Capítulo 17: Sequências e Séries - Definição e Propriedades de Convergência

Capıtulo 17 Sequˆencias e Series Definicao 28 Considere uma sequˆencia de numeros complexos zn isto e uma aplicacao que para cada n N associa um unico numero complexo zn Dizemos que zn e convergente se existir z C tal que para todo ε 0 existe no N satisfazendo zn z ε sempre que n no Proposicao 28 Se zn e convergente entao existe um unico numero complexo z satisfazendo a definicao acima Prova Se z e w satisfazem a definicao acima entao dado ε 0 e possıvel encontrar n1 N tal que zn z ε2 sempre que n n1 e tambem n2 N satisfazendo zn w ε2 sempre que n n2 Tomando no como o maior entre os numeros n1 e n2 vemos que se n no entao 0 z w z zn zn w ε2 ε2 ε para todo ε 0 Logo z w 0 isto e z w Observacao 29 Se zn e convergente e se z e o unico numero complexo que satisfaz a definicao 28 dizemos que z e o limite da sequˆencia zn e denotaremos por zn z ou lim n zn z Observacao 30 Geometricamente o fato de zn z significa que por menor que seja o disco centrado em zo sempre sera possıvel encontrar no N de modo que zn pertenca a este disco para todo n no Em geral quanto menor o disco maior sera no 95 Observacgao 31 Se uma sequéncia nao for convergente diremos que ela é divergente Deixamos como exercicio as provas das seguintes proposicoes Proposigao 29 Se z z e W w entdo i Zn Wn 24 0 ti Zn Az para todo X C iii existe M 0 tal que z M para todo n EN isto é a sequéncia z limitada Proposicgao 30 Seja z uma sequéncia em C Sejam tn Ren Yn SZ Entao zn convergente se e somente se as sequéncias de nuimeros reais Lp Yn convergem Em caso afirmativo temos lim z lim x 7 lim yp nco nco nco Exemplo 82 Analise a convergéncia das seguintes sequéncias a 1 ln Wn 0 Gn in n n Como z 0 0e Sz 4 0 a proposicao 30 nos diz que z 6 convergente e se limite é zero Note que Rw Ri2 1 nao é convergente Logo pela proposicao 30 a sequéncia Ww também nao converge Quanto a ultima sequéncia vemos que ela nao é limitada pois para todo n N temos 1 2S yy2 Cn ZstWvntn n Logo pelo terceiro item da proposicgao 29 nao pode ser convergente L Definigao 29 Seja z uma sequéncia em C Dizemos que a série 7 2m convergente se a SCQUENCIA Sy 29 2 for convergente Ou seja se existir S C tal que para cada 0 existir No N tal que n 5 y als para todo n No j0 Neste caso denotamos S por Sy 9 Zn Observagao 32 A sequéncia z que dé origem a série 2 chamada de termo geral desta serie Seguem das proposicoes 29 e 30 as seguintes proposicoes o CO CO Proposigao 31 Se S 0 9 zn eT Soy Wn entao 96 CO VinolZn Wn ST i So 9 AZn AS para todo C Ce Zoe CO Proposigao 32 Sejam zn tn 1Yn Tn Ren Sn Yn Entdo a série Sy 4 converge yo lo oo se e somente se as séries de mimeros reais Ln 9 Yn Convergem Neste caso CO CO co Zn In t y Yn n0 n0 n0 Também temos Proposigao 33 Se zn convergente entéo z 0 o sos CO Prova Coloque Rzn Yn Sn Pela proposigao 32 as séries de nuimeros reais 7 7 4 Ln e yo 4 Yn Convergem Portanto por um resultado de Calculo H temos xy 0 isto é Zn In 1Yn O i lan oo 4 Z oo Oot oo 1 yan Exemplo 83 A série 7 nao convergente pots 74 Sy Vinay Miverge série har monica No entanto temos 0 Observacgao 33 O exemplo acima mostra que a condigao Zz 0 nao é suficiente para que a série formada por Zn seja convergente No entanto a proposicao 33 nos diz que esta condicao Zn 0 necessaria para a convergéncia de Y 4 Zn isto se o limite de z nao existir ou se convergir para um niimero diferente de zero entao a série 2n sera divergente Exemplo 84 Pela proposigdo 32 a série ne é convergente pois as séries de nimeros oo nti yao il co Anti owo 1 reais o 4 RES aa 6 op SSS V1 e Sao ambas convergentes so Ze co Z Ze co Definigao 30 Dizemos que a série Zn absolutamente convergente se a série Yo Zn for convergente ye ym Z Zoe 7 Exemplo 85 A série 45 é absolutamente convergente Basta notar que a série de nii s Dey S SSL convergent meros reais 3 dunai wz convergente Proposigao 34 Se 7 zn é absolutamente entao ela também é convergente 2 Prova Colocando xz Ry Yn Sq vemos que z2 2 y z e portanto zn Z Assim usando o critério de comparagaéo para séries de ntimeros reais vemos que er Ln absolutamente convergente e portanto convergente De modo semelhante se mostra que 9 yn também é convergente Logo pela proposigao CO Z 32 temos que S77 9 Zn convergente i 97 Exemplo 86 Nem toda série convergente absolutamente convergente como pode ser verificado s 2n pela série yy Esta série na bsolutamente pois Sx 3 di sta série nao converge absolutamente pois v4 o1 diverge No entanto Sx Sx é convergente pelo critério de Leibinitz Cdlculo II nl n n1 n g Pp 7 A 7 foe 1 7 isto como a sequencia 4 é decrescente e tende a zero entao a série alternada Cu e convergente 98 Capitulo 18 Séries de Poténci Definigao 31 Sejam z C e a uma sequéncia de nimeros complexos A cada z C coloque Zp An2 A série dada por 9 Zn Yo Pp AnZ 20 chamada de série de poténcias O numero complexo z chamado de centro da série de poténcias Neste capitulo trataremos de estudar sob que condicoes uma série de poténcias é convergente Note que quando tomamos z 2 a série de poténcias é convergente e seu valor é o termo independente ao Veremos mais adiante que se a série de poténcias convergir quando tomamos algum outro valor de z z entao sera possivel definir uma fungao numa vizinhanga pelo menos num disco aberto de z que a cada z nesta vizinhanga associa o valor da série isto é fz CO yn0 An Zz 2 Na maior parte do capitulo passaremos a estudar propriedades desta funcao A principal delas sera que f é uma funcao analitica Reciprocamente o teorema de Taylor par fungoes analiticas nos garantira que toda fungao analitica pode ser escrita como