Lista 1 - Probabilidade 2022 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ICEx. Departamento de Estat´ıstica. Lista de Exerc´ıcios Nro. 1. Probabilidade - 2022/ II Resolva os seguintes exerc´ıcios do livro: Probabilidade: um Curso Introdut´orio do C.A. Dantas, [1] 1. Capitulo 5: exercicios 2, 3, 4, 5, 8, 12, 16, 22, 25 e 27. Referˆencias [1] Carlos A. B. Dantas. Probabilidade: um Curso Introdut´orio. Edusp, 3 edition, 2008. 172 • Probabilidade: Um Curso Introdutório Para β = 1 tem-se h(x) = 1 para x ≥ 0 e h(x) = 0 para x < 0. Para β = 1/2 tem-se: h(x) = 1/2 x^(-1/2). f(x) 2 β = 2 1 β = 1 β = 1/2 1/2 Vamos calcular os momentos de ordem r, para r ≥ 1, da variável aleatória X que tem distribuição de Weibull, cuja densidade é dada por (5.20). Em particular calcularemos a média e o segundo momento obtendo então a variância. ∞ E(X^r) = ∫ x^r (β/η) (x/η)^(β-1) exp {-(x/η)^β} dx 0 Pondo x/η = y vem: ∞ η^r ∫ y^r βy^(β-1) e^(-y^β)η βη dy 0 Pondo t = y^β tem-se y = t^(1/β) e fazendo a substituição vem: ∞ η^r ∫ βy^(β-1) y^r e^(-t) dt = η^r ∫ t^(r/β) e^(-t) dt βy β-1 e^(β-1) dt 0 Lembrando que Γ(α) = 0 t^(α-1) e^(-t) dt, vem: ∞ E(X^r) = η^r Γ(1 + r/β). (5.23) Para r = 1 têm-se: E(X) = ηΓ(1 + 1/β). Para r = 2 obtemos: E(X^2) = η^2 Γ(1 + 2/β). Utilizando-se a expressão VarX = E(X^2) - [E(X)]^2 obtemos F 0 1 2 x a variância. Modelos Probabilísticos Continuos • 173 Observação: Para as distribuições Weibull e Gama que contêm a exponencial é possível introduzir-se um parâmetro de posição, que representa o valor abaixo do qual nenhuma falha pode ocorrer. Para fazer isso, basta substituir-se nas densidades correspondentes a essas distribuições x por x - δ e considerar-se a densidade definida para x ≥ δ. 5.4 EXERCÍCIOS 1. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0,20), calcule a probabilidade de: (a) X < 3. (b) X > 12. (c) 4 < X < 11. (d) |X - 3| < 4. 2. Se X é uma variável aleatória normal com parâmetros μ = 3 e σ^2 = 9, determine: (a) P{2 ≤ X < 5}. (b) P{X > 0}. (c) P{|X - 3| > 6}. 3. Se X é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (-3, 7), determine: (a) a função de distribuição de X. (b) P{|X - 1| ≤ 2}. (c) P{|X| > 3}. 4. Ônibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7 horas da manhã, isto é, os ônibus chegam ao ponto às 7h00, 7h15, 7h30, 7h45, e assim por diante. Se o instante de chegada de um passageiro ao ponto é uniformemente distribuído entre 7h00 e 7h30, determine a probabilidade: (a) De que ele espere menos que cinco minutos até a chegada de um ônibus. (b) De que ele espere mais de 10 minutos até a chegada de um ônibus. 5. Seja X o número de caras observadas em 40 lançamentos de uma moeda honesta. Determine a probabilidade de que X = 20. Utilize a aproximação normal e compare com o resultado obtido através da distribuição binomial. 6. Suponha que a duração de uma ligação telefônica em uma cabine pública (em minutos) é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ = 1/10. Se uma pessoa chega imediatamente 174 • Probabilidade: Um Curso Introdutório a sua frente na cabine telefônica pública, ache a probabilidade de que você terá que esperar (a) mais que 10 minutos; (b) entre 10 e 20 minutos. 7. Para determinar a eficiência de uma certa dieta na redução da quantidade de colesterol na corrente sanguínea, 100 pessoas são submetidas a esta dieta por um intervalo de tempo bastante prolongado. Em seguida, são registrados os níveis de colesterol destas pessoas. O nutricionista responsável pelo experimento decidiu endossar a dieta se pelo menos 65% das pessoas apresentarem um nível de colesterol menor após serem submetidas à dieta. Qual é a probabilidade de que o nutricionista endosse a nova dieta se, na verdade, ela não tem efeito algum sobre o nível de colesterol? (Admita que se a dieta não tem efeito algum sobre a quantidade de colesterol, então o nível de colesterol de cada pessoa será menor após a dieta com probabilidade 1/2.) 8. Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de 1000 horas) que é considerado uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f(x) = αe^(-αx), x > 0. Suponha também que o custo de fabricação de um item seja R$ 2,00 e o preço de venda seja R$ 5,00. O fabricante garante devolução total do dinheiro se x ≤ 0,9. Qual o lucro esperado do fabricante por item produzido? 9. Um ponto é escolhido ao acaso em um segmento de reta de comprimento L. Determine a probabilidade de que a razão entre o menor e maior segmentos obtidos após a escolha deste ponto seja menor que 1/4. 10. Um ônibus viaja entre duas cidades, A e B, separadas por uma distância de 100 quilômetros. Se o ônibus sofre uma avaria durante a viagem, ele para no instante da avaria a cidade A e B. Suponha que a localização da avaria é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, 100). Existe uma estação de reparo em cada cidade e a outra, 75 quilômetros de 25, 50 e Reparo /evitar Prevenção Existem três as repare por cada rota de entrada em A outro. Cidades representa o meio principal de modelamento reparo localizadas da avaria é a cidade B. B. Você concorda com esta sugestão? Justifique. 11. A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione sob as condições para as quais foi planejado. Uma amostra de 1000 destes itens é escolhida ao acaso, e estes itens selecionados são testados. Calcule a probabilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos, supondo que a confiabilidade de cada item é 0,95. Indique que suposições está fazendo ao efetuar tal cálculo. 12. A quantidade de chuva anual em uma certa região é normalmente distribuída com μ = 40 e σ = 4. Qual é a probabilidade de que, começando a registrar os índices pluviométricos este ano, serão necessários mais do que 10 anos para se registrar uma quantidade de chuva anual maior que 50? Que suposições você está fazendo? 13. Um corpo de bombeiros está para ser construído ao longo de uma estrada de comprimento A, A < ∞. Se incêndios ocorrem de maneira uniforme ao longo desta estrada, onde o corpo de bombeiros deveria ser instalado para minimizar a distância esperada para o incêndio? Isto é, determine c que minimize E[|X - c|], onde X, que denota a posição a ocorrer um incêndio nesta estrada, é uniformemente distribuído no intervalo (0, A). 14. O tempo (em horas) necessário para reparar um aparelho é uma variável aleatória exponencialmente distribuída com parâmetro λ = 1/2. Determine: (a) A probabilidade de que o tempo de reparo exceda duas horas. (b) A probabilidade condicional de que o tempo de reparo exceda uma hora dado que a duração do reparo já excede nove horas. 15. Uma empresa produz automóveis e quer restringir a quantidade máxima que qualquer automóvel da sua linha cause com seu preço. A empresa produz automóveis do Tipo A comum e do tipo B de luxo, com um lucro de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00, respectivamente, caso não haja restituição, e com um prejuízo de R$ 3.000,00 e R$ 8.000,00, respectivamente, se houver restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal, respectivamente com médias 9 meses 4 meses e Se tivesse planear uma estratégia de marketing para a empresa, você os automóveis do tipo A ou do tipo B. Justifique. você 165 é indicada na tabela a aresta anterior invariante. 