Slide - Aula 5 - Cinemática Direta - 2023-1

MANIPULADORES ROBÓTICOS UFMG UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Engineering Eletrical Departament Universidade Federal de Minas Gerais MANIPULADORES ROB´OTICOS CINEM´ATICA DIRETA DE MANIPULADORES Presented by Gilmar Cruz J´unior April 17, 2023 AGENDA 1 Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica 2 Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA Cinem´atica Direta e Inversa A cinem´atica de corpos r´ıgidos ´e a ciˆencia que estuda a movimenta¸c˜ao de corpos r´ıgidos, sem considerar as for¸cas e torque envolvidos. Na rob´otica s˜ao estudadas duas cinem´aticas: Cinem´atica Direta: Relaciona as vari´aveis do espa¸co das juntas (prism´aticas di e/ou revolutas i) com as vari´aveis do espa¸co de trabalho (x, y, z, ϕx, θy, ψz). Cinem´atica Inversa: Relaciona as vari´aveis do espa¸co de trabalho (x, y, z, ϕ, θ, ψ) com as vari´aveis do espa¸co das juntas (prism´aticas di e/ou revolutas θi) bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 2 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA Cadeia Cinem´atica Um robˆo manipulador ´e composto de elos e juntas que formam uma cadeia cinem´atica. Cadeias cinem´aticas: Cadeia cinem´atica aberta; Cadeia cinem´atica fechada; Cadeia Mista; Tipos de juntas e DoF: Prism´atica (1 DoF); Revoluta (1 DoF); Esf´erica (2 ou 3 DoF); Soquete (2 DoF); Iremos considerar somente juntas com 1 grau de liberdade: prism´aticas e revolutas; bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 3 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior CINEMÁTICA Cadeia Cinemática Um manipulador robótico que possui n juntas, possui n - 1 elos. As juntas são representadas por: q_i = {θ_i , rotativa d_i , prismática Para realizar a análise da Cinemática, primeiramente acoplamos sistema de coordenadas aos elos (o_i x_i y_i z_i para o elo i ). Sendo assim, quando o robô executa uma movimentação os elos i's mantém constantes com respeito aos sistemas de coordenadas i' s. ENG Departamento de Engenharia Elétrica UFMG Cinemática Cinemática Direta e Inversa Cadeia Cinemática Cinemática Direta Representação Denavit-Hartenberg Considerações: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography April 17, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 4 / 24 Manipuladores Robóticos Gilmar Cruz Júnior CINEMÁTICA Cadeia Cinemática A transformação entre os sistemas de coordenadas pode ser representada por uma matriz T ∈ SE(3), que depende das variáveis das juntas. Por exemplo, a matriz de transformação homogênea do elo n com respeito ao elo n - 1 é expressa como: T_n^n-1 = T_n^n-1 (q_i), T_n^0 = |R_0^n p_0^n| |0 1| Lembrando que o sistema de coordenadas n, referente à junta n, é acoplado ao elo n - 1, pois quando a junta n se move o elo n se move junto. Contudo, a junta 0 é a única que não se move por estar acoplado à base do robô. ENG Departamento de Engenharia Elétrica UFMG Cinemática Cinemática Direta e Inversa Cadeia Cinemática Cinemática Direta Representação Denavit-Hartenberg Considerações: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography April 17, 2023 Gilmar Cruz Júnior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School Manipuladores Robóticos 5 / 24 Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA Cadeia Cinem´atica Conhecendo-se os valores das juntas, podemos determinar a posi¸c˜ao da origem do ´ultimo sistema de coordenadas n, acoplado `a ponto do