ´unica equa¸c˜ao que descreve a dinˆamica do sistema em fun¸c˜ao das n coordenadas generalizadas. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 14 / 32 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica 2 Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral 3 Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial 4 Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cin´etica A express˜ao geral para a Energia Cin´etica ´e dada por: K = 1 2mvTv + 1 2ωTIω, no qual: m: ´e a massa do corpo; v: ´e a velocidade linear do corpo; ω: ´e a velocidade angular do corpo; I: ´e o tensor de inercial do corpo. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 15 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cin´etica A express˜ao geral para a Energia Cin´etica ´e dada por: K = 1 2mvTv+1 2ωTIω, Parte Translacional: a massa ´e concentrada no centro de massas; Parte Rotacional: o tensor de inercia ´e concentrada no centro de massas; Obs.: Todas as grandezas s˜ao expressas no sistema de coordenadas inercial. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 16 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cin´etica Centro de Massa: O centro de massa de um objeto ´e o centr´oide (posi¸c˜ao m´edia) da sua massa. O peso do objeto pode ser representado por uma ´unica for¸ca equivalente aginda em seu centro de massas. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 17 / 32 Manipuladores Rob´oticos EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cinética Tensor de Inércia: O tensor de inercial anexado ao corpo é calculado por: I = \left[ \begin{array}{ccc} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{array} \right] Momentos de Inercial Principais: I_{xx}, I_{xy} e I_{xz}; Produto Vetorial de Inércia: I_{xy}, I_{yx}, I_{xz}, I_{zx}, I_{yz} e I_{zy}; no qual, dado que \rho(x, y, z) é densidade de massa do corpo, então: I_{xx} = \int \int \int \left( y^2 + z^2 \right) \rho(x, y, z) dx dy dz, & I_{xy} = I_{yx} = \int \int \int xy \rho(x, y, z) dx dy dz, I_{yy} = \int \int \int \left( x^2 + z^2 \right) \rho(x, y, z) dx dy dz, & I_{xz} = I_{zx} = \int \int \int xz \rho(x, y, z) dx dy dz, I_{zz} = \int \int \int \left( x^2 + y^2 \right) \rho(x, y, z) dx dy dz, & I_{yz} = I_{zy} = \int \int \int yz \rho(x, y, z) dx dy dz. Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cin´etica Tensor de In´ercia: (Exemplo) Considere um s´olido retangular de comprimento a, largura b e altura c, como mostra a figura abaixo, considerando a densidade constante (ρ(x, y, z) = ρ). Considerando o centro de massas no centro geom´etrico do cubo os produtos vetoriais do tensor de in´ercia s˜ao todos zeros. Sendo assim, basta calcular os momentos principais que resultaram em: Ixx = ρabc 12 (b2 + c2), Iyy = ρabc 12 (a2 + c2), Izz = ρabc 12 (a2 + b2), bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 19 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cin´etica Tensor de In´ercia: O tensor de in´ercia pode ser expresso no sistema de coordenadas inercial por meio da transforma¸c˜ao dos momentos angulares do corpo (Lb = Ibωb) considerando a matriz de rota¸c˜ao R0 b: L0 b = R0 bLb, = R0 bIbωb, = R0 bIb(R0 b)Tω. Sendo assim, tem-se: I0 b = R0 bIb(R0 b)T bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 20 / 32 Manipuladores Rob´oticos EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cinética Energia Cinética para um Robô com n Elos: Dado que as velocidades lineares e angulares podem ser relacionados com as velocidades das juntas generalizadas \dot{q} por meio da matriz jacobiana, como visto no modelo cinemático diferencial. Sendo assim, as velocidades lineares e angulares de um elo i é dado por: v_i = J_{vi} \dot{q},, e \omega_i = J_{\omega i} \dot{q} Sendo assim, a energia cinética com respeito ao sistema de coordenadas inercial pode ser calculada como: \mathcal{K}_i = \frac{1}{2} m(v)^T v + \frac{1}{2} \omega^T R_i \mathcal{Z} R_i^T \omega, \mathcal{K}_i = \frac{1}{2} (m (J_{v_i})^T J_{v_i} \dot{q} + (J_{\omega_i} \dot{q})^T \mathcal{Z} R_i R_i^T J_{\omega_i} \dot{q}), \mathcal{K}_i = \frac{1}{2} (m \dot{q})^T J_{v_i} J_{v_i} \dot{q} + (J_{\omega_i} \dot{q})^T \mathcal{Z} R_i R_i^T J_{\omega_i} \dot{q}). EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Cinética Energia Cinética para um Robô com n Elos: Organizando os termos do lado direito da equação, a energia cinética total é dada por: \mathcal{K} = \frac{1}{2} \dot{q}^T \sum_{i=1}^{n} \left( m J_{v_i}^T J_{v_i} + J_{\omega_i}^T R_i \mathcal{Z} R_i^T J_{\omega_i} \right) \dot{q}. Sendo assim, a energia cinética de um manipulador de n elos pode ser escrita na forma: \mathcal{K} = \frac{1}{2} \dot{q}^T D(q) \dot{q} no qual D(q) é uma matriz simétrica positiva definida chamada de Matriz de Inercia. EXP. GERAL PARA AS ENERGIAS Energia Potencial Energia Potencial para um Robô com n Elos: No caso da dinâmica rígida, a única fonte de energia potencial é a gravidade. A energia potencial do i-ésimo elo pode ser calculada assumindo que a massa de todo o objeto está concentrada em seu centro de massa e é dada por: P_i = g^T r_{ci} m_i, no qual g é o vetor de gravidade expresso no sistema de coordenadas inercial, r_{ci} é o vetor do centro de massas do elo i e m_i é a massa do elo i. A energia potencial total é dada por: P = \sum_{i=1}^n P_i = \sum_{i=1}^n g^T r_{ci} m_i. AGENDA 1 Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica 2 Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral 3 Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial 4 Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo EQUAÇÕES DE MOVIMENTOS Nesta seção, especializamos as equações de Euler-Lagrange para o caso especial em que duas condições são válidas: 1. A energia cinética é uma função quadrática do vetor \dot{q} da forma: K = \frac{1}{2} \dot{q}^T D(q) \dot{q} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n d_{ij}(q) \dot{q}_i \dot{q}_j 2. A energia potencial é independente de \dot{q}, sendo: P = P(q). As equações de Euler-Lagrange podem ser derivadas segundo o Lagrangiano: L = K - P = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n d_{ij}(q) \dot{q}_i \dot{q}_j - P(q) EQUAÇÕES DE MOVIMENTOS Segundo as Equações de Euler-Lagrange: \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \tau_i, L = K - P = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n d_{ij}(q) \dot{q}_i \dot{q}_j - P(q) Tem-se que: - a derivada parcial do Lagrangiano em função de \dot{q}_k é: \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = \sum_{j} d_{kj} \dot{q}_j - derivando no tempo tem-se: \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = \sum_{j} d_{kj} \ddot{q}_j + \sum_{j} \frac{d}{dt} d_{kj} \dot{q}_j = \sum_{j} d_{kj} \ddot{q}_j + \sum_{i, j} \frac{\partial}{\partial q_i} d_{kj} \dot{q}_i \dot{q}_j EQUAÇÕES DE MOVIMENTOS ■ a derivada parcial do Lagrangiano em função de q é: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k} = \frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial d_{ij}}{\partial q_k} \dot{q_i} \dot{q_j} - \frac{\partial \mathcal{P}}{\partial q_k}. \] Portanto, a equação de Euler-Lagrange é expressa: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k} = \sum_j d_{kj} \ddot{q_j} + \sum_{i, j} \left\{ \frac{\partial d_{kj}}{\partial q_i} + \frac{1}{2} \frac{\partial d_{ij}}{\partial q_k} \right\} \dot{q_i} \dot{q_j} - \frac{\partial \mathcal{P}}{\partial q_k} = \tau_k \] Dado que: \[ \sum_{i, j} \left\{ \frac{\partial d_{kj}}{\partial q_i} \right\} \dot{q_i} \dot{q_j} = \frac{1}{2} \sum_{i, j} \left\{ \frac{\partial d_{ij}}{\partial q_i} + \frac{\partial d_{ki}}{\partial q_j} \right\} \dot{q_i} \dot{q_j} \] EQUAÇÕES DE MOVIMENTOS Substituindo na equação de Euler-Lagrange é expressa: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_k} = \sum_j