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Engenharia de Controle e Automação ·

Manipuladores Robóticos

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Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Manipuladores Rob´oticos Exerc´ıcios Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Prof. M.Sc. Gilmar Pereira da Cruz J´unior Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG, Departamento de Engenharia El´etrica Abril, 2023 Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Sum´ario 1 Movimentos de Corpos R´ıgidos 2 Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Sum´ario 1 Movimentos de Corpos R´ıgidos 2 Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 1 Dados os ˆangulos ϕ = 2◦ (eixo x), θ = 15◦ (eixo y) e ψ = 30◦ (eixo z). Calcule a matriz de rota¸c˜ao equivalente usando o m´etodo de Euler ‘ZYX’. See Movimentos de Corpos Rigidos (BZ IE (Ga): Movimentos de Corpos Rigidos Qe Movimentos de @ Dados os angulos ¢ = 2° (eixo x), 6 = 15° (eixo y) e w = 30° (eixo z). aaa Calcule a matriz de rotacdo equivalente usando o método de Euler ‘ZYX’. Solucao: Matrizes de rotagdes elementares: 1 0 0 cos(?) 0 sin(@) cos(7) —sin(w) 0 R, = |0 cos(~) —sin(d)} Ry = 0 1 0 Rz = |sin(w) cos(w) 0 0 sin(d) cos(¢) —sin(@) 0 cos(@) 0 0 1 R= R-(v)R,(9)Rx() Resposta: 0.836516303737808 —0.491872905325930 0.241457074005017 R = | 0.4825962913144534 0.870014171713226 0.099106839042993 —0.258819045102521 0.033710325189436 0.965337410374135 Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 2 A partir da matriz resultante do exerc´ıcio 1, determine os ˆangulos ϕ, θ e ψ para a matriz de rota¸c˜ao por ˆangulos de Euler ‘XYZ‘. ( aos Movimentos de Corpos Rigidos (e), Movimentos de Corpos Rigidos Qowimentos de @ A partir da matriz resultante do exercicio 1, determine os angulos ¢ (x), 0 (y) e vw (Zz) para a matriz de rota¢do por angulos de Euler ‘XYZ’. Solucao: A partir da matriz resultante da composicao de Euler ‘XYZ‘, podemos determinar os angulos de ¢, 6 e w. cos(~) cos(@) —cos(@) sin(~w) sin(0) R= sou sin(w) + cos(%) sin(¢) sin(@) cos(¢) cos(7) — sin(¢) sin(7) sin(@) | —cos(6) en) sin(?) sin(w) — cos(¢) cos(w) sin(@) —cos(¢) sin(d) + cos(¢) sin(7) sin(@) — cos(@) cos(A) Solucao: Resposta: = atan2(—13, 133) ¢ = —5.861762173122259° 6 = atan2(r3, 4/r2, + 12) 0 = 13.972554010501481° w = atan2(—n2, 1) w = 30.455595293158314° Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 2 A partir da matriz resultante do exerc´ıcio 1, mostre as propriedades da matriz de rota¸c˜ao R, conforme descrito abaixo. • R−1 = RT; • det(R) = 1; • As colunas e/ou linhas s˜ao ortogonais; • As colunas e/ou linhas s˜ao vetores unit´arios. Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 3 Dados os sistemas de coordenadas A e B com suas origens coincidentes, no qual a matriz de rota¸c˜ao de B para A (RA B) ´e definida no Exerc´ıcio 1, determine a representa¸c˜ao do ponto pB = [0.5 0.3 1.0]T no sistema de coordenadas A (pA). Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 3 Dados os sistemas de coordenadas A e B com suas origens coincidentes, no qual a matriz de rota¸c˜ao de B para A (RA B) ´e definida no Exerc´ıcio 1, determine a representa¸c˜ao do ponto pB = [0.5 0.3 1.0]T no sistema de coordenadas A (pA). Solu¸c˜ao: pA = RA BpB   xA yA zA   =   0.836 −0.491 0.241 0.482 0.870 0.099 −0.258 0.033 0.965     0.5 0.3 1.0   =   0.512 0.601 0.846   Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 4 Dados os sistemas de coordenadas A e B translados um do outro pelo vetor pA B = [2.0 0.9 1.5]T, no qual a matriz de rota¸c˜ao de B para A (RA B) ´e definida no Exerc´ıcio 1, determine a representa¸c˜ao do ponto pB = [0.5 0.3 1.0]T no sistema de coordenadas A (pA). Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 4 Dados os sistemas de coordenadas A e B translados um do outro pelo vetor pA B = [2.0 0.9 1.5]T, no qual a matriz de rota¸c˜ao de B para A (RA B) ´e definida no Exerc´ıcio 1, determine a representa¸c˜ao do ponto pB = [0.5 0.3 1.0]T no sistema de coordenadas A (pA). Solu¸c˜ao: pA = pA B + RA BpB   xA yA zA   =   2.0 0.9 1.5   +   0.836 −0.491 0.241 0.482 0.870 0.099 −0.258 0.033 0.965     0.5 0.3 1.0   =   2.512 1.501 2.346   Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 5 Dados os sistemas de coordenadas A, B e C, no qual pA B = [2.0 0.9 1.5]T, pB C = [2.0 0.9 1.5]T, a matriz de rota¸c˜ao de B para A (RA B) ´e definida no Exerc´ıcio 1 e a matriz de rota¸c˜ao RB C = RA B, determine a representa¸c˜ao do ponto pC = [0.5 0.3 1.0]T no sistema de coordenadas A (pA). Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 5 Dados os sistemas de coordenadas A, B e C, no qual pA B = [2.0 0.9 1.5]T, pB C = [2.0 0.9 1.5]T, a matriz de rota¸c˜ao de B para A (RA B) ´e definida no Exerc´ıcio 1 e a matriz de rota¸c˜ao RB C = RA B, determine a representa¸c˜ao do ponto pC = [0.5 0.3 1.0]T no sistema de coordenadas A (pA). Solu¸c˜ao: pB = pB C + RB C pC pA = pA B + RA BpB pA = pA B + RA B(pB C + RB C pC ) pA = pA B + RA BpB C + RA BRB C pC Resposta: pA =   3.929 3.652 3.165   Same Movimentos de Corpos Rigidos ([3a): (Ga): Movimentos de Corpos Rigidos Qs Movimentos de @ Resolva os Exercicios 3, 4 e 5 utilizando transformacdes homogéneas. Corpos Rigidos Lembrando que a matriz de transformacao homogénea é descrito como: A A H4 = Re PB O1x3 1 e o vetor pgp homogéneo é descrito como: _ |PB PB = | 1 | aX Movimentos de Corpos Rigidos ©) Movimentos de Corpos Rigidos Movimentos de @ Resolva os Exercicios 3, 4 e 5 utilizando transforma¢cdes homogéneas. orpos Rigidos Solucao: e Exercicio 3: pa = Héps RA PA = lo’, On] PB e Exercicio 4: pa = Hgpe RA A pa= |g, 7] pe Movimentos de Corpos Rigidos SS, Movimentos de Corpos Rigidos Movimentos de Corpos Rigidos @ Resolva os Exercicios 3, 4 e 5 utilizando transforma¢des homogéneas. Solucao: e Exercicio 5: pa = Héps R¢ Pe] pa = HgHépe _ | Re re] | Re Pe) p Pa 1O1x3 1] [Orns 1 | PB Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 7 Considere o diagrama da Fgura abaixo. Encontre as transforma¸c˜oes homogˆeneas H1 0, H2 0 e H2 1. Mostre que H2 0 = H1 0H2 1. Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Movimentos de Corpos R´ıgidos 7 Considere o diagrama da Figura abaixo. Encontre as transforma¸c˜oes homogˆeneas H0 1, H0 2 e H1 2. Mostre que H0 2 = H0 1H1 2. Resposta: H0 1 =   0 1 0 0 0 0 −1 0 −1 0 0 1 0 0 0 1   H0 2 =   0 0 −1 0 −1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1   H1 2 =   0 −1 0 1 0 0 −1 0 1 0 0 −1 0 0 0 1   Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Sum´ario 1 Movimentos de Corpos R´ıgidos 2 Espa¸co das Configura¸c˜oes Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes 8 Considere o robˆo da Figura abaixo. Defina a dimens˜ao do espa¸co de congura¸c˜oes e a sua topologia. Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes 8 Considere o robˆo da Figura abaixo. Defina a dimens˜ao do espa¸co de congura¸c˜oes e a sua topologia. • DoF: 3 • Topologia: S1 × S1 × S1 = T3 Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes 9 Considere o robˆo da Figura abaixo. Defina a dimens˜ao do espa¸co de congura¸c˜oes e a sua topologia. Movimentos de Corpos R´ıgidos Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes Espa¸co das Configura¸c˜oes 9 Considere o robˆo da Figura abaixo. Defina a dimens˜ao do espa¸co de congura¸c˜oes e a sua topologia. • DoF: 3 • Topologia: R1 × R1 × R1 = R3