Atividade - Resistência dos Materiais - 2023-2

Segunda Prova – RESMAT – Prova deve ser enviada por e-mail até terça-feira, dia 07/11/2023 às 23:59hs Questão 1 – 8 pontos Uma cantoneira de 150 mm x 150 mm e 20mm de espessura está sujeita a um momento fletor Mz= 11kNm no centróide da seção transversal. Determine: a) as tensões normais nos pontos ‘A’ e ‘B’ da seção transversal; b) Orientação do eixo neutro. Obs: Determinar a direção dos eixos principais e os momentos de inércia principais. Eixo ‘z’ – horizontal passando pelo centroide; Eixo ‘y’ – vertical passando pelo centroide. Questão 2 – 8 pontos Calcular a tensão de cisalhamento nos pontos A e B, bem como o giro da seção C. Esboçar o estado de tensões em um elemento de volume infinitesimal. Indicar claramente os eixos. Questão 3 (9 pontos) A seção transversal abaixo está sujeita ao torque Mx=1000+N in. -lb (libras força -polegada). O módulo transversal de elasticidade G = 4 x 106 psi (libras por polegada ao quadrado). As medidas da base (3 in) e altura (2 in) se referem às linhas médias com relação às espessuras. Determine: a) tensões em todos os pontos da seção transversal; b) Deformações em todos os pontos da seção transversal. Obs: N – último algarismo do número de matrícula do aluno a) \sum \bar{A} = \frac{10 \times 150 \times 20 + 85 \times 130 \times 20}{150 \times 20 + 130 \times 20} = 44,82 \text{ mm} \bar{y} = \frac{\sum \tilde{y}A}{\sum A} = \frac{75 \times 150 \times 20 + 10 \times 130 \times 20}{150 \times 20 + 130 \times 20} = 44,82 \text{ mm} I_z = \frac{1}{12} \cdot 130 \cdot (20)^3 + 130 \times 20 \cdot (44,82 - 10)^2 + \frac{1}{12} \cdot 20 \cdot 150^3 \cdot 20 \cdot 150 \cdot (75 - 44,82)^2 = 11,596 \times 10^6 \text{ mm}^4 I_y = \frac{1}{12} \cdot 150 \cdot 20^3 + 1 \cdot 150 \times 20 \cdot (44,82 - 10)^2 \cdot \frac{1}{12} (\cdot 20 \times (85 - 44,82)^2) = 11,596 \times 10^6 \text{ mm}^4 I_{yz} = 150 \times 20 \cdot (-34,82) \cdot (30,18) + 130 \cdot 20 \cdot (40,18) \cdot (-34,82) = -6,790 \times 10^6 \text{ mm}^4 I_{u,v} = \frac{I_y + I_z}{2} + \sqrt{\left( \frac{I_z - I_y}{2} \right)^2 + I_{yz}^2} I_{u,v} = 11,596 \times 10^6 \pm 6,790 \times 10^6 I_y = I_z IV = 41,806 \times 10^6 \text{ mm}^4 IV = 18,386 \times 10^6 \text{ mm}^4 \tan \Theta_m = 1 \Theta_m = 45^\circ M_c = M_0 \sin \Theta_m = 11 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5,5 \sqrt{2} \text{ kN m} M_v = M_0 \cos \Theta_m = 11 