uma série de poténcias convergente em uma vizinhanga de cada ponto do dominio aberto da fungao Vamos comecar a nossa investigacao considerando a série geométrica que é obtida tomando se Zo 0 e a 1 na definicao 31 Sabemos que uma condicao necessaria para que uma série seja convergente é que seu termo geral tenda a zero Como no presente caso z 2 vemos z 0 se e somente se z 1 Assim para z 1 a série geométrica é divergente Para z 1 considere a sequéncia formada pelas somas parciais Snz le42 Temos 1 zSnz 8nz 28nz T ete t 2 2 tte eh 12 e dai n 1 gntl Jo SnZ Ze 181 z a 181 j0 99 Como z 1 vemos que grt 2 0 1 1 z Desta maneira segue de 181 que 1 So 2 lim sz para todo z tal que z 1 n0o lz n0 Vale a pena observar que a convergéncia também é absoluta neste disco D zz 1 pois a série geométrica de ntimeros reais z ar é convergente pois a z 1 Definigao 32 Dizemos que uma série de poténcias 9 Gnz 2 converge uniformemente em um conjunto D C C se existir uma fungao S em D tal que dado 0 existirn N satisfazendo n st Yeates eé para todonn etodo zD j0 Observagao 34 E claro que se a série converge uniformemente em D entao para z D temos que a série de poténcias 9 Anz 2 converge para Sz Observacgao 35 Note que embora as definigdes de convergéncia e de convergéncia uniforme sejam bastante semelhantes nesta ultima é posstvel escolher para cada 0 um mesmo no que sirva para todo z D Na definigao de convergéncia 0 no pode variar de acordo com o ponto z Proposigao 35 Seja yo anz 2 um série de poténcias tal que para todo n tenhamos anz 2 b para todo z D onde 7 4b convergente Entdo 4 Gnz 2 uniformemente convergente em D Prova Dado 0 existe n tal que CO n CO on da S bj eé para todo n no j0 j0 jn1 E claro que a série de poténcias é absolutamente convergente para todo z D Assim se n n e todo z D temos CO n CO CO CO Sait 2 Sajz S ajz S ajz 2 S bj eé j0 j0 jan1 jn1 jan1 i 100 Exemplo 87 A série geométrica converge uniformemente no disco fechado D zz r onde 0 r 1 Porém a convergéncia nao é uniforme no disco aberto D zz 1 Passemos a verificar estes fatos notamos primeiramente que se z D entao z r Segue da proposigao 35 com b r note que 0 r 1 que a série geométrica é uniformemente convergente em D Quanto a segunda afirmagao vemos que por 181 para 0 existira n tal que para todo n N temse CO n eé j0 se e somente se grt z SS ce Iz 1 z n 1 log z loge1 z lz l2z loge1 z en1 logte1 2I log 2 pois z 1 Note agora que a medida que tomamos os pontos mais proximos 4a fronteira do disco z 1 teremos que tomar n cada vez maior para que 181 fique valida para todo nN No Teorema 17 Dada uma série de poténcias 0 AnZ 2 entao ocorre uma e somente uma das seguintes situagoes i Yor 9 Anz 2 86 converge em z 2 it existe r 0 tal que se z r a série 9 anz 2 converge absolutamente e se 0r r a convergéncia uniforme no disco fechado Dy zz Z r Além do mais se z 1 a série Sy 9 nz Zo diverge iti a série Yo 9 dnZ 20 converge absolutamente para todo z C e uniformemente em todo disco fechado D zz Z r Prova Seja D z 79 anz 20 converge absolutamente Se D z entao temos 7 Se D z entao existe z D 2 4 z Coloque ry z1 Z 0 Como 7 nz1 20 converge o seu termo geral tende a zero e é portanto limitado Assim existe M 0 tal que a2 z M para todo n Se0 r roez2z r entao z 2 r anz 20 dnZ1 Zo M 182 41 o To Como 0 2 1 vemos que 79 anz Z0 converge logo z D 101 Note que por 182 a série 7 anz 2 converge uniformemente em D Para ver isto basta notar que o tltimo membro de 182 independe de z D Veja que mostramos que D C D para todo r z1 z onde z D 2 F Zo Agora se todos os discos centrados em z estiverem contidos em D entao teremos D C e com o que ja foi demonstrado obteremos iii Por outro lado se isto néo acontecer entao existira r 0 tal que D z2z2rCD e DD paratodosr 183 As estimativas feitas em 182 com r r mostram as duas primeiras afirmativas de ii Quanto A terceira basta ver que se z z r entao se a série 4 dnz 2 convergisse seria possivel encontrar M 0 tal que az 2 M para todo n e assim para todo 2 satisfazendo r z z z Zo terfamos 2 z 2 2z n oO n 0 anz 2 lanz 2 M Z Zo Como ZZ e 1 Z 2 a série anz 2 convergiria absolutamente e portanto z D Mas segue dai que D Cc D onde s z Z que contradiz 183 pois s r i Observagao 36 O niimero r que aparece em ii da proposigao acima chamado de raio de convergéncia da série Estendemos este conceito para dizer que emi o raio de convergéncia é zero e em tit infinito Observacgao 37 O segundo item do teorema anterior nada afirma sobre a convergéncia da série sobre o cérculo z z r A proxima proposigao nos fornece uma maneira de calcularmos o raio de convergéncia de uma série de poténcias desde que um determinado limite exista Proposicao 36 Considere a série de poténcias CO y Anz 2 n0 Se o limite da sequéncia a converge entao o raio de convergéncia da série acima sera dado por r onde 0 se limp soo Wan 00 r2o se limps VW an 0 1 n se0lim XAn Co 102 1 Prova Provaremos apenas 0 caso em que limpoo n 0 Se s r entao 1s 1re pela definicgao de limite existe n tal que a 1s para todo n nj Dat 1 an sen No sn Assim para z z sen temos n z 7 2o anz 20 s Como z zs 1 a série 9z 2 absolutamente convergente Como s r foi arbitrario a mesma série é absolutamente convergente em D Agora dado r r tome s tal que r s r Um calculo como acima nos diz que s n lanz 2 para z 2z r en grande Assim a série é uniformemente convergente em D Agora se s r entao 1s 1r Logo existe n tal que 1s a para todo n n Se tomarmos z z s vemos que n z 7 2o anZ 2 s Como Z2 o 1 s entao azz nao tende a zero e portanto a série 7 an z2 nao pode ser convergente Vemos assim que 0 numero r é 0 raio de convergéncia da série i Exemplo 88 Encontre os raios