Aula 2 - Mudança de Sist de Coordenadas - 2024-1

1.16 - DERIVADA DE UM VETOR SEJA \vec{A}(u) UM VETOR (POSIÇÃO, VELOCIDADE OU ACELERAÇÃO) FUNÇÃO DE 1 PARÂMETRO u (EM GERAL, u = t) \vec{A}(u) = A_x(u)\hat{i} + A_y(u)\hat{j} + A_z(u)\hat{k} MANTENDO-SE O SISTEMA DE COORDENADAS FIXO, \hat{i}, \hat{j} e \hat{k} NÃO VARIAM c/ u. A DERIVADA DO VETOR \vec{A} EM RELAÇÃO AO PARÂMETRO u é \frac{d\vec{A}}{du}: \frac{d\vec{A}}{du} = \frac{dA_x}{du}\hat{i} + \frac{dA_y}{du}\hat{j} + \frac{dA_z}{du}\hat{k} A DERIVADA É UM OPERADOR LINEAR; SE α,β ∈ R E SEJAM \vec{A} e \vec{B} VETORES \frac{d}{du}(α\vec{A} + β\vec{B}) = α\frac{d\vec{A}}{du} + β\frac{d\vec{B}}{du} 1.17 - VETOR POSIÇÃO: \vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k} 1.18 - VETOR VELOCIDADE: \vec{v}(t) = \frac{dx(t)}{dt}\hat{i} + \frac{dy(t)}{dt}\hat{j} + \frac{dz(t)}{dt}\hat{k} ou \vec{v}(t) = \dot{x}(t)\hat{i} + \dot{y}(t)\hat{j} + \dot{z}(t)\hat{k} ATENÇÃO: NOTAÇÃO \frac{d}{dt} = \dot{} (ESTA NOTAÇÃO SÓ PODE SER USADA p/ DERIVADAS TEMPORAIS) MÓDULO DO VETOR VELOCIDADE |\vec{v}(t)| = v(t) = \sqrt{(\dot{x}(t))^2 + (\dot{y}(t))^2 + (\dot{z}(t))^2} 1.19 - VETOR ACELERAÇÃO \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2} \vec{a}(t) = \ddot{x}(t)\hat{i} + \ddot{y}(t)\hat{j} + \ddot{z}(t)\hat{k} Com \frac{d^2}{dt^2} = \ddot{} EXEMPLO 1: CALCULE \vec{v}(t), \vec{a}(t) e |\vec{v}(t)| p/ o MOVIMENTO DESCRITO por \vec{r}(t) = bt\hat{i} + \left(c - \frac{9.8}{2}t^2\right)\hat{j} + 0\hat{k}, COM b, c CONSTANTES. \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = b\hat{i} + \left(c - 9.8t\right)\hat{j} |\vec{v}(t)| = \sqrt{b^2 + (c - 9.8t)^2} \vec{a}(t) = -9.8\hat{j} e |\vec{a}(t)| = 9.8 EXEMPLO 2: O VETOR POSIÇÃO DE UMA PARTÍCULA é \vec{r}(t) = b\sin(ωt)\hat{i} + b\cos(ωt)\hat{j} + c\hat{k} Com b,c e ω CONSTANTES. a) MOSTRE QUE |\vec{v}(t)| = CONST. b) CALCULE \vec{v}(t) e \vec{a}(t) c) CALCULE \vec{a}(t) e a(t) e d) MOSTRE QUE OS VETORES \vec{v} e \vec{a} SÃO ORTOGONAIS a) \vec{r}(t) = \sqrt{b^2\sin^2(ωt) + b^2\cos^2(ωt) + c^2} = \sqrt{b^2+c^2} = CONST. b) \vec{v}(t) = ωb\cos(ωt)\hat{i} - ωb\sin(ωt)\hat{j} v(t) = \sqrt{ω^2b^2\cos^2(ωt) + ω^2b^2\sin^2(ωt)} = ωb = CONST. c) \vec{a}(t) = -ω^2b\sin(ωt)\hat{i} - ω^2b\cos(ωt)\hat{j} a(t) = \sqrt{ω^4b^2\sin^2(ωt) + ω^4b^2\cos^2(ωt)} = ω^2b d) SE \vec{a} \perp \vec{v}, \vec{a} \cdot \vec{v} = 0 = (-ω^2b\sin(ωt), -ω^2b\cos(ωt)) \cdot (ωb\cos(ωt), -ωb\sin(ωt)) = -ω^3b^2\cos(ωt)\sin(ωt) + ω^3b^2\sin(ωt)\cos(ωt) = 0 NOTE QUE \vec{a} \cdot \vec{v} = 0. A TRAJETÓRIA é UM CÍRCULO DE RAIO b, CONTIDO NO PLANO z = c O VETOR \vec{r}(t) é O VETOR HORIZONTAL (...) 