Lista 1 - Probabilidade 2022-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ICEx. Departamento de Estat´ıstica. Lista de Exerc´ıcios Nro. 1. Probabilidade - 2022/ II Resolva os seguintes exerc´ıcios do livro: Probabilidade: um Curso Introdut´orio do C.A. Dantas, [1] 1. Capitulo 5: exercicios 2, 3, 4, 5, 8, 12, 16, 22, 25 e 27. Referˆencias [1] Carlos A. B. Dantas. Probabilidade: um Curso Introdut´orio. Edusp, 3 edition, 2008. Para β = 1 tem-se h(x) = 1 para x > 0 e h(x) = 0 para x < 0. Para β = 1/2 tem-se: h(x) = 1/2 x^{-1/2}. Vamos calcular os momentos de ordem r, para r ≥ 1, da variável aleatória X que tem distribuição de Weibull, cuja densidade é dada por (5.20). Em particular calcularemos a média e o segundo momento obtendo então a variância. E(X^r) = ∫_0^∞ β/η (x/η)^{β-1} exp{-(x/η)^β} dx Pondo t = x/η e vem: = ∫_0^∞ βt^{β-1}η^r e^{-t^β} ηdt = η^r = η^r Γ(1 + 1/β). Para r = 1 tem-se: E(X) = ηΓ(1 + 1/β). Para r = 2 obtemos: E(X^2) = η^2Γ(1 + 2/β). Utilizando-se a expressão VarX = E(X^2) - [E(X)]^2 obtemos a variância. Observação: Para as distribuições Weibull e Gama que contêm a exponencial é possível introduzir-se um parâmetro de posição, que representa o valor abaixo do qual nenhuma falta pode ocorrer. Para fazer isso, basta substituir-se nas densidades correspondentes a essa distribuições x por x - δ e considerar-se a densidade definida para x > δ. 5.4 EXERCÍCIOS 1. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0, 20), calcule a probabilidade de: (a) X < 3. (b) X > 12. (c) 4 < X < 11. (d) |X - 3| < 4. 2. Se X é uma variável aleatória normal com parâmetros μ = 3 e σ^2 = 9, determine: (a) P{2 < X < 5}. (b) P{X > 0}. (c) P{|X - 3| > 6}. 3. Se X é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (-3, 7), determine: (a) A função de distribuição de X. (b) P(|X - 1| ≤ 2). (c) P(|X| > 3). 4. Ônibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7 horas da manhã, isto é, os ônibus chegam aos pontos às 7h00, 7h15, 7h30, 7h45, e assim por diante. Se o instante de chegada de um passageiro no ponto é uniformemente distribuído entre 7h00 e 7h30, determine a probabilidade: (a) De que ele espere menos que 5 minutos até a chegada de um ônibus. (b) De que ele espere mais de 10 minutos até a chegada de um ônibus. 5. Seja X o número de caras observadas em 40 lançamentos de uma moeda honesta. Considere que o valor X = 20. Utilize a aproximação normal e compare com o resultado obtido através da distribuição exata. 6. Suponha que a duração média de um certo telefonema em uma cabine pública (em minutos) é uma variável exponencial com parâmetro λ = 1/10. Se uma pessoa chega imediatamente 6. Suponha que uma empresa produza automóveis e que a restrição da quantidade máxima de qualquer automóvel que ele pode vender como um grave no prazo de seis meses seja de 10,000 carros, A empresa produziu automóveis do tipo A ou do tipo B de luxo, com um lucro de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00, respectivamente, caso não haja restituição, e com um prejuízo de R$ 3.000,00 e R$ 8.000,00, respectivamente, se houver restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal, respectivamente com médias 9 meses e 12 meses, e variâncias 4 meses e 9 meses. Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria as vendas dos automóveis do tipo A ou do tipo B. Justifique. 