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5,5 \sqrt{2} \text{ kN m} u_B = y_0 \cos \Theta_m + z_0 \sin \Theta_m = 105,18 \cos 45^\circ - 44,82 \times \sin 45^\circ = 105,18 \frac{\sqrt{2}}{2} - 44,82 = 30,18 \sqrt{2} v_B = z_0 \cos \Theta_m - y_0 \sin \Theta_m = = -44,82 \cos 45^\circ - 105,18 \cos 45^\circ = -75 \sqrt{2} u_A = y_0 \cos \Theta_m + z_0 \sin \Theta_m = -44,82 \cos 45^\circ - 44,82 \sin 45^\circ = -44,82 \sqrt{2} v_A = z_0 \cos \Theta_m - y_0 \sin \Theta_m = = -44,82 \cos 45^\circ + 44,82 \cos 45^\circ = 0 \sigma_A = \frac{M_v v_A - M_u u_A}{I_m} = \frac{5,5 \sqrt{2} \cdot 0 - 5500 \sqrt{2} (0,04482) \sqrt{2}}{41,806 \times 10^6} - \frac{18,386 \times 10^6} \sigma_B = \frac{M_u v_B - M_v u_B}{I_m} = \frac{5500 \sqrt{2} (0,01031 \sqrt{3}) - 5500 \sqrt{2} (0,03018 \Theta)}{41,806 \times 10^6} = 26,81 \text{ MPa} \sigma_B = -171,66 - 18,06 = -189,72 \text{ MPa} b) \tan \phi = \frac{Iv}{I_u} \tan \Theta_m = \frac{18,386}{41,806} \Theta_m = 45^\circ \phi = 75,35^\circ \beta = \phi - \Theta_m = 75,35^\circ - 45^\circ = 30,35^\circ \text{ (linha neutra)} 2) Am = (0.035)(0.057) = 0.0020 m^2 Material Copper E = 38x10^9 GPa r'A = T/2tAm = 3S/(2(0.005)(0.0020)) = 1.75 MPa r'B = T/2tAm = 3S/(2(0.015)(0.0020)) = 2.92 MPa Φ = ∑ TL/4A'mG ∫ (ds/t) = 60 * 0.5/(4 * 0.0020 * (38 * 10^9)) [2(5/3) + 2(5/3)] + 35 * 1.5/(4 * 0.0020 * 38 * 10^9) [2(5/3) + 2(5/3)] = 6.29 * 10^-3 kmCI A 1.75MPa B 2.92 MPa 3) Mx = 1003 lb.fin G = 4x10^6 psi A1 = 3x2 = 6 in^2 A2 = π(0.95^2)/4 = 0.71 in^2 T = T1 + T2 = 2A1q1 + 2A2q2 1003 = 2A1q1 + 2A2q2 1003 = 12q1 + 1.42q2 q2 = (1003 - 12q1)/1.42 1/A1 ∫q1r1 (ds/t) = 1/A2 ∫q2r2 (ds/t) ∫q1r1 (ds/t) = q1(2/0.105 + 2/0.1) + 93x3 = 14q1 + 3q3 ∫q2r2 (ds/t) = q1(?) - 93x3^3 q2 = 3q3 1/l2 (14q1 + 3q3) = 1/l42 (9q2 - 3q3) 14q1/l2 + 3q3/l2 = 9q2/l42 - 3q3/l42 14q1/l2 + 3q3/l2 - 9q2/l42 + 3q3/l42 = 0 11.66q1 + 0.25q3 - 6.34q2 + 2.19q3 = 0 11.66q1 + 2.36(9q1 - q2) - 6.34(1003 - 12q1)/1.42 = 0 = 11.66q1 + 2.36(9q1 - 1003 + 12q1)/1.42 - 4478.18 + 53.58q1 = 0 87.54q1 = 6148.14 q1 = 70.23 lb/in q2 = 112.84 lb/in q3 = -43.84 lb/in T_med 1 = \frac{701,23}{0,5} = 700,23 \lbf/in^2 T_med 2 = \frac{112,84}{0,05} = 2256,8 \lbf/in^2 T_med 3 = \frac{-43,84}{0,05} = -876,8 \lbf/in^2 y_1 = \frac{701,23}{(4\times10^6)} = 175,06\times10^{-6} \text{in/in} y_2 = \frac{2256,8}{(4\times10^6)} = 564,2\times10^{-6} \text{in/in} y_3 = \frac{-876,8}{(4\times10^6)} = -219,2\times10^{-6} \text{in/in}