Gabarito P2 - Fundamentos de Mecânica 2011-1

GABARITO DA 22 PROVA DE FUNDAMENTOS DE MECANICA - 28/05/2011 - 10:15-12:15 Parte A - Questées (40 pontos; 10 pontos por questao): Diante de cada questao, afirme se é verdadeira ou falsa, ou responda o que se pede, justificando suas respostas em todas elas. Q1. O principio do Trabalho e Energia Cinética sé pode ser aplicado no caso de forcgas conservativas. A afirmativa esté INCORRETA. O principio do Trabalho e Energia Cinética refere-se ao trabalho TOTAL que é realizado sobre uma particula, ou seja, ao trabalho da forga RESULTANTE. Todas as forcas que atuam sobre a particula tém que ser somadas para se encontrar a forca resultante, nio importando se elas so conservativas ou nao. O principio vale para TODAS as forcas que atuam na particula, néo importa quais sejam. Q2. Dois objetos de massas diferentes estaéo conectados por uma mola ideal comprimida. O conjunto é lancado verticalmente. No ponto mais alto da trajetéria a mola se solta, o que faz com que um dos objetos seja projetado para um ponto ainda mais alto no ar. Imediatamente apds a liberacéo da mola, o centro de massa desse conjunto esta: (a) movendo-se para cima e acelerado para cima? (b) movendo-se para cima, mas acelerado para baixo? (c) movendo-se para baixo mas acelerado para cima? (d) movendo-se para baixo e acelerado para baixo? (e) parado, mas acelerado para cima? ou (f) parado, mas acelerado para baixo? Durante todo o processo (langamento para cima, subida, mola se soltando, descida) a tinica forca externa que atua no sistema é a gravidade. Portanto, em todos os instantes desse movimento, a aceleracéo do centro de massa do sistema sera para baixo. O enunciado da questao diz que a mola se solta no ponto mais alto da trajetéria, no qual o sistema esté momentaneamente parado (senao ainda subiria mais ou ja estaria abaixo do ponto, descendo). Entao, imediatamente apdés a mola ter se soltado, o centro de massa do sistema esté parado, mas acelerado para baixo. Q3. Uma espagonave com velocidade Vo vai se conectar a outra espaconave que esta parada. Sabendo que seus foguetes ejetam gas sempre com velocidade v,.3=u=10Vo, qual fragao de combustivel em relagdo & massa inicial deve ser utilizado? Ignore a gravidade. A equag&o que rege 0 movimento de corpos que variam de massa é dada por mee + Ms dt — “ext dt Vrel; onde M éa massa do corpo num determinado instante, d@/dt sua aceleracao, Pht a forca externa que atua nele, dM//dt a taxa de perda (se negativa, ou ganho, se positiva) de massa e, Ue) a velocidade relativa com que essa massa sai (se hd perda de massa, ou entra, se ha ganho) dele. Ignorando a gravidade, a forca externa serd nula. A velocidade relativa com que os gases saem foi dada (vye1=10Vo). Manipulando a equacao, e fazendo F4=0, temos vs=0 My du = “10% e, integrando, / dv = vz —v; =0— Vo = 10V / ~ = 10Vo ln ae vi=Vo Mi onde M; e My sao as massas inicial e final do foguete. Entao, simplificando, My; _ 1 (a*)- (1-52) =-2 In — = -— ou In | ————— } = ]In/1- ——]}] =-—, M; 10 M; M; 10 1 AM _ 1 AM _ i 1 ~~ oP (-3) ; ou Ms — exp (-3): Q4. Uma particula estd sujeita a se mover em um campo V(x): de forcas unidimensional, oriundo do potencial re- oe By lativo & figura ao lado. ot fo Q4.a— Quais sao os pontos de equilibrio possiveis (pode Aan oo Es oN mostrar na figura)? Discuta a estabilidade dos } equilibrios. 