178 • Probabilidade: Um Curso Introdutório 24. Determine a função geradora de momentos de uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (a, b). 25. Uma variável aleatória X tem distribuição beta com parâmetros α e β, α, β > 0, se sua função densidade de probabilidade é dada por f(x) = 1/B(α, β) x^(α-1)(1-x)^(β-1), 0 < x < 1, e zero caso contrário, onde B(α, β) = ∫_0^1 x^(α-1)(1-x)^(β-1)dx = Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β) (a) Determine E(X) e Var(X). (b) Para α > 1 e b > 1, detr- mine x* tal que f(x*) = max x ∈ ]0,1] f(x). A distribuição beta é comumente utilizada em inferência Bayesiana quando se estudam quantidades de interesse assu- minho valores no intervalo (0, 1) como, por exemplo, a pro- porção de fumantes em uma certa população. Observe ainda que, se α = β = 1, X é uniformemente distribuída em (0, 1). 26. Uma variável aleatória X tem distribuição de Laplace com pa- râmetro λ, λ > 0, se sua função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = 1/2 λ e^(-λ|x|), x∈ℝ. Determine a função de distribuição de X. 27. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0,1), qual a distribuição de Y = – log X? 28. Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ e c > 0 uma constante real, determine a distribuição de Y = cX. 29. A mediana de uma variável aleatória contínua, cuja função de distribuição F é o valor real m tal que F(m) = 1/2. Determine a mediana da variável aleatória X se X é (a) Uniformemente distribuída no intervalo (a, b) (b) Normal com parâmetros μ e σ^2. 30. A moda de uma variável aleatória contínua, cuja função densi- dade de probabilidade f é o valor de x para o qual f atinge Modelos Probabilísticos Contínuos • 179 31. Mostre que se X é uma variável aleatória Weibull com parâme- tros α e β, então Y = (X/β)^α é uma variável aleatória expo- nencial com parâmetro 1, e vice-versa. 32. Se X é uniformemente distribuída em (a, b), qual variável alea- tória que possui uma relação linear com X é uniformemente distribuída no intervalo (0,1)? Em outras palavras, determine α, β ∈ ℝ, tais que Y = αX + β tem distribuição uniforme (0, 1). 33. Seja X uma variável aleatória contínua com função de dis- tribuição F qualquer, defina a variável aleatória Y por Y = F(X). Mostre que Y é uniformemente distribuída no intervalo (0, 1). Este resultado é de grande importância em técnicas de simulação de variáveis aleatórias, uma vez que, para obtermos observações de uma variável aleatória contínua com função de distribuição F qualquer, basta gerarmos valores da distribuição uniforme (0, 1) e, em seguida, aplicarmos F^(-1) a estes valores, onde F^(-1) é a função inversa de F. 34. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (-1,1), deter- mine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = |X|. 35. Ache a distribuição de R = Asenθ, onde A é uma constante fi- xada e θ é distribuída uniformemente em (-π/2, π/2). Tal variável aleatória aparece no lançamento de projéteis. Um projétil é lançado com velocidade inicial Vo em um ângulo θ em relação a esta superfície do solo horizontal, então a dis- tância de alcance, R, pode ser expresso por R = Vo^2sen2θ/g, onde g é a constante gravitacional. 36. Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição de Pa- relto com parâmetros α e γ > 0, se sua função densidade de probabilidade é dado por: f(x) = (αγ)/(γ+x)^(α+1), x ≥ 0, zero caso contrário. 