16. Uma máquina funciona se pelo menos três de cinco dos seus componentes estiverem funcionando. Cada componente, independentemente dos demais, funciona por um tempo que é uma variável aleatória com uma função densidade de probabilidade dada por f(x) = 1/5 e^{-x/5}, x ≥ 0, em horas. (a) Determine a probabilidade de que a máquina funcione por mais de cinco horas. (b) Determine o número médio de componentes funcionando dez horas após a máquina ser ligada. Deixe claras as suposições que você está fazendo para resolver os itens (a) e (b). 17. Suponha que o número de horas X que uma máquina opera antes de falhar tem uma distribuição contínua com uma função densidade de probabilidade f(x) = 1/2 e^{-x/2}. Suponha que no décimo ano que a máquina é colocada para funcionar, você deve decidir quando retornar para inspecioná-la. Se você retardar a inspeção da máquina, você incorre num custo de B reais por cada hora adicional. Se você retorna após qualquer tempo de funcionamento, você incide um custo de C reais por hora de funcionamento. Qual o número ótimo de horas que a máquina não estava funcionando? Qual o número ótimo de horas que a máquina está funcionando para a inspeção de forma a minimizar seu custo esperado? 18. Uma amostra foi obtida de uma certa população de fumantes, e a proporção será usada para avaliar o valor de p. Deseja-se encontrar n com um erro que não exceda 0,005, com alta probabilidade. Em outras palavras, deseja-se que, com alta probabilidade, a proporção amostral a ser obtida não difira mais de 0,005 da proporção p real do fumantes. Qual deve ser o tamanho da amostra n para que isto ocorra? Explique as suposições que está fazendo. Admitindo-se agora que p ≤ 20%. Qual deve ser o tamanho da amostra n para que a condição exposta acima seja satisfeita? 19. Com base na definição de taxa de falha, determine a função taxa de falha de uma variável aleatória gama com parâmetros t e λ. 20. Calcule a função taxa de falha de X quando X é uniformemente distribuída em (0, a), a > 0. 21. Costuma-se dizer que a taxa de mortalidade de pessoas fumantes é, em cada idade, o dobro da taxa de mortalidade de pessoas não-fumantes. O que isto significa? Isto significa que a probabilidade de uma pessoa não-fumante sobreviver um determinado número de anos corresponde a duas vezes a probabilidade de uma pessoa fumante, de mesma idade, sobreviver este mesmo número de anos? 22. Seja X uma variável aleatória não-negativa e contínua. Mostre que: E(X) = ∫_0^∞ P{X > t}dt. 23. Para uma variável aleatória não-negativa T, o tempo médio de vida residual é definido por m(t) = E[T - t | T > t]. (a) Mostre que m(t) = R(t)/R(t). (b) Calcule m(t) quando T tem distribuição exponencial de parâmetro λ. (c) Calcule m(t) quando T é uniformemente distribuído no intervalo (0, A), A < ∞. 178 • Probabilidade: Um Curso Introdutório 24. Determine a função geradora de momentos de uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (a, b). 25. Uma variável aleatória X tem distribuição beta com parâmetros α e β, α, β > 0, se sua função densidade de probabilidade é dada por f(x) 1 B(α, β) xα-1(1 - x)β-1, 0 < x < 1, e zero caso contrário, onde B(α, β) = ∫01 xα-1 (1 - x)β-1dx = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) (a) Determine E(X) e Var(X). (b) Para α > 1 e b > 1, determine x* tal que f(x*) = max0<x<1 f(x). A distribuição beta é comumente utilizada em inferência Bayesiana quando se estudam quantidades de interesse assumindo valores no intervalo (0, 1) como, por exemplo, a proporção de fumantes em uma certa população. Observe ainda que, se α = β = 1, X é uniformemente distribuída em (0, 1). 