manipulador, com respeito `a base 0, fazendo: T0 n = T0 1T1 2 · · · Tn−2 n−1Tn−1 n Para um manipulador com 3 juntas, tem-se: T0 3 = T0 1T1 2T2 3 T0 3(⃗q) = T0 1(θ1)T1 2(θ2)T2 3(θ3) onde T0 3(⃗q) ´e o modelo cinem´atico direto do manipulador e ⃗q = [θ1 θ2 θ3]T. bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 6 / 24 Manipuladores Rob´oticos AGENDA 1 Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica 2 Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg A representa¸c˜ao Denavti-Hartenberg (DH) ´e uma conven¸c˜ao para selecionar os sistemas de coordenadas em robˆos manipuladores. Nessa conven¸c˜ao a matriz de transforma¸c˜ao homogˆenea entre dois sistemas ´e dada pela multiplica¸c˜ao de 4 matrizes b´asicas, como: Ti = Rotz,θi Transz,di Transx,di Rotx,αi Ti =   cθi −sθi 0 0 sθi cθi 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 di 0 0 0 1     1 0 0 ai 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     1 0 0 0 0 cαi −sαi 0 0 sαi cαi 0 0 0 0 1   Ti =   cθi −sθicαi sθisαi aicθi sθi cθicαi −cθisαi aisθi 0 sαi cαi di 0 0 0 1   onde cθi = cos(θi) e sθi = sin(θi). An´alogo para o ˆangulo α. bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 7 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg A representa¸c˜ao Denavti-Hartenberg (DH) ´e uma conven¸c˜ao para selecionar os sistemas de coordenadas em robˆos manipuladores. Nessa conven¸c˜ao a matriz de transforma¸c˜ao homogˆenea entre dois sistemas ´e dada pela multiplica¸c˜ao de 4 matrizes b´asicas, como: Ti = Rotz,θi Transz,di Transx,di Rotx,αi A vari´aveis descritas s˜ao: ai : comprimento do link i; αi : tor¸c˜ao do link i; di : offset do link i; θi : ˆangulo da junta i; bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 8 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Na conven¸c˜ao DH existe duas considera¸c˜oes importantes que deve-se prestar bastante aten¸c˜ao. 1. O eixo xi ´e perpendicular ao eixo zi−1; 2. O eixo xi intersecta ao eixo zi−1 Sendo assim, exite apenas 3 vari´aveis que devemos determinar, al´em da vari´avel de junta θi (para junta rotativa) ou di (para junta prism´atica): Ti = Rotz,θi Transz,di Transx,di Rotx,αi bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 9 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: A escolha do sistema de coordenadas 0, da base, ´e arbitr´ario. Contudo, para os demais elos, o eixo zi ´e alocado na dire¸c˜ao do eixo de movimento da junta. Para se configurar os i-sistemas de coordenadas, deve considerar trˆes casos: 1. zi−1 e zi n˜ao s˜ao co-planares: 2. zi−1 e zi s˜ao paralelos: 3. zi−1 e zi se intersectam: bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 10 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: A escolha do sistema de coordenadas 0, da base, ´e arbitr´ario. Contudo, para os demais elos, o eixo zi ´e alocado na dire¸c˜ao do eixo de movimento da junta. Para se configurar os i-sistemas de coordenadas, deve considerar trˆes casos: 1. zi−1 e zi n˜ao s˜ao co-planares: Existe uma ´unica linha que conecta os eixos com uma distˆancia m´ınima. O eixo xi ´e acoplado a essa linha e a origem do SC i ´e definida pela interse¸c˜ao. 2. zi−1 e zi s˜ao paralelos: 3. zi−1 e zi se intersectam: bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 11 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: A escolha do sistema de coordenadas 0, da base, ´e arbitr´ario. Contudo, para os demais elos, o eixo zi ´e alocado na dire¸c˜ao do eixo de movimento da junta. Para se configurar os i-sistemas de coordenadas, deve considerar trˆes casos: 1. zi−1 e zi n˜ao s˜ao co-planares: 2. zi−1 e zi s˜ao paralelos: Existem infinitas normais entre os eixo. Sendo assim, uma escolha para a origem do SC ´e dada pela minimiza¸c˜ao das equa¸c˜oes e a dire¸c˜ao de xi, pode ser definida pela dire¸c˜ao de crescimento do robˆo ou aposto. 