Variaveis Complexas e Aplicações - James Ward Brown e Churchill - 9a Edição

James Ward BROWN Ruel V CHURCHILL VARIÁVEIS COMPLEXAS e Aplicações 9ª EDIÇÃO Mc Graw Hill Education bookman M882v Brown James Ward Variáveis complexas e aplicações recurso eletrônico James Ward Brown Ruel V Churchill tradução Claus Ivo Doering 9 ed Porto Alegre AMGH 2015 Editado como livro impresso em 2015 ISBN 9788580555189 1 Matemática 2 Variável complexa I Churchill Ruel V II Título CDU 51753 Catalogação na publicação Poliana Sanchez de Araujo CRB 102094 JAMES WARD BROWN Professor Emérito de Matemática Universidade de MichiganDearborn RUEL V CHURCHILL Professor Emérito de Matemática falecido Universidade de MichiganDearborn VARIÁVEIS COMPLEXAS e Aplicações 9ª EDIÇÃO Tradução Claus Ivo Doering Professor Titular do Instituto de Matemática da UFRGS Versão impressa desta obra 2015 Mc Graw Hill Education bookman AMGH Editora Ltda 2015 Obra originalmente publicada sob o título Complex Variables and Applications 9th Edition ISBN 9780073383170 0073383171 Original edition copyright 2014 McGrawHill Global Education Holdings LLC New York New York 10121 All rights reserved Portuguese language translation edition copyright 2015 AMGH Editora Ltda a Grupo A Educação SA company All rights reserved Gerente editorial Arysinha Jacques Affonso Colaboraram nesta edição Editora Denise Weber Nowaczyk Capa Márcio Monticelli arte sobre capa original Leitura final Amanda Jansson Breitsameter Editoração Techbooks Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à AMGH EDITORA LTDA uma parceria entre GRUPO A EDUCAÇÃO SA e McGRAWHILL EDUCATION Av Jerônimo de Ornelas 670 Santana 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora Unidade São Paulo Av Embaixador Macedo Soares 10735 Pavilhão 5 Cond Espace Center Vila Anastácio 05095035 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 wwwgrupoacombr IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL SOBRE OS AUTORES JAMES WARD BROWN é Professor Emérito de Matemática da Universidade de MichiganDearborn Graduouse em Física pela Universidade de Harvard e fez mestrado e doutorado em Matemática na Universidade de Michigan em Ann Arbor onde foi distinguido como doutorando pesquisador do Instituto de Ciência e Tecnologia É coautor com o Dr Churchill do livro Fourier Series and Boundary Value Problems atualmente em sua oitava edição Recebeu auxílio para a pesquisa da Fundação Nacional de Ciências dos EUA e foi agraciado com um prêmio como Professor Ilustre pela Associação dos Conselhos das Universidades de Michigan O Dr Brown aparece na lista de Whos Who in the World RUEL V CHURCHILL foi até sua morte em 1987 Professor Emérito de Matemática da Universidade de Michigan onde começou a lecionar em 1922 Graduouse em Física pela Universidade de Chicago e fez mestrado em Física e doutorado em Matemática na Universidade de Michigan É coautor com o Dr Brown do livro Fourier Series and Boundary Value Problems um clássico que ele escreveu há quase 75 nos É autor também de Operational Mathematics Dr Churchill ocupou vários cargos na Associação NorteAmericana de Matemática e em outras sociedades e conselhos de Matemática À memória de meu pai GEORGE H BROWN e de meu coautor e amigo de longa data RUEL V CHURCHILL Durante muitos anos esses ilustres homens da ciência influenciaram a carreira de muitas pessoas inclusive a minha JWB PREFÁCIO Este livro é uma revisão completa da oitava edição publicada em 2009 Aquela edição bem como as anteriores servia como livrotexto para uma disciplina introdutória à teoria de funções de uma variável complexa e suas aplicações Esta nova edição preserva o conteúdo básico e o estilo das edições anteriores sendo que as duas primeiras foram escritas pelo falecido Ruel V Churchill sem coautoria Este livro tem tido sempre dois objetivos principais a desenvolver as partes da teoria que se destacam nas aplicações do assunto b oferecer uma introdução às aplicações de resíduos e aplicações conformes As aplicações de resíduos incluem seu uso no cálculo de integrais reais impróprias na determinação de transformadas de Laplace inversas e na localização de zeros de funções É dada atenção especial ao uso de aplicações conformes na resolução de problemas de valores de fronteira que surgem no estudo da condução do calor e fluxos fluidos Dessa forma esta obra pode ser considerada um volume que acompanha o livro Fourier Series and Boundary Value Problems dos mesmos autores no qual é desenvolvido outro método para a resolução de problemas de valores de fronteira em equações diferenciais parciais Por muitos anos os primeiros nove capítulos deste livro formaram a base de uma disciplina semestral de três horas semanais lecionada na Universidade de Michigan Os últimos três capítulos têm menos modificações e objetivam especialmente o estudo individual e sua utilização como referência O públicoalvo são alunos dos anos finais de cursos de Matemática Engenharias e Física Antes de cursar esta disciplina os alunos completaram pelo menos uma sequência de três semestres de Cálculo e uma primeira disciplina de Equações Diferenciais Se for desejado antecipar o estudo das transformações de funções elementares a ordem do conteúdo do livro pode ser alterada com o Capítulo 8 sendo apresentado ime x PREFÁCIO diatamente após o Capítulo 3 relativo a funções elementares para depois voltar ao Capítulo 4 sobre integrais A seguir mencionamos algumas das alterações desta edição algumas das quais foram sugeridas por alunos e professores que utilizaram esta obra como livrotexto Vários tópicos foram deslocados de suas posições originais Por exemplo embora as funções harmônicas ainda sejam introduzidas no