Exercícios - Probabilidade - 2023-2

1. (10 pontos) A funcao de probabilidade conjuta de (X, Y) e dada por: f(x, y) = P(X = x, Y = y), e dada por: f(0,0) = 1/4, f(1,0) = 1/4, P(0,1) = 1/2. (a) (3 pontos) Derive as funcoes de probabilidade marginais de X e Y. As variaveis aleatorias X e Y sao independentes? (b) (2 pontos) Calcule P(X > Y - 1). (c) (2 pontos) Calcule P(X > Y - 1), P(X >= 0). (d) (3 pontos) Calcule COV(X,Y). 2. (10 pontos) A funcao de densidade conjunta de X e Y é dada por: 5y^3, 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x f(x,y) = 0, se nao. (a) (2 pontos) Determine as densidades marginais de X e Y. As variaveis aleatorias X e Y sao independentes? (b) (2 pontos) Calcule P(Y - 1 < X ≤ 1). (c) (2 pontos) Calcule P(Y + 1 > X). (d) (2 pontos) Calcule E[X] e E[Y]. 3. (10 pontos) Um acidente ocorre em um ponto X uniformemente distribuido ao longo de uma rodovia de comprimento 10km. No mesmo instante, uma ambulancia e despachada de cada extremidade com velocidade 1 km/minuto. Determine a densidade de probabilidade da 4. (10 pontos) Suponha dois portores guardados em estoque de um certo tipo de componente. que o critico para o sistema e determinado por uma amostra aleatoria de 5 componentes retirada do estoque existente de 225 componentes. Suponha que a vida do mesmo tipo de componente, expressa em numero de meses, seja uma variavel aleatoria com media de 6 meses e desvio-padrao equivale a 5 meses. Calcule a probabilidade de que este componente sobreviva por pelo menos 120 meses.