de convergéncias das seguintes séries co nn a ne0 n2 z co nan b eno as CO gn c on0 nr a Como limy V2 2lim n 2 vemos que o raio de convergéncia é 12 b Como limps Vn limnn co vemos que o raio de convergéncia é zero c Como limy 1n limy1n 0 vemos que o raio de convergéncia é infinito Deixamos como exercicio a prova da seguinte 103 Proposicgao 37 Considere a série de poténcias CO S AnZ 2 n0 Se o limite da sequéncia 2 converge entao o ratio de convergéncia da série acima sera dado por Gn r lim mesmo que o limite dé infinito Exemplo 89 A série a converge absolutamente para todo z C pois como 1 al nl lim lim nti lim n1o o seu raio de convergéncia infinito pela proposicao 37 Teorema 18 Seja CO fe S AnZ Zo n0 uma série de poténcias cujo raio de convergéncia r seja diferente de zero Entao f continua no disco D zz Z r Prova Seja z D Tome r satisfazendo z1 2 r r Sabemos que a série dada por f converge uniformemente em D Assim dado 0 existe nN tal que n E ie So ajz 3 para todo z Dywn No 184 j0 Como o polindmio No Pno2 Ya 2 2 j0 é continuo em 21 existe 6 0 tal que ppnz Pn 21 3 se z z1 6 com o disco centrado em z de raio 6 contido D Diminuindo 6 0 se necessdrio podemos supor que o disco aberto centrado em 2 de raio 6 esteja contido em D Assim se z 2 6 E Lf 2 FA S LF Pne21 Pra Pro IPnot fle 5 545 6 pois z 2 D e também z 2 6 i 104 yr Teorema 19 Integracgao termo a termo Seja fz So an2 2 n0 uma série de poténcias cujo raio de convergéncia r seja diferente de zero Se y ab C é um caminho cujo tracgo esteja contido em D zz Z r entao n an n n fz dz Sian z Zo dz S LT 90 Zo t ya Zo n1 n0 Y n0 Em particular sey um caminho fechado J fz dz0 Prova Como o traco 7 de um caminho é um conjunto compacto existe r 0 tal que y Cc D Como a convergéncia de f é uniforme em D dado 0 existe n tal que S nea eé jnt1 para todo z Dy en no Desta forma como f é continua sua integral sobre y existe e podemos escrever ro dz dat 2 ae f S ajz 2 dz 7 Y j0 Y jn1 S fate 2 dz S az 2 dz j0 7 Y jn1 pois a primeira soma s6 apresenta um numero de termos Segue dai que se n n entao 50 dz Sf aile a S ajz 2 a 7 j0 7 Y jntl 105 nas Y5 aj2 to ely jntl1 Como y esta fixa segue que Y fat dz fe dz j0 7 Y isto é fe dz Y fat dz Y j0 7 A férmula final segue do fato que sale zt é uma primitiva de az z para j 0 i Exemplo 90 Vamos aplicar o teorema anterior a fungao Oa See z z z 1lz S Como o disco D zz 1 é simplesmente conezo e f é analttica em D sabemos que ela possui primitiva neste dominio Uma tal primitiva é dada por Fz log1 z onde tomamos o ramo do logaritmo satisfazendo zlre 0027 log1 z log1 z7 7 Note que com este ramo temos log 1 0 pois 0 1 e Assim F0 0 Para cada z D tomamos yt tz0t 1 Pelo teorema anterior e pelo fato de F ser uma primitiva de f temos 1 log1 2 FOC FO f eae crac Y n0 7 ee Sgn tl a 1 n1 0 n1 di bh 10 yl a Portanto com o ramo escolhido acima CO an log1 z g1 2 d Corolario 8 Seja fle So an2 Zo n0 uma série de poténcias cujo raio de convergéncia r seja diferente de zero Entao f analttica no disco D zz Z r 106 Prova Pelo teorema 18 f é continua em D e pelo teorema 19 a integral de f é zero sobre todo caminho fechado contido em D Segue do teorema de Morera que f é analitica em D i Teorema 20 Derivagao termo a termo Seja fz So an2 Zo n0 uma série de poténcias cujo raio de convergéncia r seja diferente de zero Entdo a derivada késima de f num ponto z D zz r dada por ae ph valk n F2 OIG YG b Vayle 22 angel 2 jk n0 e 0 raio de convergéncia da série acima também r Prova Fixado z D tome z1 Z r r Selecione s 0 de modo que o disco centrado em z de raio s esteja contido no disco D yr Coloque yt 2 se 0 t 2r Como f é analitica em D segue da formula de Cauchy para derivadas que ki fz dz f 1 mil Gaye Mas para todo z D co N co fz z 2 z 20 z 20 aj Qj aj 2 2R1 2 2 e1 2 z x 2 z xm Integrando a expressao acima sobre y obtemos kt Fz pa mi Gaye N lo k z 20 k z 20 aj dz a dz 185 2 Qni J zaett Qri oe Tz 2e1 107 Mas z Jajile 2 ajy d2 max fy 2 2 zey fe Jz 2 27S j 2 j Sama DE dale 20Fmax DP aiz 20 jN41 jN41 Como 0 az 2 converge absoluta e uniformemente em z z r e 0 trago de esta contido neste disco vemos que para cada 0 existe n tal que para todo N n e para todo z 7 temos S az Zo es kl jN41 Segue de 185 que para todo N n temos N k z 2 k AS Or dz e 21 Yon Se j0 7 ou seja sk z 2z4 faa os ae 41 2 Qni J 2 a1 Usando a formula de Cauchy para derivada k Z 2 dé Bf Lashea fens mi J 2 z a JO seg0k1 GG VDGHkYa2 sejk Portanto a ai I Gk Yla 4 jk aS aa n k n agp Zo dansk 1 2 jk n0 Seja R o raio de convergéncia da série da primeira derivada de f Claramente por dominacao temos R r Suponha que R r Entao existem s satisfazendo r s Re z tal que z z s Integrando a série da derivada 79n Lan4iz 2 termo a termo do segmento que liga a z obtemos que 7 anz 2 fz fz covergente Isto é um absurdo pois z z r Logo Rr Por indugao 0 raio de convergéncia da série da késima derivada também é R i 108 Exemplo 91 Podemos aplicar a série da derivada de 1 x fe2 pect id n0 para obter varias outras representacoes de fungdes em série de poténcias De fato derivando a expressao acima obtemos 1 co CO nt 1z2 i dm dn 1z z Derivando mais uma vez 2 n1 n ap Qun Ine Dont 2n De z 1 ou seja LS 2n 1z z 1 n n z z l2z 2 Prosseguindo o processo obtemos 1 1 nk1 k1 nt Yy 4 12 aa on 1 d k Din k1 S ne z lz1 kel k1 n0 Exemplo 92 Verifique que tL yvn 1 lz 1 a 4 222 Como 1 a low dw Jw 1 tomando w z vemos que 1 2 n 2n Te LC CY Jz 1 pois w 27 1 é equivalente a z 1 Derivando a expressado acima obtemos para z 1 109 22 a Ny 7r1 9 1 Ny yen at p d d 2z So1 nr 2z So1n 12 n1 n0 Logo z CO S11 2 apap sy e portanto 1 CO 1n 12 z 1 Trae nee 181 Série de Taylor Ja vimos que toda série de