Capítulo 2 as harmônicas conjugadas foram levadas para o Capítulo 9 quando elas são de fato necessárias Outro exemplo é o deslocamento da dedução de uma desigualdade importante na prova do teorema fundamental da Álgebra Capítulo 4 para o Capítulo 1 em que são introduzidas desigualdades relacionadas Isso permite ao leitor se concentrar nessas desigualdades agrupadas e também torna a prova do teorema fundamental da Álgebra relativamente curta e eficiente sem distrair o estudante com essa dedução A introdução do conceito de aplicação no Capítulo 2 foi encurtada nesta edição e nesse capítulo somente enfatizamos a aplicação w z² Isso foi sugerido por alguns usuários da última edição que sentiam que uma apresentação cuidadosa da aplicação w z² seria o suficiente para ilustrar os conceitos necessários no Capítulo 2 Finalmente como a maioria das séries que são discutidas no Capítulo 5 tanto as de Taylor quanto as de Laurent depende da familiaridade do leitor com apenas seis séries de Maclaurin essas séries estão agora agrupadas facilitando a sua busca sempre que forem necessárias para encontrar outras expansões em séries Nesta edição o Capítulo 5 também apresenta uma seção separada depois do Teorema de Taylor dedicada inteiramente às representações de séries envolvendo potências negativas de z z₀ A experiência nos mostrou que isso é especialmente valioso para tornar natural a transição de séries de Taylor para as de Laurent Esta edição contém muitos exemplos novos alguns oriundos de exercícios da última edição Muitas vezes os exemplos seguem em uma seção separada imediatamente após a seção que desenvolveu a teoria sendo ilustrada A clareza do texto foi aumentada tornando as definições mais facilmente identificáveis utilizando texto em negrito O livro conta com quinze figuras novas bem como várias já existentes que foram melhoradas Finalmente quando as demonstrações de teoremas são muito extensas essas provas foram divididas Isso ocorre por exemplo na prova do teorema de três partes referente à existência e ao uso de antiderivadas na Seção 49 O mesmo ocorre na prova do teorema de CauchyGoursat na Seção 51 Para possibilitar o uso do livro pela maior gama possível de leitores apresentamos notas de rodapé referenciando outros textos que fornecem provas e discussões de resultados mais delicados do Cálculo que às vezes são necessários No Apêndice 1 apresentamos uma bibliografia de outros livros de variáveis complexas muitos deles muito mais avançados No Apêndice 2 há uma tabela de transformações conformes que são úteis nas aplicações PREFÁCIO xi Como já mencionamos algumas das mudanças nesta edição foram sugeridas por usuários de edições anteriores Além disso na preparação desta edição contamos com o apoio e interesse contínuo de muitas outras pessoas especialmente da equipe da McGrawHill e de minha esposa Jacqueline Read Brown James Ward Brown SUMÁRIO CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS 1 Somas e produtos 1 Propriedades algébricas básicas 3 Mais propriedades algébricas 5 Vetores e módulo 8 Desigualdade triangular 11 Complexos conjugados 14 Forma exponencial 17 Produtos e potências em forma exponencial 20 Argumentos de produtos e quocientes 21 Raízes de números complexos 25 Exemplos 28 Regiões do plano complexo 32 CAPÍTULO 2 FUNÇÕES ANALÍTICAS 37 Funções e aplicações 37 A aplicação w z² 40 Limites 44 Teoremas de limites 47 Limites envolvendo o ponto no infinito 49 Continuidade 52 Derivadas 55 Regras de derivação 59 Equações de CauchyRiemann 62 Exemplos 64 Condições suficientes de derivabilidade 65 Coordenadas polares 68 Funções analíticas 72 Mais exemplos 74 Funções harmônicas 77 Unicidade de funções analíticas 80 Princípio da reflexão 82 CAPÍTULO 3 FUNÇÕES ELEMENTARES 87 A função exponencial 87 A função logaritmo 90 Exemplos 92 Ramos e derivadas de logaritmos 93 Algumas identidades envolvendo logaritmos 97 A função potência 100 Exemplos 101 As funções trigonométricas sen z e cos z 104 Zeros e singularidades de funções trigonométricas 106 Funções hiperbólicas 109 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas 112 CAPÍTULO 4 INTEGRAIS 115 Derivadas de funções wt 115 Integrais definidas de funções wt 117 Caminhos 120 Integrais curvilíneas 125 Alguns exemplos 128 Exemplos envolvendo cortes 131 Cotas superiores do módulo de integrais curvilíneas 135 Antiderivadas 140 Prova do teorema 145 Teorema de CauchyGoursat 148 Prova do teorema 150 Domínios simplesmente conexos 155 Domínios multiplamente conexos 157 Fórmula integral de Cauchy 162 Uma extensão da fórmula integral de Cauchy 164 Verificação da extensão 167 Algumas consequências da extensão 168 Teorema de Liouville e o teorema fundamental da álgebra 172 Princípio do módulo máximo 174 CAPÍTULO 5 SÉRIES 179 Convergência de sequências 179 Convergência de séries 182 Séries de Taylor 186 Prova do teorema de Taylor 187 Exemplos 189 Potências negativas de z z₀ 193 Séries de Laurent 197 Prova do teorema de Laurent 199 Exemplos 201 Convergência absoluta e uniforme de séries de potências 208 Continuidade da soma de séries de potências 211 Integração e derivação de séries de potências 213 Unicidade de representação em séries 216 Multiplicação e divisão de séries de potências 221 CAPÍTULO 6 RESÍDUOS E POLOS 227 Singularidades isoladas 227 Resíduos 229 Teorema dos resíduos de Cauchy 233 Resíduo no infinito 235 Os três tipos de singularidades isoladas 238 Exemplos 240 Resíduos em polos 242 Exemplos 244 Zeros de funções analíticas 247 Zeros e polos 250 Comportamento de funções perto de singularidades isoladas 255 CAPÍTULO 7 APLICAÇÕES DE RESÍDUOS 259 Cálculo de integrais impróprias 259 Exemplo 262 Integrais impróprias da análise de