26. Uma variável aleatória X tem distribuição de Laplace com parâmetro λ, λ > 0, se sua função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = 1/2 λe-λ|x|, x ∈ R. Determine a função de distribuição de X. 27. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0,1), qual a distribuição de Y = -log X? 28. Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ e c > 0 uma constante real, determine a distribuição de Y = cX. 29. A mediana de uma variável aleatória contínua, cuja função de distribuição F é o valor real tal que F(m) = 1/2. Determine a mediana de uma variável aleatória X se X é (a) Uniformemente distribuída no intervalo (a, b), (b) Normal com parâmetros μ e σ caso X ~ N(μ, σ2). 30. A moda de uma variável aleatória contínua, cuja função densidade é dada por f(x), é o valor de x para o qual f atinge uma altura máxima. determine a moda da variável de Laplace X nos casos (a), (b) e (c) do exercício anterior. Modelos Probabilísticos Contínuos • 179 31. Mostre que se X é uma variável aleatória Weibull com parâmetros α e β, então Y = ( \frac{X}{β} ) α é uma variável aleatória exponencial com parâmetro 1, e vice-versa. 32. Se X é uniformemente distribuída em (a, b), qual variável aleatória que possui uma relação linear com X é uniformemente distribuída no intervalo (0,1)? Em outras palavras, determine α, β para que Y = αX + β tem distribuição uniforme (0, 1). 33. Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição F qualquer, defina a variável aleatória Y por Y = F(X). Mostre que Y é uniformemente distribuída no intervalo (0, 1). Este resultado é de grande importância em técnicas de simulação de variáveis aleatórias, uma vez que, para obtermos observações de uma variável aleatória contínua com função de distribuição F qualquer, basta gerarmos valores da distribuição uniforme (0, 1) e, em seguida, aplicarmos F−1 a estes valores, onde F−1 é a função inversa de F. 34. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (−1,1), determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = |X|. 35. Ache a distribuição de R = Asenθ, onde A é uma constante fixada e θ é distribuída uniformemente em (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}). Tal variável aleatória aparece no lançamento de projéteis inclinados em relação à superfície onde se deslocam, com θ representando o ângulo de lançamento, que pode ser expressa por R =\frac{2v20}{g}sen2θ, onde g é a constante gravitacional. 36. Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição de Pareto com parâmetros α e λ > 0, se sua função probabilidade é dada por: x \geqslant λ, 0, caso contrário. F(x) = 1 − (\frac{λ}{x})α, para Mostre que, para X, a partir daí, justifique que Var(X) = \cfrac{\alpha λ2}{( \alpha−1)( \alpha−2)}. • edusp Probabilidade: Um Curso Introdutório Carlos A. B. Dantas 8 • Probabilidade: Um Curso Introdutório 1.7.1 Fórmula das Probabilidades Totais e Fórmula de Bayes ............................................. 47 1.8 Independência de Eventos ................................... 