poténcias cujo raio de convergéncia seja positivo é uma fungao analitica O préximo teorema diz que toda fungao analitica pode ser representada localmente como série de poténcias isto é se f é analitica em z entao existe r 0 e uma sequéncia ay satisfazendo fz 74 anz 20 para todo z z r Mais precisamente temos Teorema 21 Série de Taylor Seja f Q C uma fungdo analttica definida em um aberto Q Sez Ee QerO0 tal que D 2z z r CQ entao fij S Poi 2 para todo z D n0 Prova Dado z D tome s tal que z z s r Coloque yt z se O t 27 Pela formula de Cauchy e manipulacao algébrica podemos escrever 1 1 2 55 fw a Ti J w 2 1 1 ee Qri Pw 2 Zo 2 1 1 1 dw ress 1 Como para w 9 isto é w z s vemos que z z 1 W 2 S 110 e dai usando a série geométrica 1 lL Qlz 1 fw fe dy Ng hd P2 ma SO 2 0 Qi w 2 2 dw n0 Y n0 1 fs fw 1 fw Tle a dw tf z z dw Qri x w zr1 2mi J fe w zrtt LS fw Lf fw z dw z z dw 186 Qri y W 2 2ni J me w zt N co 1 1 fw Siz 2 af Zo x S w zen Zo dw 187 n0 YnN1 Mas como f é continua e 7 é compacto existe M 0 tal que fw M para todo w Desta forma o ultimo membro do lado esquerdo de 187 pode tende a zero quando N tende a infinito pois 1 fw 1 I fw a 2 n d ee 2 n L nN1 nN1 1 QM h z2 x S peat Zo 2nsM S 0 nN1 nN1 quando N ov pois é o resto da série geométrica cuja razao é etol 1 Logo oo f Zo n d D f2 z 20 para todo z D n0 i Observacgao 38 Note que se f é inteira isto é 2 C entao o raio de convergéncia da série de Taylor de f infinito pois D C C para todo r 0 Observagao 39 Nos referiremos a série 5 Leo z 2 como a série de Taylor de f centrada em Zo Exercicio 16 Prove o seguinte Se uma fungao analitica definida em um disco centrado em z representada por uma série de poténcias centrada em 2 entao esta série é a série de Taylor de f centrada em Zp Observacgao 40 Quando z 0 a série de Taylor também conhecida como série de MacLau rin 111 Exemplo 93 Encontre a expansao em série de MacLaurin da fungdao fz e Como para todo n 01 temos fz e vemos que 2 Pf O on Lon que valida para todo z C Exemplo 94 Do exemplo anterior podemos escrever para todo z C e dl n0 n0 e do ame Somando as duas expressoes obtemos iz iz i i n 1 2k 2coszee 2 opr n0 k0 pois quando n é tmpar i i 0 e quando n 2k i i i ik 21 Assim cos 2 5 CV ze zEC 2k k0 Derivando a expressao acima obtemos 1 2k1 sen 7 S Oka pl zC k0 Exemplo 95 Encontre a expansao em série de Taylor em torno de z 1 do ramo da fungao fz Vz com V1 1ezre 107r O maior disco aberto centrado em z 1 contido no dominio do ramo acima Dy zz1 1 E facil ver que as derivadas de f sao dadas por 11 1 1 112 12n1 2 Mr 2 1f2n1 pom Lf DU ff DEA gon re 35 Ge 3S SE E claro que f1 f1 1 f1 12 e quando z 1 n 2 1 1 123 2n 32n 1 n 1 132n 3 s e ae 112 2 m ag n Qn 1r12n1n 1 4nn 1 Como a tiltima expressao valida mesmo com n 1 temos f 1 n 4 12n 1 n 182 Zeros de funcao analitica Nesta secao faremos uma aplicacao da série de Taylor para mostrar que os zeros de uma funcao analitica nao identicamente nula sao isolados Isto quer dizer que se z é zero de uma funcao analitica f nao identicamente nula o mesmo que dizer que z 6 uma raiz da equacao fz 0 entao em algum disco centrado em z nao existe nenhum outro zero de f Note que esta propriedade é satisfeita pelos polindmios que sao os exemplos mais simples de funcoes analiticas Resumiremos os resultados que temos em mente nos seguintes teoremas Teorema 22 Seja f Q C uma fungao analitica definida em um aberto Q Se zo Q tal que f e todas as suas derivadas se anulam em z entao f se anula identicamente em todo um disco aberto centrado em Zp Prova Seja D um disco centrado em z contido em 22 Pela série de Taylor para todo z D temos fo n fz Oe 20 n0 Mas como fz 0 para todo n segue da férmula acima que fz 0 para todo z D i Observagao 41 Se 0 é conexo e f satisfaz as hipdteses do teorema acima podese mostrar que f é identicamente nula Corolario 9 Se z um zero isolado de uma funcdao analitica f Q C entao pelo menos uma das derivadas de f se anula em Zo Observagao 42 Considere a fungdo de uma varidvel real a valores reais dada por fx eo sex 0 e f0 0 Podese verificar que todas as derivadas de f existem e em x 0 elas se anulam No entanto f nao é identicamente nula Teorema 23 Seja f Q C uma fungao analitica definida em um aberto Q Se z Q tal f Zo 0 e nem todas as derivadas de f de se anulam em z entao z um zero isolado de f isto é em algum disco centrado em z nao existe nenhum outro zero de f 113 Prova Seja mo menor ntimero inteiro nao negativo tal que fz 0 mas ftz 40 Seja r 0 tal que o disco D zz2 r Cc Q Tomando a série de Taylor de f em torno de z vemos que fz n f 2 n fe yale 20 2 0 n0 nm1 oe nm1 m1 f 20 nm m1 220 ane el 22 9l2 oo fttm1 29 n 2 oe onde gz 74 Game 2 z claramente analitica em D Note que como fo 20 o 9 existe 0 6 r tal que gz gz2 para todo z Ds zz 2 6 Desta forma vemos que para z Ds temos m119Zo 2 2 22 Assim se z Ds e z 2 entao fz 0 isto é fz 4 0 Isto mostra que z é um zero isolado de f i Corolario 10 Seja f Q C uma funcdao analitica definida em um aberto Q Se z Q Eum zero isolado de f entao existe um inteiro positivo n e uma funcao analitica g definida em um disco aberto D centrado em z satisfazendo fz 292 g20 0 para todo z D Prova Se g em sao como na prova do teorema anterior basta tomar n m 1 i Definigao 33 Sejam f Q C uma funcao analitica definida em um aberto e 2 Q um zero isolado de f O nuimero n do corolario acima chamado de ordem do zero Zo Exemplo 96 A funcao fz 1 z 12 y nao analttica pois os seus zeros nao sao isolados Note que os zeros de f representam o circulo centrado na origem de ratio 1 Exemplo 97 z 0 um zero de ordem dois da fungao fz 1cosz Basta ver que f0 1cos0 0 f0 sen0 0 f0 cos0 1F 0 Note também que