Fourier 267 Lema de Jordan 269 Um caminho indentado 274 Uma indentação em torno de um ponto de ramificação 278 Integração ao longo de um corte 280 Integrais definidas envolvendo senos e cossenos 284 Princípio do argumento 287 Teorema de Rouché 290 Transformada de Laplace inversa 295 CAPÍTULO 8 TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 299 Transformações lineares 299 A transformação w 1z 301 Transformações de 1z 303 Transformações fracionárias lineares 307 Uma forma implícita 310 Transformações do semiplano superior 313 Exemplos 315 Transformações da função exponencial 319 Transformações de retas verticais por w sen z 320 Transformações de segmentos de reta horizontais por w sen z 322 Algumas transformações relacionadas 324 Transformações de z² 327 Transformações de ramos de z12 328 Raízes quadradas de polinômios 332 Superfícies de Riemann 338 Superfícies de funções relacionadas 341 CAPÍTULO 9 APLICAÇÕES CONFORMES 345 Preservação de ângulos e fatores de escala 345 Mais exemplos 348 Inversas locais 350 Harmônicas conjugadas 353 Transformações de funções harmônicas 357 Transformações de condições de fronteira 360 CAPÍTULO 10 APLICAÇÕES DE TRANSFORMAÇÕES CONFORMES 365 Temperaturas estacionárias 365 Temperaturas estacionárias em um semiplano 367 Um problema relacionado 369 Temperaturas em um quadrante 371 Potencial eletrostático 376 Exemplos 377 Escoamento de fluido bidimensional 382 A função corrente 384 Escoamento ao redor de um canto e de um cilindro 386 CAPÍTULO 11 A TRANSFORMAÇÃO DE SCHWARZ CHRISTOFFEL 393 Transformação do eixo real em um polígono 393 Transformação de SchwarzChristoffel 395 Triângulos e retângulos 398 Polígonos degenerados 402 Escoamento de fluido em um canal através de uma fenda 407 Escoamento em um canal com estreitamento 409 Potencial eletrostático ao redor de um bordo de uma placa condutora 412 CAPÍTULO 12 FÓRMULAS INTEGRAIS DO TIPO POISSON 417 Fórmula integral de Poisson 417 Problema de Dirichlet de um disco 420 Exemplos 422 Problemas de valores de fronteira relacionados 426 Fórmula integral de Schwarz 428 Problema de Dirichlet de um semiplano 430 Problemas de Neumann 433 APÊNDICE 1 BIBLIOGRAFIA 437 APÊNDICE 2 TABELA DE TRANSFORMAÇÕES DE REGIÕES Ver Capítulo 8 441 ÍNDICE 451 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS Neste capítulo exploramos as estruturas algébrica e geométrica do sistema dos números complexos para o que supomos conhecidas várias propriedades correspondentes dos números reais 1 SOMAS E PRODUTOS Os números complexos podem ser definidos como pares ordenados x y de números reais que são interpretados como pontos do plano complexo com coordenadas retangulares x e y da mesma forma que pensamos em números reais x como pontos da reta real Quando exibimos números reais x como pontos x 0 do eixo real escrevemos x x 0 e fica claro que o conjunto dos números complexos inclui o dos reais como subconjunto Os números complexos da forma 0 y correspondem a pontos do eixo y e são denominados números imaginários puros se y 0 Por isso dizemos que o eixo y é o eixo imaginário É costume denotar um número complexo x y por z de modo que ver Figura 1 1 z x y Além disso os números reais x e y são conhecidos como as partes real e imaginária de z respectivamente e escrevemos 2 x Re z y Im z 2 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS Dois números complexos z1 e z2 são iguais sempre que tiverem as mesmas partes reais e imaginárias Assim a afirmação z1 z2 significa que z1 e z2 correspondem ao mesmo ponto do plano complexo ou plano z A soma z1 z2 e o produto z1z2 de dois números complexos z1 x1 y1 e z2 x1 y1 são definidos como segue 3 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 4 x1 y1x2 y2 x1x2 y1y2 y1x2 x1y2 Observe que as operações definidas por meio das equações 3 e 4 resultam nas operações usuais da adição e da multiplicação quando restritas aos números reais x1 0 x2 0 x1 x2 0 x1 0x2 0 x1x2 0 Em vista disso o sistema dos números complexos é uma extensão natural do sistema dos números reais Qualquer número complexo z x y pode ser escrito como z x 0 0 y e é fácil verificar que 0 1y 0 0 y Então z x 0 0 1y 0 e se pensamos em um número real como sendo x ou x 0 e se denotarmos por i o número imaginário puro 0 1 conforme Figura 1 segue que 5 z x iy Também convencionando que z2 zz z3 z2z etc obtemos i2 0 10 1 1 0 ou 6 i2 1 Sendo x y x iy as definições 3 e 4 são dadas por 7 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 iy1 y2 8 x1 iy1x2 iy2 x1x2 y1y2 iy1x2 x1y2 Observe que os lados direitos dessas equações podem ser obtidos manipulando formalmente os termos do lado esquerdo como se envolvessem apenas números reais e depois substituindo i2 por 1 sempre que aparecer esse quadrado Além Na Engenharia Elétrica é utilizada a letra j em vez de i SEÇÃO 2 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS BÁSICAS 3 disso observe que da equação 8 decorre que é zero o produto de qualquer número complexo por zero Mais precisamente z 0 x iy0 i0 0 i0 0 com qualquer z x iy 2 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS BÁSICAS Muitas propriedades da adição e multiplicação de números complexos são iguais às de números reais A seguir listamos as mais básicas dessas propriedades algébricas e verificamos a validade de algumas delas A maioria das outras pode ser encontrada nos exercícios As leis da comutatividade 1 z1 z2 z2 z1 z1z2 z2z1 e as leis da associatividade 2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1z2z3 z1z2z3 seguem imediatamente das definições de adição e multiplicação de números complexos na Seção 1 e do fato de que os números reais têm as propriedades correspondentes O mesmo ocorre com a lei da distributividade 