33 x αγ Var(X) = — 2, mostre que, para α > 2, (α–1)(α–2) edusp Probabilidade: Um Curso Introdutório Carlos A. B. Dantas SUMÁRIO Prefácio ............................................................... 11 1. Noções Básicas de Probabilidade ............................ 15 1.1 Experimentos Aleatórios .................................. 15 1.2 Espaço Amostral e Eventos ............................... 17 1.3 Operações entre Eventos ................................ 20 1.4 Definições: Clássica, Frequentista e Subjetiva de Pro-babilidade ......................... 22 1.4.1 Definição Frequentista de Probabilidade ....... 24 1.4.2 Definição Subjetiva de Probabilidade .......... 26 1.4.3 Definição Axiomática de Probabilidade ........ 27 1.5 Métodos de Contagem ..................................... 28 1.5.1 Princípio Fundamental da Contagem ............ 29 1.6 Propriedades da Probabilidade .......................... 38 1.7 Probabilidade Condicional ................................ 43 1.7.1 Fórmula das Probabilidades Totais e Fórmula de Bayes .......................................................... 47 1.8 Independência de Eventos ..................................... 51 1.9 Exercícios .......................................................... 56 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade ......... 63 2.1 Variáveis Aleatórias ............................................. 63 2.2 Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas .......................................................... 66 2.3 Densidades de Probabilidade ................................ 68 2.4 Função de Distribuição de uma Variável Aleatória ..... 70 2.5 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas ........................................................... 76 2.5.1 Interpretação Física ....................................... 78 2.5.2 Interpretação Baseada na Formulação Frequentista de Probabilidade ............................................ 80 2.6 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contínuas ......................................................... 81 2.7 Funções de Variáveis Aleatórias .............................. 85 2.8 Momentos e sua Função Geradora .......................... 90 2.9 Exercícios .......................................................... 95 3. Variáveis Aleatórias Discretas Multidimensionais ......... 105 3.1 Distribuições de Probabilidade ................................. 105 3.2 Distribuições Marginais ........................................ 109 3.3 Variáveis Aleatórias Independentes ......................... 113 3.4 Covariância e Coeficiente de Correlação ................... 117 3.5 Distribuições Condicionais .................................... 120 3.6 Exercícios ......................................................... 124 4. Modelos Probabilísticos Discretos ................................ 135 4.1 Distribuição Binomial ........................................... 135 4.2 Distribuição Hipergeométrica ................................. 140 4.3 Distribuição Geométrica ....................................... 143 4.4 Distribuição de Poisson ........................................ 146 4.5 Exercícios .......................................................... 148 5. Modelos Probabilísticos Contínuos .............................. 157 5.1 Distribuição Uniforme ........................................ 157 5.2 Distribuição Normal .......................................... 158 5.3 Modelos Probabilísticos para Tempos de Vida .......... 165 5.3.1 Distribuição Exponencial ............................. 166 5.3.2 Distribuição Gama ........................................ 