D og EDP on ayo 1 og 1cosz1z z So 2k 2k 2k 2 11 2k 2 2 7 2gz 2k 1 2 co 1k1 Zz fye onde gz do p6 ene é analitica e g0 114 Capitulo 19 Séeries de L t Naste capitulo vamos tratar de séries de poténcias nao necessariamente positivas isto é queremos estudar convergéncia e propriedades de séries dadas na forma co co bnz Zo AnZz Zo 191 n1 n0 O significado da primeira parcela acima é o limite caso exista da sequencia das somas parciais 9 9 n by bn S bj z 20 Z 2 z z jl Fixada uma sequéncia b considere bw Se r 0 raio de convergéncia desta série o qual suporemos diferente de zero entao se 0 r r asérie converge uniforme e absolutamente no disco Dy 2z Z Z r Colocando w z 29 vemos que w r 6 equivalente a z z 4 Deste modo a série de poténcias negativas co n y bnZ Zo n1 converge uniforme e absolutamente na regido zz z 4 onde r é qualquer ntimero positivo menor do que r Note ainda que se s r entao z z 1s é equivalente a w s r Logo a série co n co n J yop nw dor bn 2 diverge CO CO Note que se bw for inteira entaéo bnz 2 converge para todo z F 2 Resumindo uma série de poténcias negativas bnz 20 que converge em algum ponto convergira absoluta e uniformemente no complementar de discos abertos centrados em Zo Se o raio de convergéncia da série bw for r 00 entao a série de poténcias negativas yo on 20 diverge quando z z r Se r oo entao a convergéncia de 7 byz 2 se dé para todo z 2 115 Ao considerarmos uma série como em 191 precisamos assegurar a convergéncia de ambas parcelas A menos do caso trivial convergir somente em z a série az 2 converge em um disco Dr zz R pode acontecer de R ov e neste caso Dp C Quanto a série de poténcias negativas o seu dominio de convergéncia é vazio caso em que nao converge em nenhum ponto ou da forma C zz z r onde r 0 Desta forma para que 191 fique bem definida num aberto precisamos ter r R Neste caso o dominio de 191 é dado pelo anel Ar zr z Z R E claro que pode acontecer de 191 convergir em pontos dos circulos de raio r ou R Deve estar claro que em Ar a série 191 define uma fungao analitica No entanto como Ar nao é simplesmente conexo a integral desta série nao precisa se anular em todas as curvas fechadas contidas em A p Agora se um contorno cujo traco esteja em A rp for tal que seu interior também esteja contido em Ap entao necessariamente a integral da série sobre esta curva se anulara Vale observar que continuam validos teoremas andlogos aos de integracao e derivacao termo a termo para a série 191 O tnico cuidado a ser tomado na integracao termo a termo é que o trago da curva sobre a qual a integragao ocorre deve estar contido em A p O proximo teorema diz que toda fungao analitica definida em um anel Ap possui repre sentagao em série de poténcias como em 191 Tal expansao é chamada de série de Laurent da fungao Teorema 24 Série de Laurent Seja f analitica em Ap 27 Z Z R Entao para todo z A CO CO CO fz So an2 Zo So an2 2 S Anz 2 n1 n0 n0oo one 1 fQ a d nEeZ n oni Zontl e yt 2se Ot22r rsR Prova Dado z Ar tomes e tais que r s S R Considere o contorno I abaixo que consiste nos arcos C Cs dos segmentos e lg percorrido no sentido antihoradrio e contendo z em seu interior Os arcos sao dados por Cst Se 09 tO2re Ct 2 se 09 t 0 20 Colocando A C6o A C09 27 116 BC6 Bz C9 27 os segmentos 1 e ly sao dados por It AtB A 0tl Int BtA B 0tl a by A B A B C Cs by Oe Como o interior do contorno esta contido em Ar segue da formula de Cauchy que 1 f 6 1 9 1 O do d d P lS 6 2m7t Jog 6 2 Ot o62 6 1 9 1 9 de de tales Ot ee 6 Como a expressao acima é valida para todo 0 tomando o limite quando tende a zero e usando o fato que a fungao g f z é continua sobre cada um dos caminhos Cs C e C2 obtemos 1 1 9 1 O d d I mil to 6 2ni Jy C z 6 yst 2 Se y5t 2 se 0 t 27 Observe que B Be B B quando 0 Agora a integral 1 2771 Jy OZ 117 é desenvolvida como na prova do teorema de Taylor veja 186 resultando em 1 9 Ll F9 d z de milo ami 2 o C 20 Colocando 1 0 n AY ae 192 Qri zr1 6 192 obtemos 1 FC d AnZ 2 2ri Jy C2z d Analisemos agora a integral 1 2mt Jy C Temos 1 1 1 1 C2 2 2 1 Como para 72 também é valido 8 ey Z 2 z Zo podemos lancgar mao da série geométrica e obter Ll 1 oS C Zo no C 20 C 2 d 7 daar Logo 1 9 1 20 sa of UH s 5 fOde art Jy 6 2 Qri dalam 1 1y ee f oe sre frome 9 2ni z 21 Jy 2mi Jy a7 2 20 Tome M 0 tal que f M para todo 9 Usando a majoracao como na proposicao 25 segue que 1 C 2 MS s AS 0 peje S an Es Ys nN1 2 2 om Ne Je 20 3 ght s 5 nl Ete E es nN41 JZ 20 nN1 Z 20 118 que tende a zero quando N tende a infinito pois s z 2 Assim passando ao limite a expressao 193 chegamos a Le tO 1S 1 do 2d Qri C2z 6 Qri z2 2 J MONG yd 1 1 4 1 fQ 2 de dC Qri s z Z MONG 6 2ri d 2 2 G 2 Colocando 10 a apn de 194 2mt Jy GC 20 t vemos que l f9 aden 4dce a AnZ 2 nel ma oa Dd Gay d Como as integrais que aparecem nas definigoes de a e ay veja 192 e 194 continuam as mesmas quando substitufmos yg e Ys pos ys dada por yst zo soe 0 t 2m onde So s R chegamos ao resultado procurado i Observacgao 43 O circulo centrado em z e de raio 84 que aparece no enunciado do teorema anterior pode ser substituido por qualquer outro contorno contido em Ar que contenha z no seu interior Temos também o seguinte Corolario 11 Se f é como no teorema anterior veja 24 ey Eum contorno em Ap contendo no seu interior entao tow 2ria1 onde a 0 coeficiente do termo z 2 da série de Laurent de f centrada em zo Observacgao 44 Mais adiante veremos um resultado mais geral do corolaério acima Observagao 45 A série de Laurent de uma fungao f definida em Ap tinica isto é se fz So aen2 2 So an2 So bnz 2 S bnz 2 2 Arr n1 n0 n1 n0 entao dn b para todo n Z 119 Definigao 34 Seja f como no teorema 24 O ntimero a1 que 0 