3 zz1 z2 zz1 zz2 EXEMPLO Se z1 x1 y1 e z2 x2 y2 então z1 z2 x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 De acordo com a comutatividade da multiplicação temos iy yi Assim podemos escrever z x yi em vez de z x iy Também pela associatividade uma soma z1 z2 z3 ou um produto z1z2z3 está bem definido sem a utilização de parênteses da mesma forma que ocorre com números reais Os elementos neutros da adição 0 0 0 e da multiplicação 1 1 0 dos números reais também são os elementos neutros dessas operações com todos os números complexos ou seja 4 z 0 z e z 1 z qualquer que seja o número complexo z Além disso 0 e 1 são os únicos números complexos com tais propriedades ver Exercício 8 A cada número complexo z x y está associado um elemento inverso aditivo 5 z x y que satisfaz a equação z z 0 Além disso cada z dado possui um único inverso aditivo pois a equação x y u v 0 0 implica que u x e v y Dado qualquer número complexo não nulo z x y existe um número z1 tal que zz1 1 Esse elemento inverso multiplicativo é menos óbvio que o aditivo Para encontrálo procuremos números reais u e v dados em termos de x e y tais que x yu v 1 0 De acordo com a equação 4 da Seção 1 que define o produto de dois números complexos u e v devem satisfazer o par xu yv 1 yu xv 0 de equações lineares simultaneamente e uma conta simples fornece a solução única u xx2 y2 v yx2 y2 Assim o único elemento inverso multiplicativo de z x y é dado por 6 z1 xx2 y2 yx2 y2 z 0 O elemento inverso z1 não está definido quando z 0 De fato z 0 significa que x2 y2 0 e isso não é permitido na expressão 6 EXERCÍCIOS 1 Verifique que a 2 i i1 2i 2i b 2 32 1 1 8 c 3 13 115 110 2 1 2 Mostre que a Reiz Im z b Imiz Re z 3 Mostre que 1 z2 1 2z z2 4 Verifique que cada um dos dois números z 1 i satisfaz a equação z2 2z 2 0 5 Prove que a multiplicação de números complexos é comutativa como afirmamos no início da Seção 2 6 Verifique a validade da a lei da associatividade da adição de números complexos afirmada no início da Seção 2 b lei da distributividade 3 da Seção 2 7 Use a associatividade da adição e a distributividade para mostrar que zz1 z2 z3 zz1 zz2 zz3 8 a Escreva x y u v x y e indique por que disso decorre que o número complexo 0 0 0 é único como elemento neutro da adição b Analogamente escreva x yu v x y e mostre que o número complexo 1 1 0 é único como elemento neutro da multiplicação 9 Use 1 1 0 e z x y para mostrar que 1z z 10 Use i 0 1 e y y 0 para verificar que iy iy Com isso mostre que o inverso aditivo de um número complexo z x iy pode ser escrito como z x iy sem ambiguidade 11 Resolva a equação z2 z 1 0 em z x y escrevendo x yx y x y 1 0 0 0 e então resolvendo um par de equações simultaneamente em x e y Sugestão mostre que a equação não possui solução real x e que portanto y 0 Resposta z 12 32 3 MAIS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS Nesta seção apresentamos várias propriedades algébricas adicionais da adição e da multiplicação de números complexos que decorrem das já descritas na Seção 2 Como essas propriedades também são perfeitamente antecipáveis já que são válidas com números reais o leitor pode ir diretamente para a Seção 4 sem maiores prejuízos Começamos observando que a existência de inversos multiplicativos nos permite mostrar que se um produto z1z2 for nulo então pelo menos um dos fatores z1 ou z2 deve ser nulo De fato suponha que z1z2 0 e z1 0 O inverso z11 existe e o produto de qualquer número complexo por zero é zero Seção 1 Segue que z2 z2 1 z2z1z11 z11z1z2 z11z1z2 z11 0 0 Assim se z1z2 0 então z1 0 ou z2 0 ou possivelmente ambos os números z1 e z2 são iguais a zero Outra maneira de enunciar esse resultado é a seguinte se dois números complexos z1 e z2 forem não nulos então seu produto z1z2 também será não nulo A subtração e a divisão são definidas em termos de inversos aditivos e multiplicativos 1 z1 z2 z1 z2 2 z1z2 z1z21 z2 0 Assim decorre das afirmações 5 e 6 da Seção 2 que 3 z1 z2 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 e 4 z1z2 x1 y1x2x22 y22 y2x22 y22 x1x2 y1y2x22 y22 y1x2 x1y2x22 y22 z2 0 se z1 x1 y1 e z2 x2 y2 Usando z1 x1 iy1 e z2 x2 iy2 podemos escrever as expressões 3 e 4 como 5 z1 z2 x1 x2 iy1 y2 e 6 z1z2 x1x2 y1y2x22 y22 iy1x2 x1y2x22 y22 z2 0 Embora a expressão 6 não seja facilmente memorizada ela pode ser deduzida da expressão ver Exercício 7 7 z1z2 x1 iy1x2 iy2x2 iy2x2 iy2 multiplicando os produtos no numerador e denominador do lado direito e então usando a propriedade 8 z1 z2z3 z1 z2z31 z1z31 z2z31 z1z3 z2z3 z3 0 A motivação para começar com a expressão 7 aparece na Seção 5 EXEMPLO Esse método de obter o quociente é ilustrado a seguir 4 i2 3i 4 i2 3i2 3i2 3i 5 14i13 513 1413 i Algumas propriedades esperadas envolvendo quocientes de números complexos decorrem da relação 9 1z2 z21 z2 0 que é a equação 2 com z1 1 A relação 9 nos permite por exemplo reescrever a equação 2 na forma SEÇÃO 3 MAIS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS 7 z1z2 z11z2 z2 0 Também observando que ver Exercício 3 z1z2z1¹z2¹ z1z1¹z2z2¹ 1 z1 0 z2 0 e portanto que z1¹z2¹ z1z2¹ podemos usar a relação 9 para mostrar que 1z11z2 z1¹z2¹z1z2¹1z1z2 z10 z20 Outra propriedade útil que será deduzida nos exercícios é z1z3z2z4 z1z2z3z4 z3 0 z4 0 Finalmente observamos que a fórmula do binômio de números reais permanece válida com números complexos Assim se z1 e z2 forem quaisquer números complexos não nulos então z1 z2n Σn sobre k z1k z2nk n1 2 em que n sobre k nknk k012n e 0 1 por convenção A prova dessa fórmula é deixada como exercício Por ser comutativa a soma de números complexos é claro que podemos reescrever essa fórmula como z1 z2n Σn sobre k z1nk z2k n12 EXERCÍCIOS 1 Reduza cada