d_{kj} \ddot{q_j} + \sum_{i, j} \frac{1}{2} \left\{ \frac{\partial d_{kj}}{\partial q_i} + \frac{\partial d_{ki}}{\partial q_j} + \frac{\partial d_{ij}}{\partial q_k} \right\} \dot{q_i} \dot{q_j} - \frac{\partial \mathcal{P}}{\partial q_k} = \tau_k \] no qual a parte marcada em azul é conhecida como Símbolos de Christoffel. Definida como: \[ c_{ijk}(q) = \frac{1}{2} \left\{ \frac{\partial d_{kj}}{\partial q_i} + \frac{\partial d_{ki}}{\partial q_j} + \frac{\partial d_{ij}}{\partial q_k} \right\} \] Por fim, definindo: \[ g_k(q) = \frac{\partial \mathcal{P}}{\partial q_k} \] EQUAÇÕES DE MOVIMENTOS Sendo, assim a equação de Euler-Lagrange é reescrita: \[ \tau_k = \sum_j d_{kj} \ddot{q_j} + \sum_{i, j} c_{ijk}(q) \dot{q_i} \dot{q_j} - g_k(q) \] Combinando as $k$ entradas tem-se: \[ \boldsymbol{\tau} = \mathbf{D}(q) \ddot{q} + \mathbf{C}(q, \dot{q}) \dot{q} - \mathbf{g}(q) \] ■ \( \mathbf{D} \): é a matriz de inércia; ■ \( \mathbf{C} \): é a matriz de efeitos Coriolis e Acelerações Centrífugas; ■ \( \mathbf{g} \): é o vetor da aceleração da gravidade; ■ \( \boldsymbol{\tau} \): é o vetor de forças e torques generalizados. EQUAÇÕES DE MOVIMENTOS Exemplo Considere o manipulador de dois juntas prismática, conforme apresentado na Figura abaixo, A velocidade do centro de massas dos elos 1 e 2 são: v_{c1} = J_{vc1} \dot{q}, v_{c2} = J_{vc2} \dot{q}, No qual as matrizes são: v_{c1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{q}_{1} \\ \dot{q}_{2} \end{bmatrix}, v_{c2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{q}_{1} \\ \dot{q}_{2} \end{bmatrix}, June 19, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Electrical Department, Engineering School Manipuladores Robóticos 29 / 32 EQUAÇÕES DE MOVIMENTOS Exemplo Considere o manipulador de duas juntas prismáticas, conforme apresentado na Figura abaixo, A energia cinética e potencia do manipulador é dada por 𝒦 = \frac{1}{2} \dot{q}^{T} \{m_{1}J_{vc_{1}}^{T} J_{vc_{1}} + m_{2}J_{vc_{2}}^{T} J_{vc_{2}}\} \dot{q}, 𝒫 = a_{g}(m_{1} + m_{2})q_{1}, Feito isso, basta determinar as matrizes 𝐃(q), 𝐂(q, \dot{q}) e 𝐠(q). Sendo assim: 𝐃(q) = \begin{bmatrix} m_{1} + m_{2} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{bmatrix}, e 𝐂(q, \dot{q}) = 0, 𝐠(q) = \begin{bmatrix} a_{g}(m_{1} + m_{2}) \\ 0 \end{bmatrix}. Portanto, o modelo dinâmico é: τ_{1} = (m_{1} + m_{2}) \ddot{q}_{1} + a_{g}(m_{1} + m_{2}) τ_{2} = m_{2} \ddot{q}_{2} UFMG Departamento de Engenharia Elétrica © Gilmar Cruz Júnior Manipuladores Robóticos June 19, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Electrical Department, Engineering School Manipuladores Robóticos 30 / 32 Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References EQUA¸C˜OES DE MOVIMENTOS Exemplo Considere o manipulador de duas juntas rotaticas, conforme apresentado na Figura abaixo, As matrizes jacobianas s˜ao: Jvc1 =   −lc1 sin q1 0 lc1 cos q1 0 0 0   , Jvc2 =   −l1 sin q1 − lc2 sin(q1 + q2) −lc2 sin(q1 + q2) −l1 cos q1 − lc2 cos(q1 + q2) −lc2 cos(q1 + q2) 0 0   Determinar o modelo dinˆamico por Euler-Lagrange (Prova). bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 31 / 32 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Introdu¸c˜ao Princ´ıpio do Trabalho Virtual Equa¸c˜ao Canˆonica Modelo Euler-Lagrange Exemplos Vis˜ao Geral Express˜ao Geral para as Energias Energia Cin´etica Centro de Massas Tensor de In´ercia Energia Cin´etica para um Robˆo com n Elos Energia Potencial Equa¸c˜oes de Movimentos Exemplo Bibliography References BIBLIOGRAPHY Livro: [2], [1]. [1] Bruno Siciliano et al.“Mobile robots”. In: Robotics: Modelling, Planning and Control (2009), pp. 469–521. [2] Mark W Spong, Seth Hutchinson, Mathukumalli Vidyasagar, et al. Robot modeling and control. Vol. 3. Wiley New York, 2006. bar June 19, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 32 / 32 Manipuladores Rob´oticos