coeficiente do termo z 2 da série de Laurent de f centrada em z chamado de residuo de f em z e denotado por a Res f Exemplo 98 Encontre a série de Laurent de fz e em torno de z 0 e dé seu dominio de convergéncia Como Ww 1 n eo S i weC n0 vemos que ez s it z 0 7 nl gn Exemplo 99 Seja f a fungao definida em Q C 12 por fz Gapey Note que f é analitica em Q Encontre 1 A série de MacLaurin de f e 0 seu raio de convergéncia 2 A série de Laurent de f em Aj z1 2 2 3 A série de Laurent de f em Azo 232 z Temos 1 1 5 1 Usando a série geométrica vemos que 1 1 n 1 z1 I12z d ms 2 Temos também 1 1 1 loser A oo a LG sa z2 1 isto é z 2 n0 n0 Como a interseccao do dominio de validade das duas séries acima é 0 disco z 1 temos co 1 fad Asae elt n0 Como lse laet lim lim 1 o raio de convergéncia da série é um 120 2 Se 1 z 2 entao 1z 1 e pela série geométrica 1 1 1 1o1 1 m dG a lt z n0 n0 Como z 2 entao z2 1 e pela série geométrica 1 1 1 Tz 2 app Tae 3G Lae Assim se z Aj 1 a 1 A Fz aa pnt gnti n0 n0 n0 3 Se z 2 entao 2z 1 e também 1z 1 Temos 1 1 1 Iw1 1 e 1 1 1 To 2 Ge 2 Logo 2m 2 1 f isn La a n0 n0 n0 L Exemplo 100 Encontre a série de Laurent de 1 3 a fz 2 sen em torno da origem Como 1 2n1 sen WwW QnD we C temos Py an AUT 2n 0 en Qntpe 7 e dat Loo oy D Low i Bean b an2 ak 2 2k 195 one nal dX 2k 3 6 2 Gea 195 121 Exemplo 101 Calcule 1 J sen dz yt e Ot2n Zz Segue do corolério 11 que 1 sen dz 271a Zz onde a 0 restduo de f em z 0 Mas de 195 temos a 0 Assim 1 esentaz 0 Zz Exemplo 102 Calcule I it sen dz yt e Ot2r Zz Usando o teorema 24 temos 1 2 sen 2 sen sendz jdz a dz a2271 Zz y 2 y mas por 195 ag 1 Logo 1 sot dz 271 Zz 122 é Capitulo 20 e e Singularidades Definigao 35 Um ponto z C é um ponto singular isolado ou uma singularidade isolada de uma fungao f se f nao for analitica em z e existir r 0 tal que f analitica em Ao 230 z 2 r Exemplo 103 A origem ponto singular isolado das sequintes funcoes sen z 1 1 filz foz wn EN ede f3z e Definigao 36 Se uma funcao nao for analitica em z e além disso para todo r 0 existir um ponto em Ag onde f também nao analitica diremos que z uma singularidade nao isolada ou ponto singular nao isolado de f Exemplo 104 A origem é uma singularidade nao isolada da fungao fz 1sen1z Basta ver que para cada r 0 tomando n N tal que 1na r f nao analitica em z 1na Definigao 37 Um ponto singular isolado z de uma fungcao f é classificado como 1 Removivel quando existe um nimero complexo c tal que a funao fz sezz gz c SCZ 2 é analitica em um disco centrado em z Em outras palavras existe uma fungao analitica numa vizinhanga de z que coincide com f nesta vizinhanca a menos do ponto Zp 2 Polo quando existirem um inteiro positivo m e um nimero complero c 0 tal que a funcao Z 2 fz SEZ Z we o2 2 c SCZ 2 é analitica em um disco centrado em z Em outras palavras existe uma fungao analitica numa vizinhanga de z que coincide com a fungao z z 2 fz nesta vizinhanga a menos do ponto z e esta fungao diferente de zero em Zp 123 3 Essencial quando nao for removivel nem polo Observagao 46 Seja z um polo de f Suponha que mm2 N ecyc2 C FV ee 0 sejam tats que z 20 fz sez 2 z 20 fz sez F 2 giz gxz Cy S Z 2 C2 SC Z sejam analiticas em um disco centrado em Zp Entao como c e C2 sao diferentes de zero temos Z Z Zo fle z Cc lim z z lim 2 20 lim 2 20F2 mF lim mlz F 0 220 ZZ z Zqm2 2ZZo z Zo fz 220 g2z C2 Mas isto s6 é possivel quando m m2 e consequentemente cy C2 Definigao 38 Diremos que a ordem de um polo de uma fungao f é 0 tnico inteiro que aparece na definigao 2 Observagao 47 Se z uma singularidade removivel de f entdo existe o limite lim fz Observagao 48 Se z um pélo de ordem m de f entdo o limite limz 2 fz existe e diferente de zero Exemplo 105 A origem uma singularidade removivel de fz senzz pois a fungao gz 4 same é inteira para verificar isto use a proposicgao 37 e satisfaz To 1 ony SeN2Z z i z 0 g2 Gn i Zz 7 Exemplo 106 A origem é um pélo de ordem m da fungao fz 12 Basta tomarmos gz 1 na definigao de pélo Exemplo 107 A origem é uma singularidade essencial de fz e Basta notar que para todo inteirom 0 0 limite de f quando z tende a zero nao existe Basta ver que sobre o eixo real temos lim aez 00 x0 124 201 Singularidades e Série de Laurent Um modo simples de classificar uma singularidade isolada de uma funcgao é através de sua série de Laurent De fato se z é uma singularidade isolada de uma funcao f entao para algum r 0 podemos escrever fz S AnZ Zo So anz 2 z Aor n1 n0 Vejamos como identificar uma singularidade removivel Sabemos que z é uma tal singula ridade de f se existir uma funcao analitica definida em um disco centrado em z e que coincida com f a menos do ponto z Esta funcgao g por ser analitica coincide com sua série de Taylor centrada em Zp gz S biz 2 fz S AnZ 2 So an2 2 n0 n1 n0 Agora sabemos que a série de Taylor é a série de Laurent onde os coeficientes das poténcias negativas sao todos nulos Desta forma pela unicidade da série de Laurent temos a 0 n 1 Resumindo z é uma singularidade removivel de f se e somente se todos os coeficientes das poténcias negativas da sua série de Laurent se anulam ou seja a série de Laurent de f 6 uma série de Taylor Passemos agora aos polos Note que z 6 um polo de ordem m de f se e somente se 0 mesmo z for uma singularidade removivel de hz z 2 fz e lim hz c 0 Pelo que acabamos de aprender sobre singularidades removiveis isto equivale 4 série de Laurent de h centrada em Zz ser uma série de Taylor isto 6 hz z Zo fz dbnz Zo e bo im hz 0 em algum Ao Dividindo por z z obtemos z z zat oe n0 j0 com bo 0 Assim para que 2 seja um polo de ordem m de f é necessario e suficiente que os coeficientes ay das poténcias negativas z z