uma das expressões a seguir a um número real a 12i34i 2i5i b 5i1i2i3i c 1i4 Respostas a 25 b 12 c 4 2 Mostre que 11z z z 0 8 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS 3 Use a associatividade e a comutatividade da multiplicação para mostrar que z1z2z3z4 z1z3z2z4 4 Prove que se z1z2z30 então pelo menos um dos três fatores é nulo Sugestão escreva z1z2z30 e use o resultado análogo Seção 3 com dois fatores 5 Deduzca a expressão 6 da Seção 3 para o quociente z1z2 pelo método descrito logo depois da expressão 6 Com o auxílio das relações 10 e 11 da Seção 3 deduza a identidade z1z3z2z4 z1z2z3z4 z3 0 z4 0 7 Use a identidade obtida no Exercício 6 para deduzir a lei do cancelamento z1zz2z z1z2 z2 0 z 0 8 Use indução matemática para verificar a validade da fórmula do binômio 13 da Seção 3 Mais precisamente observe que a fórmula é verdadeira se n1 Em seguida supondo que a fórmula seja válida com algum nm em que m denota algum número inteiro positivo mostre que a fórmula é válida com nm1 Sugestão com nm1 escreva z1z2m1 z1 z2z1 z2m z2 z1 Σm sobre k z1k z2mk Σm sobre k z1k z2m1k Σm sobre k z1k1 z2mk e substitua k por k1 na última soma para obter z1 z2m1 z2m1 Σm sobre k m sobre k m sobre k1 z1k z2m1k z1m1 Finalmente mostre que o lado direito dessa expressão é igual a z2m1 Σm1 sobre k z1k z2m1k Σm1 sobre k z1k z2m1k SEÇÃO 4 VETORES E MÓDULO 9 y 21 1 zxy 2 iy z x iy Figura 2 Se z1 x1 iy1 e z2 x2 iy2 então a soma z1 z2 x1 x2 iy1 y2 corresponde ao ponto x1 x2 y1 y2 e também ao vetor de componentes dados por essas coordenadas Segue que z1 z2 pode ser obtido de maneira vetorial como indicado na Figura 3 y Figura 3 z2 z1 z2 z1 O O x Embora o produto de dois números complexos z1 e z2 seja um número complexo representado por algum vetor esse vetor está no mesmo plano que os vetores que representam z1 e z2 Dessa forma segue que esse produto de números complexos não é nem o produto escalar nem o produto vetorial utilizado na Análise Vetorial usual A interpretação vetorial de números complexos é especialmente útil para estender o conceito de valor absoluto dos números reais ao plano complexo O módulo ou valor absoluto de um número complexo z x iy é definido como o número real não negativo x² y² e denotado por z ou seja 1 z x² y² Segue imediatamente da definição 1 que os números reais z x Re z e y Im z estão relacionados pela equação 2 z² Re z² Im z² Assim 3 Re z Re z z e Imz Im z z Geometricamente o número real z é a distância entre o ponto x y e a origem ou o comprimento do vetor radial que representa z Esse número reduz ao valor absoluto usual do sistema dos números reais quando y0 Observe que a desigualdade z1 z2 carece de qualquer sentido a menos que ambos z1 e z2 sejam números reais mas a afirmação z1 z2 significa que o ponto z1 está mais perto da origem do que o ponto z2 EXEMPLO 1 Como 3 2i 13 e 1 4i 17 vemos que o ponto 3 2i está mais perto da origem do que o ponto 1 4i A distância entre dois pontos x1 y1 e x2 y2 é z1 z2 Isso deve ficar claro na Figura 4 pois z1 z2 é o comprimento do vetor que representa o número z1 z2 z1 z2 e transladando o vetor radial z1 z2 podemos interpretar z1 z2 como o segmento de reta orientado do ponto x2 y2 até o ponto x1 y1 Alternativamente segue da expressão z1 z2 x1 x2 i y1 y2 e da definição 1 que z1 z2 x1 x22 y1 y22 Os números complexos z correspondentes aos pontos que estão no círculo de raio R centrado em z0 satisfazem a equação z z0 R e reciprocamente Dizemos que esse conjunto de pontos é o círculo de equação z z0 R EXEMPLO 2 A equação z 1 3i 2 representa o círculo centrado no ponto z0 1 3 de raio R 2 Nosso exemplo final ilustra o poder do raciocínio geométrico na Análise Complexa quando as contas diretas forem cansativas EXEMPLO 3 Considere o conjunto de todos os pontos z x y que satisfaçam a equação z 4i z 4i 10 Reescrevendo essa equação como z 4i z 4i 10 vemos que ela representa o conjunto de todos os pontos Px y do plano z x y tais que a soma das distâncias aos dois pontos fixados F0 4 e F0 4 é constante e igual a 10 Como se sabe isso é uma elipse de focos F0 4 e F0 4 5 DESIGUALDADE TRIANGULAR Passamos agora à desigualdade triangular que fornece uma cota superior para o módulo da soma de dois números complexos z1 e z2 como segue 1 z1 z2 z1 z2 Essa desigualdade importante é geometricamente evidente a partir da Figura 3 na Seção 4 pois é simplesmente a afirmação de que o comprimento de um dos lados de um triângulo é menor do que ou igual à soma dos comprimentos dos dois outros lados Também podemos ver na Figura 3 que a desigualdade 1 é uma igualdade quando os pontos 0 z1 e z2 forem colineares Uma dedução estritamente algébrica dessa desigualdade é dada no Exercício 15 da Seção 6 Uma consequência imediata da desigualdade triangular é que 2 z1 z2 z1 z2 Para obter 2 escrevemos z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 o que significa que 3 z1 z2 z1 z2 Isso é a desigualdade 2 se z1 z2 No caso z1 z2 basta trocar z1 com z2 na desigualdade 3 para obter z1 z2 z1 z2 que é o resultado procurado Claramente a desigualdade 2 nos diz que o comprimento de um dos lados de um triângulo é maior do que ou igual à diferença dos comprimentos dos dois outros lados Como z2 z2 podemos trocar z2 por z2 nas desigualdades 1 e 2 para obter z1 z2 z1 z2 e z1 z2 z1 z2 Ocorre que na prática basta usar somente as desigualdades 1 e 2 o que está ilustrado no exemplo a seguir EXEMPLO 1 Se um ponto z estiver no círculo unitário z 1 as desigualdades 1 e 2 fornecem z 2 z 2 z 2 1 2 3 e z 2 z 2 z 2 1 2 1 A desigualdade triangular 1 pode ser generalizada por meio da indução matemática para somas com qualquer número finito de termos como segue 4 z1 z2 zn z1 z2 zn n 2 3 A prova por indução