170 5.3.3 Distribuição de Weibull .................................. 171 5.4 Exercícios ........................................................... 173 6. Variáveis Aleatórias Contínuas Multidimensionais ......... 183 6.1 Densidades de Probabilidade ............................. 183 6.2 Funções de Distribuição .................................... 189 6.3 Independência ...................................................... 193 6.4 Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias .... 197 6.5 Distribuições Condicionais .................................. 211 6.5.1 Esperança Condicional .................................. 214 6.6 Variáveis N-Dimensionais ................................... 216 6.6.1 Distribuições Condicionais ............................... 219 6.7 Exercícios .......................................................... 220 7. Tipos de Convergência e Teoremas Limite .................... 229 7.1 Lei dos Grandes Números e Teoremas do Limite Central .............................................................. 230 7.2 Exercícios .......................................................... 236 Apêndice.Tabelas .......................................................243 Bibliografia ............................................................... 251 Resolução: Ora, 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 = 3; 𝜎2 = 9) ⟹ 𝑍 = 𝑋 − 3 3 ~ 𝑁(0, 1). (𝑎) 𝑃(2 < 𝑋 < 5) = 𝑃 (2 − 3 3 < 𝑍 < 5 − 3 3 ) = 𝑃(−0,33 < 𝑍 < 0,67) = Φ(0,67) − Φ(−0,33) = 0,3779. (𝑏) 𝑃(𝑋 > 0) = 𝑃 (𝑍 > 0 − 3 3 ) = 𝑃(𝑍 > −1) = 1 − Φ(−1) = 0,8413. (𝑐) 𝑃(|𝑋 − 3| > 6) = 𝑃 (|𝑋 − 3 3 | > 2) = 𝑃(|𝑍| > 2) = 1 − 𝑃(−2 < 𝑍 < 2) = 1 − [Φ(2) − Φ(−2)] = 0,0455. Resolução: Como 𝑋 ~ 𝑈(−3, 7), então 𝑓(𝑥) = 1 7 − (−3) = 1 10 , −3 < 𝑥 < 7. (𝑎) Para −3 < 𝑥 < 7, a função distribuição de 𝑋 é dada por 𝐹(𝑥) = ∫ 1 10 𝑑𝑡 𝑥 −3 = 𝑡 10| −3 𝑥 = 𝑥 + 3 10 . Logo, 𝐹(𝑥) = { 0, 𝑥 ≤ −3 𝑥 + 3 10 , −3 < 𝑥 < 7 1, 𝑥 ≥ 7 . (𝑏) 𝑃(|𝑋 − 1| ≤ 2) = 𝑃(−2 ≤ 𝑋 − 1 ≤ 2) = 𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 𝐹(3) − 𝐹(−1) = 3 + 3 10 − −1 + 3 10 = 6 10 − 2 10 = 4 10 . (𝑐) 𝑃(|𝑋| > 3) = 1 − 𝑃(−3 < 𝑋 < 3) = 1 − [𝐹(3) − 𝐹(−3)] = 1 − [3 + 3 10 − 0] = 1 − 6 10 = 4 10 . Resolução: Resolução: Temos que 𝑋 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛 = 40; 𝑝 = 0,5), então 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (40 𝑥 ) 0,540, 𝑥 = 0, 1, ⋯ , 40. Assim, segue que 𝐸(𝑋) = 40 × 0,5 = 20 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 40 × 0,5 × 0,5 = 10. Seja 𝑌 ~ 𝑁(𝜇 = 20; 𝜎2 = 10). Usando a aproximação pela normal, tem-se 𝑃(𝑋 = 20) ≅ 𝑃(19,5 < 𝑌 < 20,5) = 𝑃 (19,5 − 20 √10 < 𝑌 − 20 √10 < 20,5 − 20 √10 ) = 𝑃 (− √10 20 < 𝑍 < √10 20 ) = Φ (√10 20 ) − Φ (− √10 20 ) = 0,1256. Calculando o valor exato, teremos 𝑃(𝑋 = 20) = (40 20) 0,540 = 0,1254. Percebe-se que o erro na aproximação foi de apenas |0,1256 − 0,1254| = 0,0002. Resolução: Como a f.d.p. da v.a. 𝑋 é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥, 𝑥 > 0, então 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1). Agora, a função lucro será dada por 𝐿 = {0, 𝑋 ≤ 0,9 3, 𝑋 > 0,9 . Ora, 𝐸(𝐿) = 0 × 𝑃(𝐿 = 0) + 3 × 𝑃(𝐿 = 3) = 0 × 𝑃(𝑋 ≤ 9) + 3 × 𝑃(𝑋 > 0,9) = 3 × 𝑃(𝑋 > 0,9) = 3 × 𝑒−0,9 ≅ 1,22. Logo, o lucro esperado, por item, pelo fabricante é de aproximadamente R$ 1,22. Nota: Como 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1), então 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑒−𝑥. Resolução: Seja 𝑋 a v.a. que representa a quantidade de chuva anual em uma certa região, onde 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 = 40; 𝜎2 = 42). Portanto, segue que 𝑃(𝑋 > 50) = 𝑃 (𝑍 > 50 − 40 4 ) = 