1.20 - INTEGRAÇÃO VETORIAL SE \frac{d\vec{r}}{dt} = f(t)\hat{i} + g(t)\hat{j} + h(t)\hat{k} \Rightarrow \vec{v}_0 = \vec{v}_0 = \vec{v}_0\text{ UM VETOR CONSTANTE} d\vec{r} = (f(t)\hat{i} + g(t)\hat{j} + h(t)\hat{k})dt \int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} d\vec{r} = \int_{t=0}^{t} (f(t)\hat{i} + g(t)\hat{j} + h(t)\hat{k})dt (\vec{r}(t) - \vec{r}_0 = \int_{0}^{t} f(t)dt\hat{i} + \int_{0}^{t} g(t)dt\hat{j} + \int_{0}^{t} h(t)dt\hat{k} +\vec{r}_0 \vec{r}(t) = \int_{0}^{t} f(t)dt\hat{i} + \int_{0}^{t} g(t)dt\hat{j} + \int_{0}^{t} h(t)dt\hat{k} +\vec{r}_0 AO CONTRÁRIO DA APOSTILA, USEI AQUI INTEGRAIS DEFINIDAS, JÁ QUE A CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO \vec{r}(t=0)=\vec{r}_0 NOS FOI FORNECIDA EXEMPLO: O VETOR VELOCIDADE DE UMA PARTÍCULA EM MOVIMENTO É DADO POR \vec{v}(t) = A\hat{i} + B·t\hat{j} + \frac{C}{t}\hat{k}, COM A,B,C CONSTANTES e t \geq 1m. SE \vec{r}(1)=(5,-2,3) CALCULE \vec{r}(t). \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = A\hat{i} + B·t\hat{j} + \frac{C}{t}\hat{k} d\vec{r} = (A\hat{i} + B·t\hat{j} + \frac{C}{t}\hat{k})dt \int \vec{v}(t) = \int (A\hat{i} + B·t\hat{j} + \frac{C}{t}\hat{k})dt \vec{r}(t)|_1^t = \int_1^t A\hat{i} + B\frac{t^2}{2}\hat{j} + C·\ln t\hat{k} \vec{r}(t) - \vec{r}(1) = \vec{r}(t) - \vec{r}_0 = \int_1^t A\hat{i} + B·\frac{t^2}{2}\hat{j} + C·\ln t\hat{k} +\vec{r}_0 \vec{r}(t) = [A(t-1) + 5]\hat{i} + \left[ \frac{B}{2}(t^2-1) - 2 \right]\hat{j} + (C·\ln t + 3)\hat{k} \vec{r}(t) = A(t-1) + \frac{B}{2}(t^2-1)\hat{j} + C·\ln t\hat{k} + \vec{r}(1) \vec{r}(t) = A(t-1)\hat{i} + \frac{B}{2}(t^2-1)\hat{j} + C·\ln t\hat{k} + 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \vec{r}(t) = [A(t-1) + 5]\hat{i} + \left[ \frac{B}{2}(t^2-1) - 2 \right]\hat{j} + (C·\ln t + 3)\hat{k} VERIFICAMOS QUE \vec{r}(1) = (5,-2,3) e QUE \vec{v}(t) ESTÁ CORRETA! 