dessa afirmação começa com a observação de que a desigualdade 4 com n 2 coincide com a desigualdade 1 Além disso se a desigualdade 4 for válida com algum n m ela também será válida com n m 1 pois usando 1 temos z1 z2 zm zm1 z1 z2 zm zm1 z1 z2 zm zm1 EXEMPLO 2 Seja z um número complexo qualquer do círculo z 2 A desigualdade 4 nos diz que 3 z z2 3 z z2 Como z2 z2 é garantido pelo Exercício 8 obtemos 3 z z2 9 EXEMPLO 3 Dados um inteiro positivo n e constantes complexas a0 a1 a2 am com an 0 dizemos que a quantidade 5 Pz a0 a1z a2z2 anzn é um polinômio de grau n Mostremos que existe algum número positivo R tal que o recíproco 1Pz satisfaz a desigualdade 6 1Pz 2anRn se z R Geometricamente isso nos diz que o módulo do recíproco 1Pz é limitado superiormente com z fora do círculo z R Essa importante propriedade de polinômios será utilizada adiante no Capítulo 4 na Seção 58 mas apresentamos sua demonstração aqui porque ela exemplifica o uso das desigualdades vistas nesta seção bem como as identidades z1z2 z1z2 e zn zn n 1 2 a serem obtidas nos Exercícios 8 e 9 Inicialmente escrevemos 7 w a0zn a1zn1 a2zn2 an1z z 0 de modo que 8 Pz an wzn se z 0 Em seguida multiplicamos os dois lados de 7 por zn obtendo w zn a0 a1 z a2 z2 an1zn1 Isso nos diz que w zn a0 a1z a2z2 an1zn1 ou w a0zn a1zn1 a2zn2 an1z 9 Agora observe que é possível encontrar um número positivo R tão grande tal que cada um dos quocientes do lado direito de 9 seja menor do que o número an2n se z R de modo que w n an2n an2 se z R Consequentemente an w an w an2 se z R e tendo em vista a equação 8 10 Pnz an wzn an2 zn an2 Rn se z R A afirmação 6 decorre imediatamente EXERCÍCIOS 1 Encontre os números z1 z2 e z1 z2 como vetores sendo a z1 2i z2 23 i b z1 3 1 z2 3 0 c z1 3 1 z2 1 4 d z1 x1 i y1 z2 x1 i y1 2 Verifique a validade das desigualdades envolvendo Re z Im z e z dadas em 3 da Seção 4 3 Use as propriedades demonstradas do módulo para mostrar que se z3 z4 então Rez1 z2 z3 z4 z1 z2 z3 z4 4 Verifique que 2z Re z Im z Sugestão reduza essa desigualdade a x y2 0 5 Em cada caso esboce o conjunto de pontos determinados pela condição dada a z 1 i 1 b z i 3 c z 4i 4 6 Lembre que z1 z2 é a distância entre os pontos z1 e z2 e dê um argumento geométrico para mostrar que z 1 z i representa a reta pela origem de inclinação 1 7 Mostre que se R for suficientemente grande o polinômio Pz do Exemplo 3 da Seção 5 satisfaz a desigualdade Pz 2an zn se z R Sugestão observe que existe algum número positivo R tal que o módulo de cada quociente do lado direito da desigualdade 9 da Seção 5 é menor do que ann se z R 8 Sejam z1 e z2 dois números complexos quaisquer z1 x1 i y1 e z2 x2 i y2 Use argumentos algébricos simples para mostrar que x1 i y1x2 i y2 e x12 y12x22 y22 são iguais e deduza disso a validade da identidade z1 z2 z1 z2 9 Use o resultado final do Exercício 8 e indução matemática para mostrar que zn zn n 1 2 com qualquer número complexo z Ou seja depois de verificar que essa identidade é óbvia se n 1 suponha sua validade se n m for algum inteiro positivo e então demonstre sua validade se n m 1 6 COMPLEXOS CONJUGADOS O complexo conjugado ou simplesmente o conjugado de um número complexo z x i y é definido como o número complexo x i y e denotado por barz ou seja 1 barz x i y O número barz é representado pelo ponto x y que é a reflexão pelo eixo real do ponto x y que representa z Figura 5 Observe que barz z e barz z qualquer que seja z Se z1 x1 i y1 e z2 x2 i y2 então overlinez1 z2 x1 x2 iy1 y2 x1 i y1 x2 i y2 Assim o conjugado da soma é a soma dos conjugados 2 overlinez1 z2 overlinez1 overlinez2 De maneira análoga é fácil mostrar que 3 overlinez1 z2 overlinez1 overlinez2 4 overlinez1 z2 overlinez1 overlinez2 e 5 overlinez1 z2 overlinez1 overlinez2 z2 0 A soma z barz de um número complexo z x i y e seu conjugado barz x i y é o número real 2x e a diferença z barz é 2 i y ou seja 6 Re z z barz 2 e Im z z barz 2 i Uma identidade importante que relaciona o conjugado de um número complexo z x i y com seu módulo é 7 z barz z2 em que cada lado da igualdade é igual a x2 y2 Isso sugere um método para determinar um quociente z1 z2 que começa com a expressão 7 da Seção 3 Nesse método é claro começamos multiplicando o numerador e o denominador de z1 z2 por barz2 de modo que o denominador passa a ser o número real z22 EXEMPLO 1 Ilustramos esse método com 1 3 i 2 i 1 3 i2 i 2 i2 i 5 5 i 2 i2 5 5 i 5 1 i Ver também o exemplo da Seção 3 A identidade 7 é especialmente útil na obtenção de propriedades do módulo a partir das propriedades do conjugado que acabamos de ver Mencionamos que compare com o Exercício 8 da Seção 5 8 z1 z2 z1 z2 Também 9 z1 z2 z1 z2 z2 0 A propriedade 8 pode ser estabelecida escrevendo z1 z22 z1 z2overlinez1 z2 z1 z2overlinez1 overlinez2 z1 overlinez1z2 overlinez2 z12 z22 z1 z22 e lembrando que um módulo nunca é negativo A propriedade 9 pode ser mostrada de maneira análoga EXEMPLO 2 A propriedade 8 nos diz que z² z² e z³ z³ Assim se z for um ponto dentro do círculo centrado na origem e de raio 2 ou seja z 2 segue da desigualdade triangular generalizada 4 da Seção 5 que z³ 3z² 2z 1 z³ 3z² 2z 1 25 EXERCÍCIOS 1 Use as propriedades dos conjugados e módulos estabelecidas na Seção 6 para mostrar que a z 3i z 3i b iz iz c 2 i² 3 4i d 2z 52 i 3 2z 5 2 Esboce o conjunto de pontos determinados pela condição dada a Rez i 2 b 2z i 4 3 Verifique a validade das propriedades dos conjugados dadas em 3 e 4 da Seção 6 4 Use a propriedade dos conjugados 4 da Seção 6 para mostrar que a z1z2z3 z1 z2 z3 b z⁴ z⁴ 5 Verifique a validade da propriedade do módulo dadas em 9 da Seção 6 6 Use os resultados da Seção 6 para mostrar que sendo z2 e z3 não nulos valem a z1z2z3 z1z2 