1 X; X3 R Q4.b— Qual(is) é(sao) 0(s) ponto(s) onde a forga exer- Soe fon cida sobre a particula passa por um maximo (em ! médulo)? ALS Q4.c— Quais sAo os movimentos possiveis de uma par- EG ticula de energia Fi, E2, E3 ou E4, respectiva- mente? Q4.a— A forca se relaciona com sua energia potencial associada por P= _aV(e) dx Os pontos de equilibrio sio pontos onde a forca é nula. Entdo, os pontos X,, X_ e X3, marcados em azul no grafico anterior, sio pontos onde dV (x)/da é zero. Os pontos X, e X3 so tais que, se 0 corpo sofrer um pequeno deslocamento, a forca do potencial vai afasté-lo mais ainda do ponto de equilibrio. Sao, portanto, pontos de equilibrio instavel. Ja o ponto X2 é um ponto de equilfbrio estavel, pois se o corpo estiver parado em X2 e for deslocado um pouco dessa posicéo, a forca faz com que ele volte para X2. Q4.b— Ainda usando a relacdo entre a forca e o potencial, a forca sera) maxima onde a derivada do potencial for maxima. Esses pontos, X4 e X5 estéo marcados em vermelho na figura anterior. Q4.c— A energia mecdnica é a soma das energias V(x) cinética e potencial, Emec = Ecin + Epot- A energia : Ea : potencial pode assumir qualquer valor, mas a ener- tot 1 gia cinética nunca pode ser negativa, pois, se assim Te Serre Ege fom er o fosse, teria que ter uma velocidade cujo quadrado hoaand \! 'f beazas! é um ntimero negativo, sendo, portanto, um nimero™ Bf eee imagindrio. Observe a figura ao lado. Se a particula 1 A As A possuir energia total E, a tnica situacdo possivel para eee pee ela é estar na origem, onde sua energia potencial é i 1 igual a E,, e parada, pois sua energia cinética terd NA que ser nula! Ey Se a energia da particula for E2, marcada por uma linha tracejada vermelha na figura, ao chegar nas posicgoes B, ou Bo, a energia potencial também é igual a Ey, de forma que a energia cinética tem que ser nula, ou seja, a particula tem que estar parada nos pontos B, e B — 2. Entretanto, a forca nesses pontos fazem com que a particula seja empurrada para a origem (X = 0). Entao, a particula ficard oscilando entre os pontos B, e By, sendo proibido para a particula existirem X < B, ou X > Bo (regides marcadas em vermelho no grafico). Se a energia da particula for £3, marcada por uma linha tracejada azul na figura, ao chegar nas posigdes A,, A, Az ou Ay, a energia potencial também é igual a £3, de forma que a energia cinética tem que ser nula, ou seja, a particula esta parada quando estiver em qualquer desses pontos. Se a particula estiver parada em A; ou em Ay, a forca nesses pontos fazem com que ela seja empurrada para longe da origem e a particula néo volta mais. Caso particula esteja parada em Az ou em Az, a forca nesses pontos fazem com que a particula seja empurrada para a origem (X = 0). Entao, a particula ficard oscilando entre os pontos Az e A3. Nas regides Ay < @ < Az e Az < & < Ag, a energia potencial é maior que E3 e so regides proibidas para a particula, pois ela teria que ter energia cinética negativa para existir ai. Essas regides proibidas para a particula com energia total E3 estéo marcadas em azul no grafico. Finalmente, caso a particula possua energia E4, ela pode existir em qualquer valor de x, e nunca ficard parada, pois sua energia potencial seré sempre menor que a energia total e a energia cinética sera sempre positiva. Parte B - Problemas (valor 60 pontos, 20 pontos por problema) P1— (20 pontos, 10:15-12:15) Um pequeno bloco de massa m é liberado do repouso sobre um plano inclinado de comprimento D, fazendo um angulo @ com a horizontal. O bloco desliza sobre esse plano com atrito cinético p até sua base, quando entdo desliza sobre uma superficie bem lisa e com atrito desprezivel, chocando-se com uma mola de constante eldstica k, comprimindo-a de x e parando momentaneamente; a mola em seguida se distende, arremessando o corpo de volta ao plano inclinado e esse sobe