Slide - Aula 6 - Cinemática Inversa - 2023-1

UF MG UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS MANIPULADORES ROBÓTICOS Engineering Eletrical Departament Universidade Federal de Minas Gerais MANIPULADORES ROB´OTICOS CINEM´ATICA INVERSA DE MANIPULADORES Presented by Gilmar Cruz J´unior May 3, 2023 AGENDA 1 Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa 2 Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao 3 Exemplo: Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA Cinem´atica Direta e Inversa A cinem´atica de corpos r´ıgidos ´e a ciˆencia que estuda a movimenta¸c˜ao de corpos r´ıgidos, sem considerar as for¸cas e torque envolvidos. Na rob´otica s˜ao estudadas duas cinem´aticas: Cinem´atica Direta: Relaciona as vari´aveis do espa¸co das juntas (prism´aticas di e/ou revolutas i) com as vari´aveis do espa¸co de trabalho (x, y, z, ϕx, θy, ψz). Cinem´atica Inversa: Relaciona as vari´aveis do espa¸co de trabalho (x, y, z, ϕ, θ, ψ) com as vari´aveis do espa¸co das juntas (prism´aticas di e/ou revolutas θi) bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 2 / 20 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa 2 Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao 3 Exemplo: Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA O Problema Geral da Cinem´atica Inversa O problema de cinem´atica direta ´e dado pela por uma fun¸c˜ao f que depende das vari´aveis das juntas θ′ is, conforme descrito na aula anterior. H = f (⃗q). onde H ´e a matriz de transforma¸c˜ao homogˆenea resultante, f (·) ´e a fun¸c˜ao da cinem´atica inversa e ⃗q = [q1 q2 · · · qn]T. Na cinem´atica inversa, tem-se que as vari´aveis das juntas ⃗q ´e dada pela fun¸c˜ao inversa de f onde o dom´ınio ´e dado pela matriz H, conforme: ⃗q = f (H), ⃗q = f (h11, h12, · · · , h44), Sendo assim, desde que a ´ultima linha ´e dada por 0, 0, 0, 1, deve-se determinar n inc´ognitas dado que ⃗q ∈ Rn , dada 12 equa¸c˜oes n˜ao-lineares e dif´ıceis de resolverem. bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 3 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa A cinem´atica de robˆos manipuladores com punho esf´ericos podem ser decompostas em dois problemas simples: Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao; Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao. R0 6(⃗q) = R, p0 6(⃗q) = p. bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 4 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa A cinem´atica de robˆos manipuladores com punho esf´ericos podem ser decompostas em dois problemas simples: Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao; Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao. Sendo assim, tem-se: p = p0 3 + d6R   0 0 1   R = R0 3R3 6 bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 5 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa A cinem´atica de robˆos manipuladores com punho esf´ericos podem ser decompostas em dois problemas simples: Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao; Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao. Para as trˆes primeiras juntas, tˆem-se: p0 3 = p − d6R   0 0 1   R3 6 = R3 0R bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 6 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Procedimento para determina¸c˜ao da Cinem´atica Inversa de manipuladores rob´oticos: 1. Encontrar as vari´aveis das juntas q1, q2 e q3, dado o centro do punho esf´erico dado por: p0 3 = p − d6Rˆk; 2. Determinar a matriz de rota¸c˜ao R0 3 usando as vari´aveis de juntas encontradas na etapa 1; 3. Entrar a representa¸c˜ao m´ınima por ˆangulos de Euler corresponder `a matriz de rota¸c˜ao: R3 6 = R3 0R. bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 7 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao: Para arranjos cinem´aticos comuns, podemos determinas a cinem´atica inversa utilizando uma abordagem geom´etrica. Sendo assim, as trˆes primeiras juntas comp˜oem a cinem´atica inversa de posi¸c˜ao (origem do punho esf´erico). Manipulador Articulado: bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 8 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao: Manipulador Articulado: – Primeira junta [θ1]: θ1 = Atan(yc, xc), θ1 = π + Atan(yc, xc) Singularidade xc = yc = 0 bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 9 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao: Manipulador Articulado: – Primeira junta [θ1]: Com offset Offset `a esquerda: θ1 = ϕ − α, onde: ϕ = Atan(xc.yc), α = Atan( √ r 2 − d 2, d), dado que: r 2 = x 2 c + y2 c . bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 10 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao: Manipulador Articulado: – Primeira junta [θ1]: Com offset Offset `a direita: θ1 = α − β, onde: α = Atan(xc.yc), β = Atan( √ r 2 − d 2, d) + π, dado