da série de Laurent de f em torno de z se anulem para nmlea 0 Finalmente para que z seja uma singularidade essencial de f é necessario e suficiente que na série de Laurent de f em torno de z haja uma infinidade de coeficientes a nao nulos das poténcias negativas z z 125 Exemplo 108 A funcao a fa 2 dh 0z1 apresenta na origem um polo de ordem trés Exemplo 109 A funcdo aye ae baat ya tet get apresenta uma singularidade essencial na origem Exercicio 17 Uma singularidade isolada z de f removtvel se e somente se existe o limite de fz quando z tende a Zp 126 é Capitulo 21 é e wy O Teorema do Residuo e Aplicacoes Teorema 25 Teorema do Residuo Seja f uma fungao analitica definida em um aberto Q Sey um contorno contido em Q tal que no seu interior a funcao f tenha somente singulari dades isoladas e apenas um numero finito delas denotadas por 2 Zn entao ro dz 2ri Res f Res f 211 y com o contorno sendo percorrido no sentido antihorario Prova Tome circulos yt 2 rje 0 t 27 satisfazendo i cada y esta contido no interior de 7 ii se J A Jo entao 7 estd contido no exterior de 7 Y Y2 V1 2 7 Entao por 143 temos t fledeo fle de 7 V1 Yn 127 Aplicando o corolario 11 a cada uma das integrais do lado direito da igualdade acima obtemos ro dz 2ni Res f Res f y i Antes de aplicarmos o teorema acima no calculo de integrais vejamos como podemos pro ceder para o calculo do residuo de uma funcgao f em um polo Zp Se z um polo simples isto é de ordem um entao a série de Laurent de f em torno deste ponto é da seguinte forma aj z AnZ Zo 212 fle SA Lanle 212 Multiplicando a expressao acima por z 2 e tomando o limite quando z tende a z obtemos li Ko li nZ 2t a4 him z 20 f z jim c i 2oa z Zo a Res f Exemplo 110 Encontre o residuo de fz coszz na origem Como cosz zfz é analitica e cos0 1 0 vemos que 0 um polo simples de f Assim Res f9 lim zf2 lim cos 2 1 Se z um polo de ordem m entao aAm Qa1 z ao2 a em Ao fz z z Z2 2 il 0 com am 0 Desta maneira existe uma fungao analitica g definida em um disco centrado em Z satisfazendo gz 0 ee g2 2 20 2 D5 minz 2 n0 dim dmyiZ tes tay z x eee 213 Note que gZo m Derivando 213 9 2 Qing 2dm4o Zo Hes m 1ayz 2 7 e calculando em z 2 obtemos g2 m41 Derivando mais uma vez 2 2amy2 m1m 2ayz 2 2 128 e calculando em z 2 obtemos gz 2am42 Prosseguindo obteremos g m 1laa isto é o residuo de f em z um polo de ordem m é dado por l m1 l dm m j 2 2 2 z a m pi m Dldgr1 I Exemplo 111 A fungao fz coszz tem um polo de ordem dois na origem pois 27 fz cos z que inteira e cos0 1 0 O restduo de f na origem dado por d 5 d cos z sen00 dz 2 f L dz A préxima proposigao apresenta um modo de reconhecermos a ordem de um pélo Proposigao 38 Sejam f eg analiticas em um disco centrado em 2 Se fz 0 eg tem um zero de ordem m em 2 entao h fg tem um polo de ordemm em Zp Prova Como z é um zero isolado de g temos que z 6 uma singularidade isolada de h Também podemos escrever gz 2 2 2 com y analitica em um disco centrado em 2 e satisfazendo yz 4 0 Desta forma fle fz 1 fle Az oo Foe gz 22 pz 2 20 lz E assim z 2 hz que é igual a 4 coincide com uma fungao analitica num disco centrado eem 2 e o 0 Ou seja z 6 um polo de ordem m de h i Mais geralmente temos Proposicao 39 Sejam f eg analtticas em um disco centrado em Zp Se Z um zero de ordem n de f e um zero de ordem m de g entao a fungao h fg 1 tem um zero de ordemnm em Z sen m 2 tem uma singularidade removivel em z sen m 3 tem um polo de ordemmn em z semn 129 Prova Por hipdtese podemos escrever fz z 20wz gz 2 2yz com we yp analiticas num disco centrado em z e tais que wz 0 e yz 4 0 Segue daf que colocando J wy 2 1 hz Za WE 0 ymyzy z 2 plz z 2 e os resultados seguem analisandose o sinal de n m pois V é analitica em um disco centrado em 2 e UzZ 0 i Observacgao 49 Temos um outro modo de calcularmos o residuo no caso de um polo simples Poderiamos também ter utilizado a definicao de polo de ordem um ou mesmo a expressao 212 para obter uma fungao analitica g tal que gz 4 0 com gz 2 2 fz Como gZo a1 0 podemos escrever 1 2 fle glz Derivando esta expressao obtemos 1 gz 2 92 fz 9z que calculada em z fornece i 1 1 1 im 220 fz glo a1 ou seja 1 7 Res f a1 lim a5 pan NA Exemplo 112 Calcule o residuo de fz cot z na origem Como cot z cos z sen z cos0 1 e 0 um zero simples da fungado seno vemos que 0 é um polo simples de f Temos 1 7 1 1 tgz sec z ais lent bes Logo Res f9 1 Exemplo 113 Calcule lemon dz Ver iye onde yt 2e 0t 2r 130 A fungao z I aR weED possui trés pélos nos pontos z 1 duplo isto é de ordem dois z 7 simples e z i simples Note que como todos estes pontos estao contidos no interior de y pelo teorema do residuo temos z dz 271 R Ri R ay Bes Flaca Res flacs Res fla Calculando o residuo em z 1 d d z 12 Ri 17 77 1 7 laa a 0 fli dz UC f dz 4 2 1 Calculando o residuo em z 7 z 1 1 R 4 4 tt es fla lim f Capes Gee Calculando o residuo em z 7 Res f lim 2if2 lim es lim z 7 fz im Pet gi zai z1zi i412i 4 Logo z a 4 dz 271 0 4 0 loayeam 4 O 211 Integrais Improprias Reais O teorema do residuo é ttil no calculo de integrais improprias reais da forma pe fx da Vamos considerar 0 caso em que f é uma fungao racional do tipo f pq onde p e q sao polindmios com coeficientes reais satisfazendo i qx 0 para todo real ii sen éo grau de pe m é0 grau de q entao n m 2 Sabemos de Calculo II que as condigoes acima garantem a existéncia da integral impropria 00 pw dx co 2 131 Proposicgao 40 Sejam p e q polindmios com coeficientes reais satisfazendo i e i acima Entao px a dx 2nisoma dos residuos de pzqz nos polos contidos no semiplano Sz 0 coo Wet Prova Considere 0 contorno yz percorrido no sentido antihorario dado pela justaposicao dos caminhos nrt t Rt Re ort Re 0t 7 