a uma distancia d. / Sm G fy m “eG “RIS O a C D Sor On “SS Sen 2, , SN Ly Lh od SS O: qd 1 4 aa 7 SOT x H SN ry 1X! SSS I I SRK WwW . Io k ee. 7 i I I SSA I | 0 hee / x ’strecho sem atrito SS Pi.a— Qual o valor de x, em termos de D, m, k, 0, weg? P1.b— Qual a expresso que determina a distancia d que o corpo sobe o plano inclinado, em termos de D, m,k,@, weg? P1.c— Qual o coeficiente de atrito minimo tal que o bloco nado chegue ao pé da rampa, em termos de D, m,k,@eg? Solucéo Enquanto o bloco esta na parte com atrito da rampa, atuam nele seu peso (constante, aponta sempre para baixo, forca conservativa), a normal do piso (sempre perpendicular ao piso) e a for¢a de atrito, paralela ao piso e contrdria ao movimento. Na parte horizontal, onde nao existe atrito, o peso e a normal continuam atuando, e, enquanto o bloco encosta na mola, atua, ainda, a forca que esta faz nele (varidvel, conservativa). O peso e a forca da mola sao forcas conservativas. A normal, nesse problema, é sempre perpendicular ao deslocamento do corpo e, portanto, nao realiza trabalho. O atrito, além de realizar trabalho onde existe, é uma forca nao conservativa. Podemos, entdo, usar o fato de que o trabalho das forcgas n&o conservativas é igual 4 variacio da energia mecanica. No trecho sem atrito, portanto, havera conservacaéo da energia mecanica, pois n&o existindo atrito, seu trabalho é nulo. Por outro lado, em todo o trecho inclinado ha atrito e, portanto, o seu trabalho sera igual 4 variagéo da energia mecanica. P1.a— Quando o bloco parte do repouso do alto da rampa, ele possui uma energia mecanica, con- siderando a altura na base da rampa como nula, igual a mgH = mgDsené@. Ao chegar na base da rampa, sua energia mecanica ndo vai ser mais a mesma, pois 0 atrito realizou trabalho. A forca de atrito cinético tem mdédulo igual a wN, onde a N é anormal. Como o bloco n&o se movimenta perpendicular ao plano, a resultante das forcas nessa direcdo é nula, e o médulo da normal vale N=mgcos@. O mdédulo da forca de atrito, portanto, é Fatrito=umgcos@ e seu trabalho, enquanto o corpo desde a distancia D vale Watrito,.1=—pmgD cos @. Denominando o instante inicial de A e aquele, quando o bloco chega ao piso sem atrito, de B, podemos encontrar a energia cinética do bloco ao chegar no inicio do trecho sem atrito: 1 2 Watrito,A+B = —pmgD cos 0 = AF nec = Emec,B _ Emec,A = 3/’B _ mgD sen @. 1 e sp = Enec,p = mgD sen 6 — pmgD cos @ = mgD(sen@ — pcos 4) No trecho horizontal, nem a normal nem o peso exercem trabalho, pois o deslocamento é perpendicular a essas forcas. A mola faz uma forca conservativa e, pelo fato de nao haver atrito nesse trecho, a energia mecanica se conserva desde o instante B, acima, e aquele quando o bloco para momentaneamente comprimindo a mola, C’: Watrito,B>C =0= Emec,C _ Emec,B ou Emec,C = Emec,B Em C, 0 corpo possui velocidade nula (compressio maxima da mola), energia potencial gravitacional nula (esté na nossa referéncia de energia potencial gravitacional) e a mola esta comprimida de x, possuindo energia potencial eldstica maxima ska’, de onde podemos calcular zx: mgD(sen 6 — cos @) = sho? — m= maP Keen? — Hos?) P1.b— Apesar de ser comprimida e distendida, a enegia potencial da mola antes do bloco encontrar nela é igual aquela depois de ele ser empurrado de volta, ou seja, igual a zero. Ao voltar, portanto, o corpo recupera toda sua energia cinética e chega ao pé da rampa com velocidade do mesmo mddulo que tinha em B, mas com sentido contrario, e come¢a a subir a rampa, quando o atrito volta a atuar, realizando trabalho negativo. O corpo sobe a rampa até parar momentaneamente a