z3 b z1z2z3 z1z2z3 7 Mostre que Re2 z z³ 4 se z 1 8 Foi mostrado na Seção 3 que se z1z2 0 então pelo menos um dos números z1 e z2 deve ser zero Forneça uma prova alternativa usando o resultado correspondente para números reais e a identidade 8 da Seção 6 9 Fatorando z⁴ 4z² 3 em dois fatores quadráticos e usando a desigualdade 2 da Seção 5 mostre que se z estiver no círculo z 2 então 1z⁴ 4z² 3 13 10 Prove que a z é real se e só se z z b z é real ou imaginário puro se e só se z² z² 11 Use indução matemática para mostrar que se n 2 3 então a z1 z2 zn z1 z2 zn b z1z2 zn z1 z2 zn 12 Sejam a0 a1 a2 an n 1 números reais e z algum número complexo Usando os resultados do Exercício 11 mostre que a0 a1z a2z² anzn a0 a1z a2z² anzn 13 Mostre que a equação z z0 R de um círculo centrado em z0 e de raio R pode se escrita como z² 2 Rezz0 z0² R² 14 Usando as expressões para Re z e Im z dadas em 6 da Seção 6 mostre que a hipérbole x² y² 1 pode ser escrita como z² z² 2 15 Seguindo os passos indicados obtenha uma dedução algébrica da desigualdade triangular Seção 5 z1 z2 z1 z2 a Mostre que z1 z2² z1 z2z1 z2 z1z1 z1z2 z1z2 z2z2 b Prove que z1z2 z1z2 2 Rez1z2 2z1z2 c Use os resultados das partes a e b para obter a desigualdade z1 z2² z1 z2² e verifique que dela decorre a desigualdade triangular 7 FORMA EXPONENCIAL Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto x y que corresponde a um número complexo z x iy não nulo Como x r cos θ e y r sen θ podemos escrever o número z em forma polar como 1 z r cos θ i sen θ A coordenada θ não está definida se z 0 de modo que fica entendido que z 0 sempre que estivermos usando coordenadas polares O número real r não pode ser negativo na Análise Complexa e é o comprimento do vetor radial que representa z ou seja r z O número real θ representa o ângulo medido em radianos que z faz com o eixo real positivo interpretando z como um vetor radial Figura 6 Como em Cálculo θ tem um número infinito de possíveis valores inclusive negativos que diferem por algum múltiplo inteiro de 2π Esses valores podem ser determinados pela equação tg θ yx em que devemos especificar o quadrante que contém o ponto correspondente a z Cada valor de θ é um argumento de z e o conjunto de todos esses valores é denotado por arg z O valor principal de arg z denotado por Arg z é o único valor θ tal que π Θ π Evidentemente segue que 2 arg z Arg z 2nπ n 0 1 2 Também quando z for um número real negativo o valor de Arg z é π não π Figura 6 EXEMPLO 1 O número complexo 1 i que está no terceiro quadrante tem argumento principal 3π4 ou seja Arg1 i 3π4 Deve ser enfatizado que pela restrição π Θ π do argumento principal Θ não é verdade que Arg1 i 5π4 De acordo com a equação 2 arg1 i 3π4 2nπ n 0 1 2 Observe que o termo Arg z do lado direito da equação 2 pode ser substituído por qualquer valor particular de arg z e que podemos escrever por exemplo arg1 i 5π4 2nπ n 0 1 2 O símbolo eiθ ou expiθ é definido por meio da fórmula de Euler como 3 eiθ cos θ i sen θ em que θ deve ser medido em radianos Essa fórmula nos permite escrever a forma polar 1 mais compactamente em forma exponencial como 4 z reiθ A escolha do símbolo eiθ será justificada adiante na Seção 30 No entanto seu uso na Seção 8 sugere que a escolha desse símbolo é natural EXEMPLO 2 O número 1 i do Exemplo 1 tem forma exponencial 5 1 i 2 expi3π4 Se concordarmos com a identidade eiθ eiθ isso também pode ser escrito como 1 i 2 ei3π4 A expressão 5 é claramente apenas uma das infinitas possibilidades para a forma exponencial de 1 i a saber 6 1 i 2 expi3π4 2nπ n 0 1 2 Observe que a expressão 4 com r 1 nos diz que os números eiθ estão no círculo centrado na origem e de raio unitário como mostra a Figura 7 Segue que os valores de eiθ podem ser obtidos diretamente dessa figura sem referência à fórmula de Euler Por exemplo é geometricamente evidente que eiπ 1 eiπ2 i ei4π 1 Figura 7 Observe também que a equação 7 z Reiθ 0 θ 2π é uma representação paramétrica do círculo z R centrado na origem e de raio R À medida que o parâmetro θ aumenta de θ 0 até θ 2π o ponto z começa do eixo real positivo e percorre o círculo uma vez no sentido antihorário Geralmente o círculo z z0 R centrado em z0 e de raio R tem a representação paramétrica 8 z z0 Reiθ 0 θ 2π Isso pode ser conferido através de vetores Figura 8 observando que um ponto z percorrendo o círculo z z0 R uma vez no sentido antihorário corresponde à soma do vetor fixo z0 e um vetor de comprimento R cujo ângulo de inclinação θ varia de θ 0 até θ 2π Figura 8 8 PRODUTOS E POTÊNCIAS EM FORMA EXPONENCIAL A trigonometria nos diz que eiθ tem a propriedade aditiva conhecida da função exponencial do Cálculo eiθ1 eiθ2 cos θ1 i sen θ1cos θ2 i sen θ2 cos θ1 cos θ2 sen θ1 sen θ2 isen θ1 cos θ2 cos θ1 sen θ2 cosθ1 θ2 i senθ1 θ2 eiθ1θ2 Assim se z1 r1 eiθ1 e z2 r2 eiθ2 então o produto z1 z2 tem a forma exponencial 1 z1 z2 r1 eiθ1 r2 eiθ2 r1 r2 eiθ1 eiθ2 r1 r2 eiθ1θ2 Além disso 2 z1 z2 r1 eiθ1 r2 eiθ2 r1 r2 eiθ1 eiθ2 eiθ2 eiθ2 r1 r2 eiθ1 θ2 ei0 r1 r2 eiθ1 θ2 Dessa expressão 2 segue que o elemento inverso de qualquer número complexo não nulo z reiθ é 3 z1 1z 1r eiθ 1r eiθ 1r ei0 θ 1r eiθ As expressões 1 2 e 3 são facilmente lembradas usando as regras algébricas conhecidas de números reais e da potência ex Outro resultado importante que pode ser formalmente deduzido aplicando as regras de números reais a z reiθ é 4 zn rn ei nθ n 0 1 2 Isso pode ser facilmente verificado para valores positivos de n por indução matemática Mais precisamente observe que essa relação é simplesmente z reiθ se n 1 Em seguida suponha que a identidade seja válida se n m em que m denota algum número inteiro positivo Em vista da expressão 1 do produto de dois