51 1.9 Exercícios ................................................. 56 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade ........ 63 2.1 Variáveis Aleatórias ......................................... 63 2.2 Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas ..................................................... 66 2.3 Densidades de Probabilidade .................................. 68 2.4 Função de Distribuição de uma Variável Aleatória ...... 70 2.5 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas .......................................................... 76 2.5.1 Interpretação Física ..................................... 78 2.5.2 Interpretação Baseada na Formulação Frequentista de Probabilidade.......................................... 80 2.6 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contínuas ....................................................... 81 2.7 Funções de Variáveis Aleatórias .............................. 85 2.8 Momentos e sua Função Geradora ............................ 90 2.9 Exercícios .................................................... 95 3. Variáveis Aleatórias Discretas Multidimensionais .......... 105 3.1 Distribuições de Probabilidade ............................... 105 3.2 Distribuições Marginais ..................................... 109 3.3 Variáveis Aleatórias Independentes ......................... 113 3.4 Covariância e Coeficiente de Correlação .................. 117 3.5 Distribuições Condicionais .................................. 120 3.6 Exercícios .................................................... 124 4. Modelos Probabilísticos Discretos ........................... 135 4.1 Distribuição Binomial ....................................... 135 4.2 Distribuição Hipergeométrica ................................ 140 4.3 Distribuição Geométrica ..................................... 143 4.4 Distribuição de Poisson ..................................... 146 4.5 Exercícios .................................................... 148 Sumário • 9 5. Modelos Probabilísticos Contínuos ............................... 157 5.1 Distribuição Uniforme ........................................... 157 5.2 Distribuição Normal ............................................ 158 5.3 Modelos Probabilísticos para Tempos de Vida ............ 165 5.3.1 Distribuição Exponencial .................................. 166 5.3.2 Distribuição Gama ........................................... 170 5.3.3 Distribuição de Weibull ..................................... 171 5.4 Exercícios ......................................................... 173 6. Variáveis Aleatórias Contínuas Multidimensionais ........... 183 6.1 Densidades de Probabilidade ................................... 183 6.2 Funções de Distribuição ........................................ 189 6.3 Independência .................................................. 193 6.4 Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias ....... 197 6.5 Distribuições Condicionais ..................................... 211 6.5.1 Esperança Condicional ...................................... 214 6.6 Variáveis N-Dimensionais .................................... 216 6.6.1 Distribuições Condicionais .................................. 219 6.7 Exercícios ......................................................... 220 7. Tipos de Convergência e Teoremas Limite ...................... 