3. zi−1 e zi se intersectam: bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 12 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: A escolha do sistema de coordenadas 0, da base, ´e arbitr´ario. Contudo, para os demais elos, o eixo zi ´e alocado na dire¸c˜ao do eixo de movimento da junta. Para se configurar os i-sistemas de coordenadas, deve considerar trˆes casos: 1. zi−1 e zi n˜ao s˜ao co-planares: 2. zi−1 e zi s˜ao paralelos: 3. zi−1 e zi se intersectam: Neste caso a origem do SC ´e alocado na intersec¸c˜ao entre os eixos. Por´em, pode ser alocado em qualquer ponto sobre o eixo zi. O eixo xi ´e orientado de modo que fique normal ao plano formado por zi e zi−1. A dire¸c˜ao ´e arbitr´aria. bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 13 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: O ´ultimo sistema de coordenadas n ´e acoplado no efetuador final ou ferramenta. A origem do SC ´e colocado, geralmente, na ponta da ferramenta ou entre os dedos da garra. A terminologia utilizada para se referenciar aos eixos do sistema de coordenadas ´e dada por: 1. zn → a: Dire¸c˜ao de aproxima¸c˜ao (approach direction); 2. yn → s: Dire¸c˜ao deslizante (sliding direction); 3. xn → n: Dire¸c˜ao normal ao plano formado por a e s (normal direction). bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 14 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: A seguir s˜ao apresentadas as etapas para determinar o modelo cinem´atica de um manipulador, seguindo a conven¸c˜ao DH: 1. Localizar e rotular os eixo z’s das n-juntas; 2. Escolha posi¸c˜ao e orienta¸c˜ao da base; Para os demais juntas execute a sequˆencia de 3 a 5: bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 15 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Para os demais juntas execute a sequˆencia de 3 a 5: 3 Localize a origem oi: 3.1 Se zi e zi−1 n˜ao forem coplanares, localize oi na normal comum a zi e zi−1 intercepta zi ; 3.2 Se zi interceptar zi−1, localize oi nesta interse¸c˜ao; 3.3 Se zi e zi−1 s˜ao paralelos, localize oi em qualquer posi¸c˜ao conveniente ao longo de zi . 4 Estabele¸ca xi ao longo da normal comum entre zi−1 e zi atrav´es de oi , ou na dire¸c˜ao normal ao plano zi−1 e zi se zi−1 e zi se interceptarem; 5 Estabele¸ca yi para completar usando a regra da m˜ao direita. bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 16 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Ap´os acoplar os sistemas de coordenadas das juntas, execute o passo 7. 6 Estabele¸ca o sistema de coordenadas do efetuado ou ferramenta. Assumindo que a n-´esima junta ´e revoluta, o eixo zn aponta na dire¸c˜ao de zn−1. A origem do sistema de coordenadas ´e definida na ponta da ferramenta, ou no caso de uma garra, entre os dedos da garra. bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 17 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Definidos todos os sistemas de coordenadas, podemos montar a tabela de Denavit-Hartemberg. 