𝑃(𝑍 > 2,5) = 1 − Φ(2,5) = 0,0062. A probabilidade de registrar uma quantidade de chuva anual maior que 50 é 0,0062. Agora, seja 𝑌: o número de anos para se registrar uma quantidade de chuva anual maior que 50. Logo, teremos que 𝑌 ~ 𝐺𝑒𝑜(0,0062), ou seja, 𝑃(𝑌 = 𝑦) = 0,0062(1 − 0,0062)𝑦−1 = 0,0062 × 0,9938𝑦−1, 𝑦 = 1,2, … Portanto, 𝑃(𝑌 > 10) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 10) = 1 − ∑ 0,0062 × 0,9938𝑦−1 10 𝑦=1 = 1 − 0,0062 0,9938 ∑ 0,9938𝑦 10 𝑦=1 = 1 − 0,0062 0,9938 × 9,6653 = 0,9397. Isto é, a probabilidade de que serão necessários mais do que 10 anos para se registrar uma quantidade de chuva anual maior que 50 é igual a 0,9397. As suposições são que a quantidade de chuva anual é independente em cada ano de medição. Resolução: (𝑎) Seja 𝑋 a v.a. que representa o tempo de funcionando do componente; como 𝑓(𝑥) = 1 5 𝑒− 1 5𝑥, 𝑥 > 0; então temos que 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1/5). Portanto, a probabilidade de um componente funcionar por mais de 5 horas é dada por 𝑃(𝑋 > 5) = 𝑒− 1 5×5 = 𝑒−1. Nota: Como 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1/5), então 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑒−𝑥/5. Agora, definindo 𝑌 como o número de componentes, dentre os 5, que funcionam por mais de 5 horas, e assumindo independência entre o tempo de funcionamento para cada componente, teremos que 𝑌 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(5, 𝑒−1). Como a máquina funciona se pelo menos três componentes funcionarem, então segue que 𝑃(𝑌 ≥ 3) = ∑ (5 𝑦) 5 𝑦=3 𝑒−𝑦(1 − 𝑒−1)5−𝑦 ≅ 0,2636. Isto é, a probabilidade de que a máquina funcione por mais de 5 horas é 0,2636. (𝑏) A probabilidade de um componente funcionar por mais de 10 horas é dada por 𝑃(𝑋 > 10) = 𝑒−1 5×10 = 𝑒−2. Agora, definindo 𝑌 como o número de componentes, dentre os 5, que funcionam por mais de 10 horas, e assumindo independência entre o tempo de funcionamento para cada componente, teremos que 𝑌 ~ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(5, 𝑒−2). Logo, 𝐸(𝑌) = 5 × 𝑒−2 ≅ 0,6767 ≈ 1. Isto é, o número médio de componentes funcionando dez horas após a máquina ser ligada é de aproximadamente igual a 1. Resolução: Ora, 𝑃(𝑋 > 𝑡) = ∫ 𝑓(𝑥) ∞ 𝑡 𝑑𝑥, para 𝑡 > 0, já que 𝑋 é uma v.a. não-negativa. Assim, ∫ 𝑃(𝑋 > 𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥) ∞ 𝑡 𝑑𝑥) ∞ 0 𝑑𝑡; fazendo a mudança de ordem na integração, teremos que 𝑥 > 𝑡 > 0 ⟹ 0 < 𝑡 < 𝑥 ⟹ ∫ 𝑃(𝑋 > 𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑑𝑡) ∞ 0 𝑑𝑥 = ∫ (∫ 𝑑𝑡 𝑥 0 ) ∞ 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ∞ 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸(𝑋). Nota: ∫ 𝑑𝑡 𝑥 0 = 𝑡|0 𝑥 = 𝑥 − 0 = 𝑥. Logo, conclui-se que 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑃(𝑋 > 𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡; ou, equivalentemente, 𝐸(𝑋) = ∫ [1 − 𝐹(𝑥)] ∞ 0 𝑑𝑡, onde 𝐹(𝑥) é a função distribuição da variável 𝑋, dada por 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑥 0 𝑑𝑡. Resolução: Devemos lembrar que: 𝐸(𝑋𝑛) = ∫ 𝑥𝑛𝑓𝑋(𝑥) ∞ −∞ 𝑑𝑥 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2. Ainda, usaremos as seguintes relações: 𝐵(𝑎, 𝑏) = Γ(𝑎 + 𝑏) Γ(𝑎)Γ(𝑏) e Γ(𝜃 + 1) = 𝜃Γ(𝜃). A função Γ(⋅) é a função Gama, dada por: Γ(𝑘) = ∫ 𝑥𝑘−1𝑒−𝑥 ∞ 0 𝑑𝑥, 𝑘 > 0. (𝑎) Tem-se 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 1 0 1 𝐵(𝛼, 𝛽) 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1𝑑𝑥 = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ∫ 𝑥𝛼+1−1(1 − 𝑥)𝛽−1 1 0 𝑑𝑥 = 𝐵(𝛼 + 1, 𝛽) 𝐵(𝛼, 𝛽) = Γ(𝛼 + 1)Γ(𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 