1.21 - VELOCIDADE RELATIVA 2 partículas de massa m1 e m2 cujos vetores posição são, respectivamente, r1 e r2 em relação à origem. O vetor deslocamento da segunda partícula com relação à primeira é o vetor diferença que iremos chamar de r12 r12 = r2 - r1 A velocidade de 2 relativa a 1 é dr12/dt = v12 = dv2/dt - dv1/dt v12 = v2 - v1 - Observe a figura acima. Pode ser útil escrever v12 = v1 + v12 - O módulo da velocidade relativa |v12| ≠ d|r12|/dt = d|r2 - r1|/dt Exemplos 1. Uma partícula move-se ao longo do eixo x com velocidade v, sendo seu vetor posição dado por r1 = î(a + vt) onde a é uma constante. Uma segunda partícula move-se ao longo do eixo y com mesma velocidade, e seu vetor posição é r2 = ĵ(b + vt). Então a velocidade da segunda partícula em relação à primeira é v1 = dr1/dt = vî v2 = dr2/dt = vĵ v12 = v2 - v1 = v(ĵ - î) |v12| = √(v^2 + v^2) = v√2 Note que r12 = r2 - r1 = ĵ(b + vt) - î(a + vt) |r12| = √[N(a + vt)^2 + (b + vt)^2] [(a^2 + 2avt + v^2t^2) + b^2 + 2bvt + v^2t^2] d|r12|/dt = 1/2[(a^2 + b^2) + 2vt(a + b) + 2v^2t^2]^{-1/2}[2vt(a + b) + 4v^2t] d|r12|/dt = [√[2v(a + t) + 2v(b + t)]/2√[(a + vt)^2 + (b + vt)^2]] = v(a + b + 2t) ≠ |v12| LISTA 1: EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO: 1.1 - 1.4 (todos) PROBLEMAS: 1.5 - 1.16, 1.18, 1.20, 1.22 - 1.25 1.22 - DERIVADAS DE VETORES Seja n = h(k) uma função de um parâmetro k (frequentemente o tempo) e sejam A e B vetores cujas componentes também podem ser funções de k d(h.A)/dk = dh/dk * A + n dA/dt d(A.B)/dk = dA/dk * B + A dB/dt d(AxB)/dk = dA/dk x B + A x dB/dk Atenção com as ordens dos produtos vetoriais 1.23 - COMPONENTES NORMAL E TANGENCIAL DA ACELERAÇÃO O vetor velocidade v pode ser escrito como o produto de seu módulo por um vetor unitário t na direção tangencial à trajetória v = v t Usando a ideia definida na seção 1.22 d(h.A)/dk = dh/dk * A + n dA/dt a = dv/dt = d(dt/dt) + dvt/dt Esta componente é a componente tangencial da aceleração dt/dt precisamos de dT/dt p/D pequenos, então dT/dp = n Mas precisamos de dT/dt! Regra da cadeia dT/dt = n p^. Comprimento de arco s = p phi p^ = phi .p v = phi .p Exemplo: Um carro de corrida move-se em torno de uma pista circular de raio p = 90m, Fig. 12-28. Se o carro aumenta a sua velocidade escalara a uma razão constante de 2,1m/s^2, partindo do repouso, determine o tempo necessário para ele alcançar uma aceleração de 2g m/s^2 Intensidade da aceleração a = √(a_t^2 + a_n^2) c/ a_t = 2,1 m/s^2 = constante a_n = v^2/p => v(p + w .t) Portanto a_n = (2,1*t)^2/p a = √(a_t^2 + a_n^2) 2g = √(2,1^2 + 0,049.t^2)^2 2g^2 = 2,1 + 0,049.t^2)^2 0,049.t^2 = 2g^2 - 2,1^2 t = 4,38s v(4,38) = 2,1*4,38 = 10,2m/s