uma altura h, na situacao final, que denominaremos de C’. Durante esse processo todo, a variacéo de energia mecanica sera igual ao trabalho realizado pelo atrito, Chamando de “inicial” a situacéo quando o corpo esta no pé da rampa com energia cinética igual 4 que tinha em B, e de “final” a situacéo em que ele pdra momentaneamente a uma altura h da base, depois de subir a distancia d e o atrito realizar o trabalho —(umg cos @)d temos: Watrito,total = —pmgd cos@ = AEmec = Emec,final _ Enec,inicial, ou, substituindo os valores, —pmgdcosé = mgdsen?—mgD(sen9—p.cos?), —> —mgd(sen?+pcos@) = —mgD(sen0—cos 6), e d=D (= - tt) sen @ + .cosé P1.c— Para que o corpo nao chegue ao final da rampa, basta que o coeficiente de atrito seja muito grande e ele néo se mova. Para ele estar no limite de descer, basta fazer a energia cinética no ponto B igual a zero, o que da D(sen@ — cos@) = 0 ou — 808 _ tg mgeeee M 7 e cos8 P2— (20 pontos, 10:15-12:15) Laalaa e Tinkwink, de massas m e 2m/3 estéo nas extremidades de uma prancha de massa desprezivel e comprimento L que esta em repouso sobre a superficie de um lago gelado sem atrito. Inicialmente Laalaa, de massa m e que esté na extremidade da esquerda, segura uma bola de massa m/3. Em dado momento Laalaa atira a bola para Tinkwink, de massa 2m/3 e que estd na extremidade direita. Qual serd o deslocamento (médulo e sentido) da prancha observado por Dipsy, que esté em repouso na margem do lago, apéds Tinkwink ter segurado a bola? Solucéo Consideremos o sistema composto da prancha, da bola, de Laalaa e Tinkwink. As forcas que atuam em Laalaa e em Tinkwink s&o: seus pesos (verticais, exercidos pela Terra, que sofre as reacdes), a normal da prancha em cada um (verticais, exercida pela prancha, que sofre a reacdéo; sdo forcas internas), eventuais forcas de atrito (horizontais, exercidas pela prancha, que sofre as reacdes; também sao for¢as internas). Na prancha, que possui massa desprezivel (portanto néo possui peso), atuam as reac6es das normais e forcas de atrito com Laalaa e Tinkwink (forcas internas) e a normal com a superficie do lago gelado (vertical). A bola sofre seu peso (vertical, exercido pela Terra, que sofre a reacao) e a forca de quem a segura, lanca ou agarra, que sofrerd a devida reacao. Essas forcas entre a bola e quem a segura também sao forcas internas. Note que nao ha forcas horizontais entre as forcas externas! Portanto, na direcao horizontal, a aceleracao do centro de massa do sistema sera nula e, consequentemente, a componente horizontal da velocidade do centro de massa ficaraé constante. Como o sistema, antes de a bola ser lancada, estava em repouso, a velocidade horizontal do centro de massa do sistema era e continuardé nula, enquanto nao atuarem forcas externas horizontais no sistema. Portanto, a posicao horizontal do centro de massa do sistema nao sai do lugar. Vamos, ent&o, escrever as equacdes para a posicéo horizontal do centro de massa (direc&o x) antes de a bola ser lancada e depois de ela ser agarrada. A definicéo de posicao de centro de massa, €: De Miki Xom = =, mi i=1 onde m,; e 2; S40 as massas e posicédes horizontais das 3 massas de nosso sistema. A prancha, por néo possuir massa, sé entra no problema para manter as posigdes de Laalaa e Tinkwink separadas de L. As posicées iniciais néo foram fornecidas, mas elas existiam e eram diferentes. Vamos supor que, em relacéo a uma determinada origem de um certo eixo que aponta na diregéo do comprimento da prancha, as posicoes iniciais de Laalaa (L), Tinkwink e da bola sejam, respectivamente, (Xiniciai,L), (Xiniciai, +L) e (Xinicial,L), pois Laala segurava a