1) ⋅ Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼)Γ(𝛽) = Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 1) ⋅ Γ(𝛼 + 1) Γ(𝛼) = Γ(𝛼 + 𝛽) (𝛼 + 𝛽)Γ(𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝛼Γ(𝛼) Γ(𝛼) = 1 (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝛼 = 𝛼 𝛼 + 𝛽 . Isto é, se 𝑋 ~ 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼, 𝛽), então 𝐸(𝑋) = 𝛼 𝛼+𝛽. Agora, temos 𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2 1 0 1 𝐵(𝛼, 𝛽) 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1𝑑𝑥 = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ∫ 𝑥𝛼+2−1(1 − 𝑥)𝛽−1 1 0 𝑑𝑥 = 𝐵(𝛼 + 2, 𝛽) 𝐵(𝛼, 𝛽) = Γ(𝛼 + 2)Γ(𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 2) ⋅ Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼)Γ(𝛽) = Γ(𝛼 + 𝛽) Γ(𝛼 + 𝛽 + 2) ⋅ Γ(𝛼 + 2) Γ(𝛼) = Γ(𝛼 + 𝛽) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽)Γ(𝛼 + 𝛽) ⋅ (𝛼 + 1)𝛼Γ(𝛼) Γ(𝛼) = 1 (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) ⋅ (𝛼 + 1)𝛼 = 𝛼(𝛼 + 1) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) Logo, segue que 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼(𝛼 + 1) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) − [ 𝛼 𝛼 + 𝛽] 2 = 𝛼(𝛼 + 1) (𝛼 + 𝛽 + 1)(𝛼 + 𝛽) − 𝛼2 (𝛼 + 𝛽)2 = 𝛼 𝛼 + 𝛽 [ 𝛼 + 1 𝛼 + 𝛽 + 1 − 𝛼 𝛼 + 𝛽] = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 1)(𝛼 + 𝛽) − 𝛼(𝛼 + 𝛽 + 1) (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 1)(𝛼 + 𝛽) − 𝛼(𝛼 + 𝛽) − 𝛼 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 𝛽)[𝛼 + 1 − 𝛼] − 𝛼 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ (𝛼 + 𝛽) − 𝛼 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼 𝛼 + 𝛽 ⋅ 𝛽 (𝛼 + 𝛽)(𝛼 + 𝛽 + 1) = 𝛼𝛽 (𝛼 + 𝛽)2(𝛼 + 𝛽 + 1) . (𝑐) Temos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 [ 1 𝐵(𝛼, 𝛽) 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1] = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ⋅ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1 = 1 𝐵(𝛼, 𝛽) ⋅ [(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 + 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2(−1)] = (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 − 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2 𝐵(𝛼, 𝛽) . Agora, igualamos a zero e resolvemos para 𝑥: ⟹ (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 − 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2 𝐵(𝛼, 𝛽) = 0 ⟹ (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2(1 − 𝑥)𝛽−1 = 𝑥𝛼−1(𝛽 − 1)(1 − 𝑥)𝛽−2 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 𝑥𝛼−2 𝑥𝛼−1 ⋅ (1 − 𝑥)𝛽−1 (1 − 𝑥)𝛽−2 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 𝑥𝛼−2−𝛼+1 ⋅ (1 − 𝑥)𝛽−1−𝛽+2 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 𝑥−1 ⋅ (1 − 𝑥)1 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 ⋅ 1 − 𝑥 𝑥 = 1 ⟹ 𝛼 − 1 𝛽 − 1 (1 𝑥 − 1) = 1 ⟹ 1 𝑥 − 1 = 𝛽 − 1 𝛼 − 1 ⟹ 1 𝑥 = 𝛽 − 1 𝛼 − 1 + 1 ⟹ 1 𝑥 = 𝛽 − 1 + 𝛼 − 1 𝛼 − 1 ⟹ 1 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 − 2 𝛼 − 1 ⟹ 𝑥 = 𝛼 − 1 𝛼 + 𝛽 − 2 . Logo, para 𝑎 > 1 e 𝑏 > 1, o valor 𝑥∗ tal que 𝑓(𝑥∗) = max 0<𝑥<1 𝑓(𝑥) é dado por 𝑥∗ = 𝛼 − 1 𝛼 + 𝛽 − 2 . Resolução: Como 𝑋 ~ 𝑈(0, 1), então 𝑓𝑋(𝑥) = 1, 0 < 𝑥 < 1. Tem-se que a função 𝑔(𝑋) = 𝑌 = − log 𝑋 é estritamente crescente, então a função densidade de probabilidade de 𝑌 será dada por 𝑓𝑌(𝑦) = 𝑓𝑋(𝑔−1(𝑦)) | 𝑑 𝑑𝑦 𝑔−1(𝑦)|. Ora, 𝑔(𝑥) = 𝑦 = − log 𝑥 ⟹ 𝑔−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑒−𝑦 ⟹ 𝑓𝑋(𝑔−1(𝑦)) = 𝑓𝑋(𝑒−𝑦) = 1 ⟹ | 𝑑 𝑑𝑦 𝑔−1(𝑦)| = | 𝑑 𝑑𝑦 𝑒−𝑦| = |−𝑒−𝑦| = 𝑒−𝑦 Ainda, 0 < 𝑥 < 1 ⟹ log 𝑥 < 0 ⟹ − log 𝑥 = 𝑦 > 0. Portanto, a função densidade de probabilidade de 𝑌 = − log 𝑋 é 𝑓𝑌(𝑦) = 𝑒−𝑦, 𝑦 > 0. Isto é, para 𝑋 ~ 𝑈(0, 1), teremos que 𝑌 = − log 𝑋 ~ 𝐸𝑥𝑝(1) ∎