P2 - Fundamentos de Mecânica - 2023-2

b) Ki + U(1) = U(0,5) U(1) = \frac{\alpha 1^2}{2} + \frac{\beta 1^3}{3} = \frac{60}{2} + \frac{18}{3} = 36.5 U(0,5) = \frac{\alpha (0.5)^2}{2} + \frac{\beta (0.5)^3}{3} = \frac{60.0.5^2}{2} + \frac{18.0.5^3}{3} = 8.25 Ki = E_{ini} - U(1) Ki = 36 - 36 Ki = 0 U(0,5) = \frac{1}{2} m U^2 U^2 = \frac{2}{m} U(0,5) V = \sqrt{\frac{2}{m} U(0,5)} V = \sqrt{\frac{2}{0,9} . 8,25} V = 4,128 m/s FIS 065 - Fundamentos de Mecanica Segunda Prova - 2023/2 Nome: Turma: TM2 Data: 06.11.2023 Questao 1 (10 pontos) Um protons com massa igual a 1.67 x 10^{-27} kg e impulsionado com uma velocidade inicial de 3 x 10^7 m/s diretamente contra um nucleo de uranio situado a uma distancia de 5 m. O proton e repelido pelo nucleo de uranio com uma forca de modulo F = \alpha/x^2, onde x e a distancia entre as duas particulas e \alpha = 2.12 x 10^{-26} Nm^2. Suponha que o nucleo de uranio permaneça em repouso. a) (4 pontos) Qual e a velocidade do proton quando ele esta a uma distancia de 8 x 10^{-10} m do nucleo de uranio? b) (4 pontos) A medida que o proton se aproxima do nucleo de uranio, a forca de repulsao faz sua velocidade diminuir ate ficar momentaneamente em repouso, depois passando a se afastar do nucleo de uranio. Qual e a distancia minima entre o proton e o nucleo de uranio? c) (2 pontos) Qual e a distancia do proton quando ele esta novamente a uma distancia de 5 m do nucleo de uranio? Questao 2 (10 pontos) Uma certa mola nao obedece a lei de Hooke; ao ser comprimida ou esticada, ela exerce uma forca restauradora com modulo F_z(x) = -\alpha x - \beta x^2, onde \alpha = 60 N/m e \beta = 18 N/m^2. A massa da mola e desprezivel. a) (5 pontos) Calcule a funcao da energia potencial U(x) dessa mola. Considere U = 0 para x = 0. b) (5 pontos) Um objeto de massa igual a 0.9kg apoiado em uma superficie horizontal sem atrito esta preso a essa mola, sendo puxado para a direita (no sentido +x), esticando a mola ate uma distancia de 1 m, e a seguir e liberado. Qual e a velocidade do objeto no ponto situado a 0.5 m a direita do ponto de equilibrio x = 0? Questao 3 (15 pontos) Duas massas identicas sao liberadas do repouso em um recipiente hemisferico liso e raio R, a partir da posicao indicada na figura abaixo. Despreze o atrito entre as massas e a superficie do recipiente. a) (5 pontos) Qual e o modulo da velocidade da massa que escorrega pelo recipiente pouco antes de atingir a outra massa? b) (5 pontos) Se elas colarem ao colidir, qual e o modulo da velocidade com que elas passam a se mover? c) (5 pontos) Que altura acima da parte inferior do recipiente as massas atingirao apos a colisao? Boa prova! :) Formulario: Trabalho, Energia Cinetica e Potencia: W = \vec{F} . \vec{d} (\vec{F} constante), W = \int \vec{F} . d\vec{r}, K = \frac{1}{2}mv^2, W_{tot} = \Delta K, P = \frac{dW}{dt}, P = \vec{F} . \vec{v}, Energia Potencial, Conservacao da Energia e Forca Conservativa: U_g = mgy, U_e = \frac{1}{2}kx^2, W_{cons} = -\Delta U, K_i + U_i + W_{outra} = K_f + U_f, F_z = \frac{dU}{dz}, \vec{F} = \nabla U, Momento Linear, Impulso e Conservacao do Momento Linear: \vec{p} = \int \Sigma \vec{F}dt, \vec{J} = \Delta \vec{p}, \vec{P} = \Sigma \vec{p}_i, \frac{d\vec{P}}{dt} = 0 ⇒ \vec{P}_i = \vec{P}_f (quando \Sigma \vec{F}_{ext} = 0), Colisao Completamente Inelastica: \vec{v}_f = \frac{m_A\vec{u}_{Ai}+m_B\vec{u}_{Bi}}{m_A+m_B}, m_A+m_B Colisao Elastica, 1D, com v_{Bi} = 0: \vec{u}_{BF} = \frac{2m_A}{m_A+m_B}\vec{u}_{Ai}, \vec{u}_{AF} = \frac{m_A-m_B}{m_A+m_B}\vec{u}_{Ai}, Centro de Massa: \vec{r}_{CM} = \frac{1}{M}\int\vec{r}dm ⇒ \vec{P} = M\vec{v}_{CM}, \Sigma \vec{F}_{ext} ⇒ \Sigma F_{ext} = M\frac{d\vec{v}_{CM}}{dt}, Velocidade Relativa: \vec{u}_{A=ref1} = \vec{u}_{A=ref2} + \vec{v}_{ref2}→ref1, Aceleracao centripeta: a_c = \frac{v^2}{r} a) U(x) = -∫F(x)dx ; F(x) = -αx - βx^2 U(x) = -∫(-αx - βx^2)dx U(x) = ∫(αx + βx^2)dx U(x) = \frac{αx^2}{2} + \frac{βx^3}{3} + C como U(0) = 0 U(0) = \frac{α0^2}{2} + \frac{β0^3}{3} + C → U(0) = C → C = 0 U(x) = \frac{αx^2}{2} + \frac{βx^3}{3} c) E_{final} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{α}{x} ; E_{final} = E_{inicial} E_{final} = 7,517x10^{-17} J \frac{1}{2}mv^2 = E_{final} - \frac{α}{x} v^2 = \frac{2}{m} \left( E_{final} - \frac{α}{x} \right) v = \sqrt{\frac{2}{m} \left( E_{final} - \frac{α}{x} \right)} v = \sqrt{\frac{2}{4,67x10^{-27}} \left( 7,517x10^{-17} - \frac{2,12x10^{-26}}{5} \right)} v ≈ 4,73x10^5 m/s. b) E_{final} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{α}{x_{min}} \frac{α}{x_{min}} = \frac{1}{2}mv_0^2 2α = x_{min} \cdot m v_0^2 x_{min} = \frac{2α}{m v_0^2} x_{min} = \frac{2 \cdot 2,12x10^{-26}}{1,67x10^{-27} \cdot (3x10^5)^2} x_{min} ≈ 2,82x10^{-10} m. v = sqrt(2 / 1,67 x 10^-27 [7,515 x 10^-17 - 2,162 x 10^-26 / 8 x 10^-10]) v ≈ 2,41 x 10^5 m/s. F = K + U K = 1/2 mv^2 U = -∫F dx , F = α/x^2 = αx^-2 U = -∫αx^-2 dx U = -αx^-1/-1 = αx^-1 = α/x Efinal = 1/2 mv^2 Efinal = 1/2 * 1,67 x 10^-27 (3 x 10^5)^2 Efinal = 7,515 x 10^-17 Efinal = 1/2 mv^2 + α/x ; Efinal = Einicial Efinal = 1/2 mv^2 + α/x 1/2 mv^2 = Einicial - α/x v^2 = 2/m [Einicial - α/x] v = sqrt(2/m [Einicial - α/x])