P2 - Probabilidade - 2022-1

PROBABILIDADE Est032 PROVA #2 JUNHO 14, 2022 NOME: Leia com cuidado cada questão da prova. Defina claramente os eventos e as variáveis aleatórias que você usa para fazer os cálculos e justifique a sua resposta para obter todos os pontos possíveis. 1. (6 pontos) O número médio de visitas a uma página da internet é igual a 3 por minuto. Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que ocorram pelo menos 2 visitas durante os próximos 60 segundos. Que aproximação você usa para determinar essa probabilidade? Explique. 2. (15 pontos) Considere uma urna contendo 10 bolas, das quais 4 são brancas, 2 são pretas e outras são amarelas. (a) (10 pontos) Uma bola é retirada da urna aleatoriamente e então recolocada na urna antes que outra bola seja retirada. Este processo segue indefinidamente. Seja X o número de vezes que uma bola branca é selecionada nas primeiras 200 retiradas. Determine a função de probabilidade da variável aleatória X. Obtenha uma aproximação para P(X ≥ 75). Que aproximação você usa para determinar essa probabilidade? Explique. (b) (5 pontos) Retiramos aleatoriamente 3 bolas da urna. Se uma delas é branca e duas são pretas paramos. Do contrário, repomos as bolas na urna e novamente retiramos aleatoriamente 3 bolas. Esse processo continua até que das 3 bolas retiradas uma seja branca e duas sejam pretas. Qual é a probabilidade de que sejam necessárias exatamente 7 retiradas? 3. (10 pontos) Seja X uma variável aleatória com densidade, f(x) = { Cxe^{-x} se x ≥ 0, { 0 caso contrário. (a) (2 pontos) Determine C. (b) (4 pontos) Determine P(X ≤ 1 ou ½ < X ≤ 2). (c) (4 pontos) Determine E[x].