P1 - Probabilidade - 2021-1

PROBABILIDADE EST032 PROVA #1 JUNHO 16, 2021 Antes de começar com a solução da prova leia com cuidado o arquivo de orientações sobre a prova. 1. (8 pontos) Seja S = {s1,s2,s3,s4} o espaço amostral de um experimento aleatório. Suponha que P({s1}) = 12, P({s2}) = 13, P({s3,s4}) = 13. Considere os seguintes eventos: E1 = {s1}, E2 = {s2,s3} e E3 = {s3,s4}. (a) (3 pontos) Determine a probabilidade de que nenhum dos três eventos ocorra. (b) (3 pontos) Determine a probabilidade de que exatamente um dos três eventos ocorra. (c) (2 pontos) Os eventos E1, E2 e E3 são independentes? 2. (8 pontos) Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Uma amostra de quatro bolas é retirada sem reposição, i.e., quatro bolas são retiradas aleatoriamente de uma urna sem reposição. Determine a probabilidade de que: (q (4 pontos) exatamente duas bolas amarelas ou exatamente duas bolas verdes sejam retiradas;\n(b) (4 pontos) no máximo duas bolas amarelas sejam retiradas. 3. (8 pontos) A urna 1 contém 2 bolas azuis e 1 bola vermelha, a urna II contém 1 bola azul e 2 bolas vermelhas e a urna III contém 3 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Joga-se um dado honesto: sai o número 1 retiramos aleatoriamente uma bola da urna I, dado que saiu um número 2 retiramos aleatoriamente uma bola da urna II, e se sair um número maior ou igual a 3 retiramos aleatoriamente uma bola da urna III. (a) (4 pontos) Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja azul?\n(b) (4 pontos) Qual é a probabilidade de que tenha saído o número 1, dado que a bola retirada é azul? 4. (9 pontos) Uma caixa contém três moedas. Uma é honesta, outra é uma moeda que dá cara com probabilidade 13 e a terceira é uma moeda que dá cara com probabilidade 23. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e lançada duas vezes. Considere os seguintes eventos: A = “primeiro lançamento resulta em cara”, B = “segundo lançamento resulta em cara”. (a) (4 pontos) Determine P(A ∩ B). (b) (3 pontos) Determine P(A ∪ B). (c) (2 pontos) Os eventos A e B são independentes?