229 7.1 Lei dos Grandes Números e Teoremas do Limite Central .......................................................... 230 7.2 Exercícios ......................................................... 236 Apêndice. Tabelas ................................................... 243 Bibliografia .......................................................... 251 Resolução: Ora, 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 = 3; 𝜎2 = 9) ⟹ 𝑍 = 𝑋 − 3 3 ~ 𝑁(0, 1). (𝑎) 𝑃(2 < 𝑋 < 5) = 𝑃 (2 − 3 3 < 𝑍 < 5 − 3 3 ) = 𝑃(−0,33 < 𝑍 < 0,67) = Φ(0,67) − Φ(−0,33) = 0,3779. (𝑏) 𝑃(𝑋 > 0) = 𝑃 (𝑍 > 0 − 3 3 ) = 𝑃(𝑍 > −1) = 1 − Φ(−1) = 0,8413. (𝑐) 𝑃(|𝑋 − 3| > 6) = 𝑃 (|𝑋 − 3 3 | > 2) = 𝑃(|𝑍| > 2) = 1 − 𝑃(−2 < 𝑍 < 2) = 1 − [Φ(2) − Φ(−2)] = 0,0455. Resolução: Como 𝑋 ~ 𝑈(−3, 7), então 𝑓(𝑥) = 1 7 − (−3) = 1 10 , −3 < 𝑥 < 7. (𝑎) Para −3 < 𝑥 < 7, a função distribuição de 𝑋 é dada por 𝐹(𝑥) = ∫ 1 10 𝑑𝑡 𝑥 −3 = 𝑡 10| −3 𝑥 = 𝑥 + 3 10 . Logo, 𝐹(𝑥) = { 0, 𝑥 ≤ −3 𝑥 + 3 10 , −3 < 𝑥 < 7 1, 𝑥 ≥ 7 . (𝑏) 𝑃(|𝑋 − 1| ≤ 2) = 𝑃(−2 ≤ 𝑋 − 1 ≤ 2) = 𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝐹(3) − 𝐹(−1) = 3 + 3 10 − −1 + 3 10 = 6 10 − 2 10 = 4 10 . (𝑐) 𝑃(|𝑋| > 3) = 1 − 𝑃(−3 < 𝑋 < 3) = 1 − [𝐹(3) − 𝐹(−3)] = 1 − [3 + 3 10 − 0] = 1 − 6 10 = 4 10 . Resolução: Resolução: Temos que 𝑋 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛 = 40; 𝑝 = 0,5), então 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (40 𝑥 ) 0,540, 𝑥 = 0, 1, ⋯ , 40. Assim, segue que 𝐸(𝑋) = 40 × 0,5 = 20 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 40 × 0,5 × 0,5 = 10. Seja 𝑌 ~ 𝑁(𝜇 = 20; 𝜎2 = 10). Usando a aproximação pela normal, tem-se 𝑃(𝑋 = 20) ≅ 𝑃(19,5 < 𝑌 < 20,5) = 𝑃 (19,5 − 20 √10 < 𝑌 − 20 √10 < 20,5 − 20 √10 ) = 𝑃 (− √10 20 < 𝑍 < √10 20 ) = Φ (√10 20 ) − Φ (− √10 20 ) = 0,1256. Calculando o valor exato, teremos 𝑃(𝑋 = 20) = (40 20) 0,540 = 0,1254. Percebe-se que o erro na aproximação foi de apenas |0,1256 − 0,1254| = 0,0002. Resolução: Como a f.d.p. da v.a. 𝑋 é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥, 𝑥 > 0, então 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1). Agora, a função lucro será dada por 𝐿 = {0, 𝑋 ≤ 0,9 3, 𝑋 > 0,9 . Ora, 𝐸(𝐿) = 0 × 𝑃(𝐿 = 0) + 3 × 𝑃(𝐿 = 3) = 0 × 𝑃(𝑋 ≤ 9) + 3 × 𝑃(𝑋 > 0,9) = 3 × 𝑃(𝑋 > 0,9) = 3 × 𝑒−0,9 ≅ 1,22. Logo, o lucro esperado, por item, pelo fabricante é de aproximadamente R$ 1,22. Nota: Como 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1), então 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑒−𝑥. Resolução: Seja 𝑋 a v.a. que representa a quantidade de chuva anual em uma certa região, onde 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 = 40; 𝜎2 = 42). Portanto, segue que 𝑃(𝑋 > 50) = 𝑃 (𝑍 > 50 − 40 4 ) = 𝑃(𝑍 > 2,5) = 1 − Φ(2,5) = 0,0062. A probabilidade de registrar uma quantidade de chuva anual maior que 50 é 0,0062. Agora, seja 𝑌: o número de anos para se registrar uma quantidade de chuva anual maior que 50. Logo, teremos que 𝑌 ~ 𝐺𝑒𝑜(0,0062), ou seja, 𝑃(𝑌 = 𝑦) = 0,0062(1 − 0,0062)𝑦−1 = 0,0062 × 0,9938𝑦−1, 𝑦 = 1,2, … Portanto, 𝑃(𝑌 > 10) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 10) = 1 − ∑ 0,0062 × 0,9938𝑦−1 10 𝑦=1 = 1 − 0,0062 0,9938 ∑ 0,9938𝑦 10 𝑦=1 = 1 − 0,0062 0,9938 × 9,6653 = 0,9397. Isto é, a probabilidade de que serão necessários mais do que 10 anos para se registrar uma quantidade de chuva anual maior que 50 é igual a 0,9397. As