Aula 3 - Fundamentos de Mecânica - 2024-1

AULA 3 - MECÂNICA FUNDAMENTAL Figura 1.22: Deslocamento produzido por uma rotação. O raio da trajetória circular é r sen θ. PARTÍCULA CUJO VETOR INICIAL r^\nSOBRE UM DESLOCAMENTO ANGULAR\nδϕ EM TORNO DE UM EIXO DEFINIDO\nPOR UM UNITÁRIO ê^. A PARTÍCULA SE MOVE AO LONGO\nDE UM CÍRCULO DE RAIO rSENO COM θ O ÂNGULO ENTRE ê^ e r^\n δr^ = δϕ ê^ x r^ ṙ = lim δr^\nδt0 δt = lim δϕ ê^ x r^\nδt0 δt = ϕ ̂ ê^ x r^ VAMOS INTRODUZIR ω^ = ẋ i ̂ ṙ = ω^ x r^\n PROBLEMA 1.15: UMA PARTÍCULA MOVE-SE NUMA ELIPSE DADA POR\n r^(t) = b \cos(ωt) î + 2b \sin(ωt) ĵ\n ṙ^(t) = -bω \sin(ωt) î + 2bω \cos(ωt) ĵ\n ṙ(t) = \sqrt(b^2ω^2\sin^2(ωt) + 4ω^2\cos^2(ωt))\nv(t) = bω \sqrt(1 - \cos^2(ωt) + 4\cos^2(ωt)) v(t) = bω \sqrt(1 + 3\cos^2(ωt)) 1.16 - \overrightarrow{a}(t) = \frac{dṙ^}{dt} = -bω^2\cos(ωt) î - 2bω^2\sin(ωt) ĵ = -ω^2 \overrightarrow{r}(t) a(t) = \sqrt{b^2ω^2\cos^2(ωt) + 4ω^2\sin^2(ωt)) = bω^2 \sqrt(1 - \sin{^2}(ωt) + 4\sin^2(ωt)) a(t) = bω^2 \sqrt(1 + 3\sin^2(ωt)) v( t = \frac{π}{4ω} ) = bω\sqrt{1 + 3\cos^2(ωt)} = bω\sqrt{1 + 3\cos^2(ω\frac{π}{4ω})} = bω \sqrt{1 + 3(\frac{\sqrt2}{2})^2} v( t = \frac{π}{4ω} ) = bω \sqrt{\frac{5}{2}} e a( t = \frac{π}{4ω} ) = 6bω^2 \sqrt{\frac{5}{2}} CAPÍTULO 2 - MECÂNICA NEWTONIANA - MOVIMENTO RETILÍNEO DE UMA\nPARTÍCULA - DINÂMICA É A PARTE DA FÍSICA QUE SE OCUPA C/AS CAUSAS DOS MOVIMENTOS - DENTRE TODOS OS MOVIMENTOS POSSÍVEIS DE UM SISTEMA, QUAL O MOVIMENTO\nQUE OCORRERÁ? 2.1 As Leis de Newton do Movimento o leitor, sem dúvida, já está familiarizado com as leis de Newton do movimento. Elas são\nas seguintes: I - Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme a\nnão ser que seja obrigado, por uma força, a mudar tal estado. II - Mudança de movimento é proporcional à força aplicada e ocorre na direção da força. III - A cada ação corresponde sempre uma reação em sentido oposto, ou seja, as ações\nmútuas de dois corpos são sempre iguais, em módulo, e com sentidos opostos.\n 2ª LEI: \overrightarrow{F} = m \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} \n 3ª LEI: CARACTERÍSTICAS DO PAR AÇÃO REAÇÃO: 1. SÃO DE MESMA NATUREZA\n2. SÃO SIMULTÂNEAS\n3. ATUAM EM CORPOS DIFERENTES\n 1ª LEI DE NEWTON E OS REFERENCIAIS INERCIAIS\n- A 1ª LEI DESCREVE UMA PROPRIEDADE COMUM A TODA MATÉRIA: A INÉRCIA! - ELA AFIRMA QUE UM CORPO EM MOVIMENTO DESCREVE UMA TRAJETÓRIA\nREILÍNEA COM VELOCIDADE CONSTANTE, A MENOS QUE ALGUMA INFLUÊNCIA\nCHAMADA DE FORÇA QUE O IMPEÇA DE FAZÊ-LO. - A 1ª LEI NÃO E UM CASO ESPECIAL DA 2ª LEI. ELA NOS DIZ QUE\nO FATO DE UM CORPO SE MOVER OU NÃO EM MRU DEPENDE NÃO\nSOMENTE DE INFLUÊNCIAS EXTERNAS (FORÇAS), MAS TAMBÉM DO\nSISTEMA DE COORDENADAS.\n - TAL LEI NOS LEVA À DEFINIÇÃO DE UM SISTEMA DE COORDENADAS\nDENOMINADO DE SISTEMA DE COORDENADAS INERCIAL.\n - UM SISTEMA É INERCIAL QUANDO AS LEIS DE NEWTON VALEM 2.3 - MASSA E FORÇA - 2ª & 3ª LEIS DE NEWTON SE MEDIRMOS AS ACELERAÇÕES DE 1 E 2\nEM RELAÇÃO A UM SISTEMA DE COORDENADAS\nINERCIAL \overrightarrow{a}_2 = - \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2} \mu_{21} Com µ21 é a medida da inércia de 2\n EM RELAÇÃO A 1. PODEMOS ESCREVER\n \mu_{21} = \frac{m_2}{m_1} COM m1 A "MASSA" \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = - \frac{d^2\overrightarrow{r}m_2}{dt} = -m_2 \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt} m1 \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt} = -m_2 \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt} ESTA GRANDEZA DEFINIDA ACIMA É A "MUDANÇA DO MOVIMENTO"\n DEFINIDA NA 2ª LEI. LOGO, \overrightarrow{F} = k.m \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt} PODEMOS DEFINIR UMA UNIDADE DE MEDIDA CUJO K=1 E, PELA LINEARIDADE DO OPERADOR DE DERIVADA \overrightarrow{F} = m \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\overrightarrow{r}) p/ v << 3x10^8m/s, m = constante m1 \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt} = -m_2 \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt} \Rightarrow \overrightarrow{F}_1 = -\overrightarrow{F}_2 2.4 - VETOR MOMENTO LINEAR \overrightarrow{p} = m\overrightarrow{v} 2ª LEI DE NEWTON\n \overrightarrow{F} = \frac{d\overrightarrow{p}}{dt} A 3ª LEI DE NEWTON PODE SER EXPRESSA POR: \overrightarrow{F}_1 = - \overrightarrow{F}_2 F_1 = -F_2 \frac{dp_1}{dt} = -\frac{dp_2}{dt} ou \frac{d}{dt}(\vec{p_1} + \vec{p_2}) = 0, ou \vec{p_1} + \vec{p_2} = constante LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR A conservação do momentum linear de dois corpos que interagem é um caso especial de uma regra mais geral, a saber: o momentum linear de qualquer sistema isolado permanece constante no tempo. Discutiremos detalhadamente esta regra mais tarde. Ela é conhecida como a lei de conservação do momentum linear e é uma das leis mais básicas da física. 2.5 - MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA - QUANDO UMA PARTÍCULA ESTIVER SOB A INFLUÊNCIA DE MAIS DE UMA FORÇA \vec{F}_{result.} = \sum_i \vec{F_i} = m \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = m\vec{a} p/m = const. 2.6 - MOVIMENTO RE(ÎLÍNEO) UNIFORMEMENTE VARIADO - MRUV \vec{F} = constante => \vec{a} = const., (1D) \begin{cases} a(t) = a \ nu(t) = u_0 + a \cdot t \Delta x = u_0 \cdot t + \frac{a t^2}{2} u^2 = u_0^2 + 2a\Delta x \\ QUEDA LIVRE \begin{cases} a(t) = -g u(t) = u_0 - g t \Delta y = u_0 \cdot t - \frac{g t^2}{2} u^2 = u_0^2 - 2g \Delta y \\ \end{cases} \end{cases} EXEMPLO Exemplo Considere uma partícula que escorrega para baixo num plano liso inclinado de um ângulo \theta em relação à horizontal como ilustrado na Figura 2.1(a). Colocamos o eixo x na direção paralela ao plano inclinado e o orientamos positivamente para baixo, como indicado. Figura 2.1: Uma partícula deslizando para baixo em um plano inclinado (a) liso; (b) com atrito. (a) s/ Atrito: a_{sl} = \frac{F_{res}}{m} = \frac{mg \sin\theta}{m} \Rightarrow a_{sl} = g\sin\theta (b) c/ Atrito: F_at = \mu N = \mu mg \cos\theta a = \frac{F_{res}}{m} = \frac{mg \sin\theta - \mu mg \cos\theta}{m} => a_{cl} = g(\sin\theta - \mu \cos\theta) 2.7 - O CONCEITO DE ENERGIA CINÉTICA E POTENCIAL - EM MUITOS CASOS A FORÇA DEPENDE DA POSIÇÃO DE UM CORPO EM RELAÇÃO A OUTROS CORPOS - FORÇAS ELETROSTÁTICAS, GRAVITACIONAIS, TENSÕES ELÁSTICAS \vec{F}(x) = m\ddot{x} REGRAS DA CADEIA \dot{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \dot{x} = \frac{\dot{x}dv}{dx} \cdot x F(x) = m \cdot \frac{\dot{x} dv}{dx} = \frac{m}{2} \frac{d(v^2)}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{m v^2}{2}) = \frac{dT}{dx} ONDE \ T = \frac{1}{2} m v^2 é a energia cinética da partícula PODEMOS ESCREVER A EQUAÇÃO ACIMA NA FORMA INTEGRAL F(x).dx = dT \int F(x)dx = \int dT (T.EOREMA TRABALHO TOTAL/ENERGIA CINÉTICA) \int F(x)dx = T + constante VAMOS DEFINIR UMA FUNÇÃO V(x) DENOMINADA DE ENERGIA POTENCIAL F(x) = -\frac{dV}{dx} \int F(x)dx = \int -\frac{dV}{dx} dx \int F(x)dx = -V(x) + constante CONSEQUENTEMENTE T + V = \frac{1}{2} m v^2 + V(x) = E (constante) CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA e \ E \ E \ L \ R \ \ ENERGIA \ TOTAL e \ E NoE \ L F \2\ -\> T \OVE VEMOS QUE A CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA SÓ OCORRE/ P\ FORÇAS CONSERVATIVAS ] ----------------------------------- Figura 2.2: Gráfico da função energia potencial mostrando a região permitida e os pontos de retorno do movimento para um dado valor da energia total \ E \ 1/2 m v^2 + V(x) = E v^2 = \frac{2}{m} [E - V(x)] v = \pm \sqrt{\frac{2}{m} [E - V(x)]} que pode ser escrita na forma integral \frac{d x}{d t} = \pm \sqrt{\frac{2}{m} [E - V(x)]} \frac{\pm dx}{\sqrt{\frac{2}{m} [E - V(x)]}} = dt \int \frac{\pm dx}{\sqrt{\frac{2}{m} [E - V(x)]}} = t * v \neq 0 somente p/ valores de x tais que V(x) \leq E * v = 0 nos pontos x em que V(x) = E. Nestes pontos, a partícula para e inverte o seu movimento nesses pontos.