Lista 4 - Fundamentos de Mecânica - 2024-1

Lista 4 1. Prove que o campo de forças 𝐹⃗ = (𝑦, −𝑥, 0) não é conservativo por duas maneiras: a) por meio do rotacional de 𝐹⃗. b) Tente calcular uma função potencial 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) e observe as impossibilidades que aparecem. 2. Um campo de forças é dado por 𝐹⃗ = (𝑥 − ⅇ−𝑥−𝑦−𝑧, 𝑦 − ⅇ −𝑥−𝑦−𝑧, 𝑧 − ⅇ−𝑥−𝑦−𝑧). Determine se ele é conservativo e, caso afirmativo encontre a função potencial 𝑉(𝑥, 𝑦,𝑧). 3. Uma função potencial é dada por: 𝑉(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥ⅇ−𝑧 + 𝑦ⅇ−𝑥 + 𝑧ⅇ−𝑦 − 𝜋. Determine o campo de forças associado a este potencial. 4. Uma força de atrito 𝐹⃗at sempre aponta na direção oposta ao deslocamento infinitesimal dr. Mostre que esse tipo de força não pode ser conservativo. 5. Mostre que, no caso de amortecimento superamortecido (c > ccr), com ccr o amortecimento crítico, um corpo nunca passa pela sua posição de equilíbrio O a) se ele é liberado sem velocidade inicial de uma posição arbitrária, ou b) se ele parte de O com uma velocidade inicial arbitrária. 6. Determine as soluções para o sistema massa-mola-amortecedor para: a) m = 1kg, c = 30Ns/m e k = 200N/m. b) m = 1kg, c = 40Ns/m e k = 400N/m. c) m = 1kg, c = 20Ns/m e k = 500N/m. 7. No caso de amortecimento subamortecido, os deslocamentos x1, x2, x3 mostrados na Fig. 19.11 podem ser considerados iguais aos deslocamentos máximos. Mostre que a razão de dois deslocamentos máximos sucessivos xn e xn+1 é constante e que o logaritmo natural dessa razão, chamado de decremento logarítmico, é 8. Uma partícula de carga q está em uma região onde há um campo elétrico e um campo magnético. O campo elétrico uniforme e constante é dado por 𝐸⃗⃗ = 𝐸𝑥𝑖̂ + 𝐸𝑦𝑗̂ e o campo magnético, também uniforme e constante é dado por: 𝐵⃗⃗ = 𝐵𝑘̂. Determine as equações de movimento, se a partícula sai do repouso da origem. 9. Um vagão de trem carregado de massa 15.000 kg está circulando a uma velocidade constante v0, quando é acoplado com uma mola e um sistema amortecedor (Fig. 1). O registro da curva deslocamento- -tempo do vagão de trem carregado é mostrado (Fig. 2). Determine (a) a constante de amortecimento, (b) a constante da mola. (Dica: Use a definição de decremento logarítmico dado no problema 6.) 10. Uma conta representada na figura como “C” é um ponto material e está livre para deslizar sem atrito por um fio retilíneo perfeitamente liso colocado entre os pontos “A” e “B”, fixados em uma circunferência metálica colocada na vertical em relação ao piso, (a circunferência tem centro “E” e raio igual a R), que está presa no chão no ponto D, conforme mostra a figura. O diâmetro AD é ortogonal ao piso e o ângulo que a corda AB faz com o diâmetro AD é 𝛼. Considere o módulo da gravidade igual a g. Se a conta cai do repouso do ponto “A”, que é o ponto mais alto da circunferência, qual o tempo total 𝑡𝐴𝐵, em segundos, que a conta leva para chegar ao ponto B? Despreze a resistência do ar. 11. Um pequeno bloco, (considere-o como uma partícula de massa 𝑚), desliza sem rolar por um plano AB inclinado de um ângulo 𝛽. Se ela parte do repouso do topo do plano inclinado (ponto A), marque a alternativa que determina o tempo 𝜏 que a partícula leva para chegar no ponto mais baixo do plano, ponto B. Considere o plano inclinado sem atrito, o módulo da gravidade como 𝑔 e despreze também o atrito com o ar. O comprimento AB do plano inclinado é 𝑙. Faça a mesma conta se agora há um coeficiente de atrito cinético μ entre o bloco e o plano inclinado. 12. As massas 𝑚1 e 𝑚2, estão localizadas em planos inclinados, perfeitamente lisos, com inclinações iguais a 𝛽1 e 𝛽2, respectivamente e são conectadas por um fio inextensível e de massa negligenciável que passa por um suporte liso R, conforme mostra a figura. Desprezando-se todos os atritos (inclusive o atrito com o ar), determine a aceleração 𝑎 do conjunto. Considere 𝑚1 < 𝑚2. 13. Uma escada AB de comprimento a descansa sobre uma parede vertical AO. O pé B da escada é puxado para fora com velocidade constante v0. a) mostre que o ponto médio da escada descreve um arco de circunferência de raio a/2 e com centro em O. b) ache a velocidade e o seu módulo, no instante em que B esteja a uma distância b < a da parede. 14. Uma massa m está localizada na origem em um fio parabólico com seu eixo na vertical e sem atrito. Se 𝑦 = 𝑎𝑥2, com 𝑎 > 0 e constante, for a equação da parábola, determine a altura máxima que uma conta pode subir sem atrito, se ela parte da origem com velocidade inicial igual a 𝑣0. 15. Uma massa pontual desliza para baixo em um plano inclinado áspero (coeficiente de atrito μ) a partir de um ponto A com velocidade inicial zero. O plano transita suavemente (com a mesma tangente) para uma pista circular sem atrito. A que altura h acima do vértice B da pista circular a massa deve começar para permanecer na pista em B? Se o atrito fosse nulo, qual seria esse valor de h? 16. Uma bola é lançada para cima com velocidade 𝑣, de uma altura h acima do solo. Mostre que o tempo que a bola leva para atingir o solo é 𝑡 = 𝑣 𝑔 (1 + √1 + 2ℎ𝑔 𝑣2 ). 17. Um plano inclinado faz um ângulo 𝛼 com a horizontal. Uma canaleta lisa AO é posicionada em cima do plano e faz um ângulo 𝛽 com a horizontal, conforme mostrado na figura. Um disco liso D pode descer sob a influência da gravidade pela canaleta. Se o disco é solto no ponto (𝑥0,𝑦0), encontre: a) A aceleração do disco. b) o tempo que o disco leva para atingir a origem O.