suposições são que a quantidade de chuva anual é independente em cada ano de medição. Resolução: (𝑎) Seja 𝑋 a v.a. que representa o tempo de funcionando do componente; como 𝑓(𝑥) = 1 5 𝑒− 1 5𝑥, 𝑥 > 0; então temos que 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1/5). Portanto, a probabilidade de um componente funcionar por mais de 5 horas é dada por 𝑃(𝑋 > 5) = 𝑒− 1 5×5 = 𝑒−1. Nota: Como 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1/5), então 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑒−𝑥/5. Agora, definindo 𝑌 como o número de componentes, dentre os 5, que funcionam por mais de 5 horas, e assumindo independência entre o tempo de funcionamento para cada componente, teremos que 𝑌 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(5, 𝑒−1). Como a máquina funciona se pelo menos três componentes funcionarem, então segue que 𝑃(𝑌 ≥ 3) = ∑ (5 𝑦) 5 𝑦=3 𝑒−𝑦(1 − 𝑒−1)5−𝑦 ≅ 0,2636. Isto é, a probabilidade de que a máquina funcione por mais de 5 horas é 0,2636. (𝑏) A probabilidade de um componente funcionar por mais de 10 horas é dada por 𝑃(𝑋 > 10) = 𝑒−1 5×10 = 𝑒−2. Agora, definindo 𝑌 como o número de componentes, dentre os 5, que funcionam por mais de 10 horas, e assumindo independência entre o tempo de funcionamento para cada componente, teremos que 𝑌 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(5, 𝑒−2). Logo, 𝐸(𝑌) = 5 × 𝑒−2 ≅ 0,6767 ≈ 1. Isto é, o número médio de componentes funcionando dez horas após a máquina ser ligada é de aproximadamente igual a 1. Resolução: Ora, 𝑃(𝑋 > 𝑡) = ∫ 𝑓(𝑥) ∞ 𝑡 𝑑𝑥, para 𝑡 > 0, já que 𝑋 é uma v.a. não-negativa. Assim, ∫ 𝑃(𝑋 > 𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥) ∞ 𝑡 𝑑𝑥) ∞ 0 𝑑𝑡; fazendo a mudança de ordem na integração, teremos que 𝑥 > 𝑡 > 0 ⟹ 0 < 𝑡 < 𝑥 ⟹ ∫ 𝑃(𝑋 > 𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑑𝑡) ∞ 0 𝑑𝑥 = ∫ (∫ 𝑑𝑡 𝑥 0 ) ∞ 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ∞ 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸(𝑋). Nota: ∫ 𝑑𝑡 𝑥 0 = 𝑡|0 𝑥 = 𝑥 − 0 = 𝑥. Logo, conclui-se que 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑃(𝑋 > 𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡; ou, equivalentemente, 𝐸(𝑋) = ∫ [1 − 𝐹(𝑥)] ∞ 0 𝑑𝑡, onde 𝐹(𝑥) é a função distribuição da variável 𝑋, dada por 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑥 0 𝑑𝑡. Resolução: Devemos lembrar que: 𝐸(𝑋𝑛) = ∫ 𝑥𝑛𝑓𝑋(𝑥) ∞ −∞ 𝑑𝑥 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2. Ainda, usaremos as seguintes relações: 𝐵(𝑎, 𝑏) = Γ(𝑎 + 𝑏) Γ(𝑎)Γ(𝑏) e Γ(𝜃 + 1) = 𝜃Γ(𝜃). A função Γ(⋅) é a função Gama, dada por: Γ(𝑘) = ∫ 𝑥𝑘−1𝑒−𝑥 ∞ 0 𝑑𝑥, 𝑘 > 0. (𝑎) Tem-se 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 1 0 1 𝐵(𝛼, 𝛽) 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1𝑑𝑥 = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ∫ 𝑥𝛼+1−1(1 − 𝑥)𝛽−1 1 0 𝑑𝑥 = 𝐵(𝛼 + 1, 𝛽) 𝐵(𝛼, 𝛽) = Γ(𝛼 + 1)Γ(𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 1) ⋅ Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼)Γ(𝛽) = Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 1) ⋅ Γ(𝛼 + 1) Γ(𝛼) = Γ(𝛼 + 𝛽) (𝛼 + 𝛽)Γ(𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝛼Γ(𝛼) Γ(𝛼) = 1 (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝛼 = 𝛼 𝛼 + 𝛽 . Isto é, se 𝑋 ~ 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼, 𝛽), então 𝐸(𝑋) = 𝛼 𝛼+𝛽. Agora, temos 𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2 