onde R 0 Veja 211 YR R R Figura 211 O contorno yp Pelo teorema do residuo z z Maz Macs Pe 9 214 vn U2 ne 2 on U2 2risoma dos residuos de pzqz nos pdlos contidos no interior de yz Note que R 00 t t lim Pe 4 tim PY oy AY oy R00 Ing U2 Roto Jp gt oo 4t pois sabemos que esta integral existe Coloque pZ nz a9 e gZ bmz bo onde n e m sao os graus de p e q respectivamente Se R1 z on isto é z R entao IP2 an2 ao Janl2 Jao S lan laolz eR 132 Também temos bn1 by bo z Bn2 L a2 Pome tb PEt p bm1 oi o p R ja Em PPO bl RR mone Pont nl lim J et 2H tf a R00 lbmR lbmR b R existe Rg 1 tal que V R Ro implica em bp 1 jp Weel Mo bR bR1 b Rr 2 Logo para R Ro temos lbn oo 1 1 lgz 2 Rk isto e 17 ONT i 2 lqz Rm Desta forma para todo R Ro temos R a i max aS lor ec rR 7cd RO on 42 IZR qz Rm Como n m1211 vemos que lim plz dz 0 R 00 OR qz Por fim note que 4 medida que R cresce 0 contorno yg engloba todos pdlos de pq que estao no semiplano Sz 0 O resultado segue de 214 tomando o limite quando R 00 i Exemplo 114 Calcule 00 1 dx v1 Tomando pz 1 e qz 24 1 vemos que as hipoteses da proposicao 40 estao satisfeitas Desta maneira tudo 0 que precisamos saber é onde estao os pédlos de pq no semiplano Sz 0 e o residuo desta funcao nestes pontos Os pélos de pq sao os pontos onde z 1 0 Das quatro rafzes de z4 1 isto é ay 3a 5 Bua in zy e zg e4 3 e4 e Z4 e 4 133 as unicas que estao no semiplano Sz 0 sao z1 e Zo Como 24 1 se fatora em termos lineares como z 21z 22z 23z 24 vemos que os polos de 1z 1 sao simples Para calcularmos o residuo usaremos 0 método da observacao 49 isto é Res 4 1 2A 1 226 ZZo Em 21 1 1 1 1 v2 Res 423 1 2 2A 1 ZZ41 42 deri 8 Em 225 1 1 1 1 V2 Res 42 eS ee 12 zt1 Z22 A423 dewi 4es 8 Assim ts 1 v2 v2 ai 2771 4a 9 Exercicio 18 Sep eq satisfazem as hipoteses da proposicao 214 entao 00 x P2 1 co 9x 2risoma dos restduos de pzqz nos polos contidos no semiplano Sz 0 Mais geralmente temos Proposicao 41 Se f é uma funcao analitica tendo somente singularidades isoladas mas ne nhuma delas sobre o eixo real e que satisfaz fz Mz onde k 1 para todo z com modulo suficientemente grande e Sz 0 entao 00 ta 2risoma dos restduos de fz nas singularidades contidas no semiplano Sz 0 Prova A prova da proposicéo 214 pode ser usada com pequenas modificacoes para mostrar o que se pede A verificacao deste fato é deixada como exercicio i Exemplo 115 Calcule 00 de 215 0 wet 1 134 Como o integrando é par temos 00 00 COS 1 pay q5 ate etl 2 1 A funcao fz ez 1 satisfaz as condicdes da proposicao 41 Para ver isto note que as lnicas singularidades de f sao os pélos simples em z 7 e 2 1 Também se z 2 e Sz 0 temos 1 1 1 glzh 10e 15 Jz 1 0 Jz 1 lal e 6 yo ee tg tea zt jz2 1 2241 7 z1 Logo 00 1x iz e e Pan 271 Res Mas Je e Z 4 e e eC Res lim lim 6a ei oP l sz ti 2 Assim 00 ix e a dr x 1 oe Mas 00 of e cos x sen x cos x dx d dx I eel I l pif eel I me pois a fungao x S55 é impar Portanto cost dna s cost 9 1 2 5 u21 2e CO 212 Outros Tipos de Integrais Suponha que f Rcos6sen seja uma funcgao continua em 0 0 27 A integral 20 Rcos 0 sen 0 dé 0 pode ser calculada com o auxilio do teorema dos resfduos se fizermos a mudanca z e De fato como z e vemos que 9 zt2 241 9 zzt 21 oOoO OO n COU SS ee 2 22 OS 2i Qzi 135 Além do mais ied dz ou seja d0 dz Assim colocando yt e 0 27 e assumindo que a funcao 1 l 21 R2 7 2 MAF Qe Dai esteja definida em z 1 seja analitica sobre y zz 1 e tenha apenas um ntimero finito de singularidades no interior de y e que estas singularidades sejam todas isoladas entao Qn 2 2 1 1 1 Rcos 0 sen 0 dO Rr dz 0 22 221 LZ 1 244 721 27 soma dos residuos de R at om z 1 z 22 221 Exemplo 116 Calcule 20 1 dé 4 sen 6 A fungao 1 0 16 4 sené é uma fungao nos moldes acima Note que sen 6 F 4 Fazendo z e obtemos 2 1 sen a e dé dz 221 az Assim colocando yt e 0 27 obtemos 20 1 1 1 2 dO dz az 216 4 sen0 se 216 Note que 2482i1082744V15i ou 2z4V15i Como 4 V15i 44 V15 1e 4 V15i 4 V15 1 vemos que o tinico pédlo do integrando de 216 que esta no interior do contorno é 4 V15i O resfduo neste ponto é 2 4 V152 Res 2 2 jim 27 Gvbi 2 82t 1 e vagy z44VI5yi 227 8274 1 oi 1 1 in 2o4vii 2 4 V15i VV 15i Portanto 20 1 9 dd z7 4 sen Jin O Terminamos com o calculo da seguinte integral que nao se encaixa em nenhum dos exemplos anteriores 136 Exemplo 117 Calcule xsen x dx x9 ati Considere a fungao ze MO ayy Considere o contorno yg percorrido no sentido antihorario dado pela justaposigao dos caminhos nrt t R t Re oprt Re 0 t a onde R O Veja 211 Como o tinico polo de f no interior do contorno yg é z 7 pelo teorema do residuo temos zee ot zel 2771 Res fz 207 lim 7 dz f 2c zi z e laa tz iz R it iz ze Ze te ze aqet aqu att dz sa op 1 p on etl R R iz tcost tsent Ze dt i dt d Leni if aa sa R 1z tsent ze i meat sr dz R t 1 oR z 1 pois t tcostt 1 é fmpar Se R1ez op isto 6 z Re Rcos iRsen 8 temos zel z R Je z ert z e fsené e fsend zt zt 27 1 z7 4 1 R1 Logo zel T Reicike dz j Re d eS i Reem 1 R QR 2 Rsend dé Rsen dé poaf R1 pois 1 5 T e send do e send do e send do 217 0 0 s e substituindo a a 6 na segunda integral acima obtemos 1 0 0 g e fsend dé e fsenma da e fsena da e fsena da 3 2 2 0 Substituindo a ultima integral em 217 chegamos a 7 z e fsend dé 2 e Rsend dé 0 0 137 Mas se 0 6 72 temos sen 267 Para ver isto considere a funcgao y sen 6 20n 00 72 Como 0 0 y72 e psen60 em0672 vemos que y é uma fungao cuja concavidade é voltada para baixo no intervalo 072 e se anula nos extremos deste intervalo Portanto y 0 em 0 72 como querfamos verificar Voltando a nossa integral temos zel 2R 2 2R 26 1 sR dz rent dg a RE dQ 1 R ss seo R11 7Roit que tende a zero quando R tende a o Portanto t tsent tsent tsent i tim tsent yy 7 0o t2 1 R00 pbll1 e 138