que: r 2 = x 2 c + y2 c . bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 11 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao: Manipulador Articulado: – Segunda e terceira juntas [θ2 e θ3]: θ3 = Atan(D, ± √ 1 − D2), onde: D = cos(θ3), D = r 2 + s2 − a2 2 − a2 3 2a2a3 , D = x 2 c + y2 c − d 2 + s2 − a2 2 − a2 3 2a2a3 , bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 12 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Cinemática Cinemática Direta e Inversa Cinemática Inversa O Problema Geral da Cinemática Inversa Decomposição da Cinemática Inversa Abordagem Geométrica Cinemática Inversa de Posição Cinemática Inversa de Orientação Exemplo: Bibliography References CINEMÁTICA INVERSA Abordagem Geométrica Cinemática Inversa de Posição: Manipulador Articulado: Segunda e terceira juntas [θ₂ e θ₃]: θ₂ = Atan(r, s) - Atan(a₂ + a₃c₃, aₛc₃), onde: r = √x₂c + y₂c - d², s = zc. May 3, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 13 / 20 Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao: Manipulador Articulado: Para um robˆo com offset, por exemplo, o robˆo PUMA, existem 4 solu¸c˜oes poss´ıveis, como apresentado na imagem abaixo: bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 14 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior Cinemática Cinemática Direta e Inversa Cinemática Inversa O Problema Geral da Cinemática Inversa Decomposição da Cinemática Inversa Abordagem Geométrica Cinemática Inversa de Posição Cinemática Inversa de Orientação Exemplo: Bibliography References CINEMÁTICA INVERSA Abordagem Geométrica Cinemática Inversa de Posição: Manipulador Esférico: Primeira junta [θ₁]: θ₁ = Atan(xc, yc), ou θ₁ = Atan(xc, yc) Primeira junta [θ₂]: θ₂ = Atan(r, s) + π/2 , onde: r = √x₂c + y₂c e s = zc - d₁. Terceira junta [d₃]: d₃ = √r² + s² May 3, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 15 / 20 Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References CINEM´ATICA INVERSA Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao: Para determinar as trˆes ´ultimas juntas, considerando um punho esf´erico, utilizando da configura¸c˜ao Euler ZYZ’. Lembrando que a matriz de rota¸c˜ao R3 6 ´e dada por: R3 6 = R3 0R; Euler ZYZ’: R3 6 = Rz,ϕRy,θRz,ϕ Os ˆangulos s˜ao dados por: θ4 = ϕ, θ5 = θ, θ6 = ψ. bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 16 / 20 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa 2 Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao 3 Exemplo: Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References EXEMPLO: Cinem´atica Inversa de Manipuladores Manipulador SCARA: Como o manipulador SCARA possui somente 4 DoF, n˜ao ´e possivel determinar a solu¸c˜ao da cinem´atica inversa utilizando o modelo cinem´atica direto. Modelo cinem´atico Direto: T0 4 =   c12c4 + s12s4 s12c4 − c12s4 0 a1c1 + a2c12 s12c4 + c12s4 −c12c4 − s12s4 0 a1s1 + a2s12 0 0 −1 −d3 − d4 0 0 0 1   A matriz T0 4 se resume em: T0 4 =   cα sα 0 px sα −cα 0 py 0 0 −1 pz 0 0 0 1   Onde: α = Atan(r11, r12). bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 17 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior EXEMPLO: Cinemática Inversa de Manipuladores Manipulador SCARA: Como o manipulador SCARA possui somente 4 DoF, não é possível determinar a solução da cinemática inversa utilizando o modelo cinemática direto. 1. Segunda junta [θ₂]: θ₂ = Atan (D, ±√1 - D²), onde: D = (x_c² + y_c² - a₁² - a₂²) / (2a₁a₂) 2. Primeira junta [θ₁]: θ₁ = Atan(x_c, y_c) - Atan(a₁ + a₂c₂, a₂s₂) ENG UFMG Departamento de Engenharia Elétrica Cinemática Cinemática Direta e Inversa Cinemática Inversa O Problema Geral da Cinemática Inversa Decomposição da Cinemática Inversa Abordagem Geométrica Cinemática Inversa de Posição Cinemática Inversa de Orientação Exemplo: Bibliography References May 3, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 18 / 20 Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References EXEMPLO: Cinem´atica Inversa de Manipuladores Manipulador SCARA: Como o manipulador SCARA possui somente 4 DoF, n˜ao ´e possivel determinar a solu¸c˜ao da cinem´atica inversa utilizando o modelo cinem´atica direto. 4 Terceira junta [d3]: d3 = zc − d4, 5 Quarta junta [θ4]: θ4 = θ1 + θ2 − α, bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 19 / 20 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cinem´atica Inversa O Problema Geral da Cinem´atica Inversa Decomposi¸c˜ao da Cinem´atica Inversa Abordagem Geom´etrica Cinem´atica Inversa de Posi¸c˜ao Cinem´atica Inversa de Orienta¸c˜ao Exemplo: Bibliography References BIBLIOGRAPHY Livro: [1]. [1] Mark W Spong, Seth Hutchinson, Mathukumalli Vidyasagar, et al. Robot modeling and control. Vol. 3. Wiley New York, 2006. bar May 3, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 20 / 20 Manipuladores Rob´oticos