1 0 1 𝐵(𝛼, 𝛽) 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1𝑑𝑥 = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ∫ 𝑥𝛼+2−1(1 − 𝑥)𝛽−1 1 0 𝑑𝑥 = 𝐵(𝛼 + 2, 𝛽) 𝐵(𝛼, 𝛽) = Γ(𝛼 + 2)Γ(𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 2) ⋅ Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼)Γ(𝛽) = Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 2) ⋅ Γ(𝛼 + 2) Γ(𝛼) = Γ(𝛼 + 𝛽) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽)Γ(𝛼 + 𝛽) ⋅ (𝛼 + 1)𝛼Γ(𝛼) Γ(𝛼) = 1 (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) ⋅ (𝛼 + 1)𝛼 = 𝛼(𝛼 + 1) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) Logo, segue que 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼(𝛼 + 1) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) − [ 𝛼 𝛼 + 𝛽] 2 = 𝛼(𝛼 + 1) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) − 𝛼2 (𝛼 + 𝛽)2 = 𝛼 𝛼 + 𝛽 [ 𝛼 + 1 𝛼 + 𝛽 + 1 − 𝛼 𝛼 + 𝛽] = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 1)(𝛼 + 𝛽) − 𝛼(𝛼 + 𝛽 + 1) (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 1)(𝛼 + 𝛽) − 𝛼(𝛼 + 𝛽) − 𝛼 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 𝛽)[𝛼 + 1 − 𝛼] − 𝛼 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 𝛽) − 𝛼 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ 𝛽 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼𝛽 (𝛼 + 𝛽)2(𝛼 + 𝛽 + 1) . (𝑐) Temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 [ 1 𝐵(𝛼, 𝛽) 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1] = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ⋅ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1 = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ⋅ [(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 + 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2(−1)] = (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 − 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2 𝐵(𝛼, 𝛽) . Agora, igualamos a zero e resolvemos para 𝑥: ⟹ (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 − 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2 𝐵(𝛼, 𝛽) = 0 ⟹ (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 = 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 𝑥𝛼−2 𝑥𝛼−1 ⋅ (1 − 𝑥)𝛽−1 (1 − 𝑥)𝛽−2 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 𝑥𝛼−2−𝛼+1 ⋅ (1 − 𝑥)𝛽−1−𝛽+2 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 𝑥−1 ⋅ (1 − 𝑥)1 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 1 − 𝑥 𝑥 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 (1 𝑥 − 1) = 1 ⟹ 1 𝑥 − 1 = 𝛽 − 1 𝛼 − 1 ⟹ 1 𝑥 = 𝛽 − 1 𝛼 − 1 + 1 ⟹ 1 𝑥 = 𝛽 − 1 + 𝛼 − 1 𝛼 − 1 ⟹ 1 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 − 2 𝛼 − 1 ⟹ 𝑥 = 𝛼 − 1 𝛼 + 𝛽 − 2 . Logo, para 𝑎 > 1 e 𝑏 > 1, o valor 𝑥∗ tal que 𝑓(𝑥∗) = max 0<𝑥<1 𝑓(𝑥) é dado por 𝑥∗ = 𝛼 − 1 𝛼 + 𝛽 − 2 . Resolução: Como 𝑋 ~ 𝑈(0, 1), então 𝑓𝑋(𝑥) = 1, 0 < 𝑥 < 1. Tem-se que a função 𝑔(𝑋) = 𝑌 = − log 𝑋 é estritamente crescente, então a função densidade de probabilidade de 𝑌 será dada por 𝑓𝑌(𝑦) = 𝑓𝑋(𝑔−1(𝑦)) | 𝑑 𝑑𝑦 𝑔−1(𝑦)|. Ora, 𝑔(𝑥) = 𝑦 = − log 𝑥 ⟹ 𝑔−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑒−𝑦 ⟹ 𝑓𝑋(𝑔−1(𝑦)) = 𝑓𝑋(𝑒−𝑦) = 1 ⟹ | 𝑑 𝑑𝑦 𝑔−1(𝑦)| = | 𝑑 𝑑𝑦 𝑒−𝑦| = |−𝑒−𝑦| = 𝑒−𝑦 Ainda, 0 < 𝑥 < 1 ⟹ log 𝑥 < 0 ⟹ − log 𝑥 = 𝑦 > 0. Portanto, a função densidade de probabilidade de 𝑌 = − log 𝑋 é 𝑓𝑌(𝑦) = 𝑒−𝑦, 𝑦 > 0. Isto é, para 𝑋 ~ 𝑈(0, 1), teremos que 𝑌 = − log 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1) ∎