bola, e essa possui a mesma posicao inicial de Laalaa, e Tinkwink esté mais afastado da origem que Laalaa de L. A posicao inicial do centro de massa, nesse sistema de referéncia, 6 2 1 mXinicial,L + 3M(Xinicial,L + L) + 3MXinicial,L 1 XCM. inicial = ——- sé? oF? = Ninicia sp + 50. m+ 3m + 3m 3 Depois de a bola ser lancada e trocar de maos, a prancha deve se deslocar na direcéo oposta 4 do deslocamento da bola de um certo Az, de forma a manter a posicéo do centro de massa. As posicdes finais de Laalaa, Tinkwink e da bola ser&o, respectivamente, (Xiniciai,t — A®), (Xinicia,L + L — Ax) e (Xinicial,L + L — Ax), uma vez que a bola agora esté com Tinkwink. A posigéo final do centro de massa é 2 1 x m(Xinicial,L — Ax) + 3m(Xiniciay + L — Ax) + 3m(Xinicial, + L — Ax) CM, final = —YHJTWHY YH —. “ m+im+im e, depois de simplificar, 1 XM, final = Xinicial,L — Av + 5L- Igualando as posi¢oes inicial e final do centro de massa, 1 1 1 Xinicial,L + 3h = Xinicial,L — Av + 5L ou Ag = gu e€ vemos que as posicoes iniciais das partes do sistema nao importam para o cdlculo do deslocamento da prancha, pois se cancelam. P3— (20 pontos, 10:15-12:15) Um corpo de massa m desloca-se na horizontal, para a direita, com velocidade de mddulo Vo até chocar-se com outro corpo de massa /3m que estava inicialmente em repouso. Apds o choque o corpo de massa m desloca-se para cima ao longo de uma linha que faz um Angulo de 60° com a horizontal (sua direc4o inicial de movimento) e 0 corpo de massa V3m desloca-se para baixo ao longo de uma linha que faz um Angulo de 30° com a horizontal. Observe atentamente a figura. , V ' 1 1 — m 1 / 1 / I ’ . 1 antes / depois 1 / I v 1 ’ 0 m V / 60 0 ! y 1 ' eT Bm“) en $30 ; . ! Vv, 1 ! (3m 1 P3.a— Calcule os mddulos das velocidades finais, Vi e V2, em termos de Vo, m e dos angulos fornecidos. P3.b— O choque foi eldstico ou ineldstico ? (Respostas sem justificativa néo seréo consideradas!!!) Solucgao Trata-se de uma colisao e, como tal, enquanto ela dura, podemos considerar que nao atuam forcas externas no sistema. Portanto, a aceleracéo do centro de massa do sistema, como vetor (ou seja, todas as suas componentes) serd nula no processo, a velocidade (também como vetor) seré constante. Como as massas néo se modificaram durante a colisio, a quantidade de movimento do sistema tem que se conservar, em todas as suas componentes. Vamos considerar um sistema de coordenadas cujo eixo x aponta na direcao inicial do movimento antes da colisao e o eixo y aponta perpendicularmente a 2, positivo para o lado da diregcao de movimento da massa m depois. P3.a— Escrevendo a condicdo de conservagéo das componentes x e y da quantidade de movimento do sistema, temos, lembrando que a massa /3m estava incialmente parada Py antes = MVo + V¥3m0 = Py depois = MV; cos 60° + V3mV> cos 30°, Py antes = 0+ V3m0 = Py depois = MVi sen60° — V3mV% sen 30°, onde V; e V2 sdo as velocidades das particulas de massa m e /3m, respectivamente, depois da colisio. Lembrando os valores do seno e cosseno, e simplificando m 1 3 vo = 4 + v3¥S 05, 2 2 3 1 0= v3y, _ V3=Vo. 2 2 Das equacoes acima tiramos que Vi=V2 e que Vo=2V1, ou seja, Vi =Vo= vo, independentes de m. P3.b— Para verificarmos de a colisao foi eldstica ou nao temos que calcular a energia cinética do sistema antes e depois da mesma: 1 Ecin,antes = smo ° 2 2 1., 1 1 /W 1 Vo 1 1 V3 Ecin,depois = gm + 5V3mvy =5™ (2) + 5V3m (2 = go a + 7a i/P onde usamos jé as velocidades Vi e V2 encontradas anteriormente. Temos, entao, 1+ V3 Ecin,depois = (44) Ecin,antes- Concluimos, ent4o, que a energia cinética final 6 menor que a inicial e que a colisdo foi ineldstica.