7 Crie a tabela DH com os parˆametros dos elos e juntas ai, di, αi e θi. 7.1 ai : distˆancia ao longo de xi de oi at´e a interse¸c˜ao dos eixos xi e zi−1; 7.2 di : distˆancia ao longo de zi−1 de oi−1 at´e a interse¸c˜ao dos eixos xi e zi−1. Nota: di ´e vari´avel se a junta i for prism´atica; 7.3 αi : o ˆangulo entre zi−1 e zi medido sobre xi ; 7.4 θi : o ˆangulo entre xi−1 e xi medido sobre zi−1. Nota: θi ´e vari´avel se a junta i ´e revoluta. bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 18 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Ap´os criado a tabela DH, pode-se realizar as etapas 8 e 9 a seguir: 8 Montar a matriz de transforma¸c˜ao homogˆenea Ti, segundo a equa¸c˜ao: Ti = Rotz,θi Transz,di Transx,di Rotx,αi 9 Calcular a transforma¸c˜ao do sistema de coordenadas da do efetuador, ou ferramenta, para a base do robˆo, segundo: T0 n = T1T2 · · · Tn−1Tn T0 n = T0 1T1 2 · · · Tn−2 n−1Tn−1 n bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 19 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Exemplos Considere um robˆo manipulador planar de dois elos mostrado na Figura abaixo. Determine o modelo cinem´atico dada a conven¸c˜ao DH. T0 1 =   cθ1 −sθ1 0 a1cθ1 sθ1 cθ1 0 a1sθ1 0 0 1 0 0 0 0 1   T1 2 =   cθ2 −sθ2 0 a2cθ2 sθ2 cθ2 0 a2sθ2 0 0 1 0 0 0 0 1   T0 2 = T0 1T1 2 =   cθ12 −sθ12 0 a1cθ1 + a2cθ12 sθ12 cθ12 0 a1sθ1 + a2sθ12 0 0 1 0 0 0 0 1   Onde: x = a1cθ1 + a2cθ12 y = a1sθ1 + a2sθ12 bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 20 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Exemplos Considere um robˆo manipulador cil´ındrico de trˆes elos mostrado na Figura abaixo. Determine o modelo cinem´atico dada a conven¸c˜ao DH. T0 1 =   cθ1 −sθ1 0 0 sθ1 cθ1 0 0 0 0 1 d1 0 0 0 1   T1 2 =   1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 d3 0 0 0 1   T2 3 =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d3 0 0 0 1   T0 3 =   cθ1 0 −sθ1 −sθ1d3 sθ1 0 cθ1 cθ1d3 0 −1 0 d1 + d2 0 0 0 1   bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 21 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Exemplos Considere o punho esf´erico mostrado na Figura abaixo. Determine o modelo cinem´atico dada a conven¸c˜ao DH. T3 4 =   cθ4 0 −sθ4 0 sθ4 0 cθ4 0 0 −1 0 0 0 0 0 1   T4 5 =   cθ5 0 sθ5 0 sθ5 0 −cθ5 0 0 −1 0 0 0 0 0 1   T5 6 =   cθ6 −sθ6 0 0 sθ6 cθ6 0 0 0 0 1 d6 0 0 0 1   T3 6 =   c4c5c6 − s4s6 −c4c5s6 − s4c6 c4s5 c4s5d6 s4c5c6 − c4s6 −s4c5s6 + c4c6 s4s5 s4s5d6 −s5c6 s5s6 c5 c5d6 0 0 0 1   bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 22 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References CINEM´ATICA DIRETA Exemplos Considere um manipulador cil´ındrico com punho esf´erico mostrado na Figura abaixo. Determine o modelo cinem´atico dada a conven¸c˜ao DH. T0 6 = T0 3T3 6 T0 6 =   c1 0 −s1 −s1d3 s1 0 c1 c1d3 0 −1 0 d1 + d2 0 0 0 1     c4c5c6 − s4s6 −c4c5s6 − s4c6 c4s5 c4s5d6 s4c5c6 − c4s6 −s4c5s6 + c4c6 s4s5 s4s5d6 −s5c6 s5s6 c5 c5d6 0 0 0 1   bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 23 / 24 Manipuladores Rob´oticos Manipuladores Rob´oticos Gilmar Cruz J´unior Cinem´atica Cinem´atica Direta e Inversa Cadeia Cinem´atica Cinem´atica Direta Representa¸c˜ao Denavit-Hartenberg Considera¸c˜oes: Atribuindo Sistemas de Coordenadas: Exemplos Bibliography References BIBLIOGRAPHY Livro: [1]. [1] Mark W Spong, Seth Hutchinson, Mathukumalli Vidyasagar, et al. Robot modeling and control. Vol. 3. Wiley New York, 2006. bar April 17, 2023 Gilmar Cruz J´unior, Engineering Eletrical Departament, Engineering School 24 / 24 Manipuladores Rob´oticos