números complexos não nulos em forma exponencial segue que a identidade é válida com n m 1 zm1 zm z rm ei mθ r eiθ rm r eimθθ rm1 eim1θ Dessa forma demonstramos a validade da expressão 4 com n inteiro positivo A fórmula também se n 0 convencionando que z0 1 Por outro lado se n 1 2 definimos zn em termos do inverso multiplicativo de z escrevendo zn z1m se m n 1 2 Como a equação 4 é válida com inteiros positivos segue da forma exponencial 3 de z1 que zn 1r eiθm 1rm ei mθ 1rn einθ rn ei nθ n 1 2 Assim estabelecemos a validade da expressão 4 com qualquer potência inteira A expressão 4 pode ser útil para encontrar potências de números complexos mesmo se eles forem dados em coordenadas retangulares x y e o resultado for procurado nessas coordenadas EXEMPLO 1 Para deixar 1 i7 em forma retangular escrevemos 1 i7 2 ei 3π47 272 ei 21π4 23 ei5π 212 eiπ4 Como 23 ei5π 81 8 e 212 ei π4 2 cos π4 i sen π4 2 12 i2 1 i chegamos no resultado procurado 1 i7 81 i Observe finalmente que se r 1 a equação 4 fornece 5 eiθn ei nθ n 0 1 2 Escrita na forma polar a fórmula 6 cos θ i sen θn cos nθ i sen nθ n 0 1 2 é conhecida como fórmula de de Moivre No exemplo seguinte utilizamos um caso especial EXEMPLO 2 Usando n 2 na fórmula 6 obtemos cos θ i sen θ2 cos 2θ i sen 2θ ou cos2 θ sen2 θ i 2 sen θ cos θ cos 2θ i sen 2θ Igualando as partes real e imaginária obtemos as conhecidas identidades trigonométricas cos 2θ cos2 θ sen2 θ sen 2θ 2 sen θ cos θ Ver também os Exercícios 10 e 11 da Seção 9 9 ARGUMENTOS DE PRODUTOS E QUOCIENTES Se z1 r1 ei θ1 e z2 r2 ei θ2 a expressão 1 z1 z2 r1 r2 ei θ1 θ2 da Seção 8 pode ser usada para obter uma identidade importante referente a argumentos 2 argz1 z2 arg z1 arg z2 22 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS Essa equação deve ser interpretada como segue se dois de três argumentos forem especificados dentre as infinitas possibilidades então existe um valor do terceiro argumento que torna válida a equação Para verificar a afirmação 2 começamos tomando θ1 e θ2 como valores quaisquer de arg z1 e arg z2 respectivamente Então a expressão 1 nos diz que θ1 θ2 é um valor de argz1z2 Ver Figura 9 Caso comecemos com a especificação de valores de argz1z2 e arg z1 esses valores correspondem a escolhas particulares de n e n1 nas expressões argz1z2 θ1 θ2 2nπ n0 1 2 e arg z1 θ1 2n1π n1 0 1 2 Como θ1 θ2 2nπ θ1 2n1π θ2 2n n1π a equação 2 certamente é válida se escolhermos o valor arg z2 θ2 2n n1π Finalmente caso comecemos especificando os valores de argz1z2 e argz2 basta observar que podemos reescrever 2 como argz2z1 arg z2 arg z1 Figura 9 Às vezes a afirmação é válida substituindo todos os arg por Arg ver Exercício 6 No entanto como mostra o exemplo a seguir nem sempre isso ocorre EXEMPLO 1 Tomando z1 1 e z2 i obtemos Argz1z2 Argi π2 mas Arg z1 Arg z2 π π2 3π2 No entanto tomando esses mesmos valores de arg z1 e arg z2 e selecionando o valor Argz1z2 2π π2 2π 3π2 SEÇÃO 9 ARGUMENTOS DE PRODUTOS E QUOCIENTES 23 de argz1z2 a equação 2 é satisfeita A afirmação 2 nos diz que argz1z2 argz1z21 arg z1 arg z21 e como Seção 8 z21 1r2 eiθ2 podemos ver que 3 argz21 arg z2 Segue que 4 argz1z2 arg z1 arg z2 Novamente a afirmação 3 deve ser interpretada como segue o conjunto de todos os valores do lado esquerdo da equação é igual ao conjunto de todos os valores do lado direito Segue que a afirmação 4 deve ser interpretada da mesma maneira que a equação 2 EXEMPLO 2 Utilizemos a afirmação 4 para encontrar o valor principal Arg z de z i1 i Começamos escrevendo arg z arg i arg 1 i Como Arg i π2 e Arg 1 i 3π4 um valor de arg z é 5π4 Ocorre que esse não é um valor principal Θ que deve satisfazer π Θ π No entanto obtemos esse valor somando um múltiplo inteiro possivelmente negativo de 2π Argi1 i 5π4 2π 3π4 EXERCÍCIOS 1 Encontre o valor principal Arg z sendo a z 21 3i b z 3 i6 Respostas a 2π3 b π 24 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS 2 Mostre que a eiθ 1 b eiθ eiθ 3 Use indução matemática para mostrar que eiθ1 eiθ2 eiθn eiθ1 θ2 θn n 2 3 4 Usando o fato de que eiθ 1 é a distância entre os pontos eiθ e 1 ver Seção 4 dê um argumento geométrico para encontrar um valor de θ no intervalo 0 θ 2π tal que eiθ 1 2 Resposta π 5 Escrevendo cada fator individual do lado esquerdo em forma exponencial efetuando as operações indicadas e finalmente convertendo para coordenadas retangulares mostre que a i1 3i3 i 21 3i b 5i2 i 1 2i c 3 i6 64 d 1 3i10 2111 3i 6 Mostre que se Re z1 0 e Re z2 0 então Argz1z2 Arg z1 Arg z2 usando valores principais dos argumentos 7 Sejam z um número complexo não nulo e n um inteiro negativo n 1 2 Também escreva z reiθ e considere m n 1 2 Usando as expressões zmn rm eimθ e z1 1r eiθ verifique que zm1 z1m e que consequentemente a definição zn z1m da Seção 7 poderia ter sido escrita alternativamente como zn zm1 8 Prove que dois números complexos z1 e z2 têm o mesmo módulo se e só se existem números complexos c1 e c2 tais que z1 c1c2 e z2 c1c2 Sugestão observe que expiθ1 θ22 expiθ1 θ22 expiθ1 e ver Exercício 2b expiθ1 θ22 expiθ1 θ22 expiθ2 9 Estabeleça a validade da identidade 1 z z2 zn 1 zn 11 z z 1 e usea para deduzir a identidade trigonométrica de Lagrange 1 cos θ cos 2θ cos nθ 12 sen2n 1θ22 senθ2 0 θ 2π Sugestão para a primeira identidade escreva S 1 z z2 zn e considere as diferenças S zS Para a segunda escreva z eiθ na primeira 10 Use a fórmula de de Moivre Seção 8 para deduzir as seguintes identidades trigonométricas a cos 3θ cos³ θ 3 cos θ sen² θ b sen 3θ 3 cos² θ sen θ sen³ θ 11 a Use a fórmula do binômio 14 da Seção 3 e a fórmula de de Moivre Seção 8 para escrever cos nθ i sen nθ n choose k cosnkθ i sen θk n 0 1 2 Em seguida defina o inteiro m pelas equações m n2 sendo n par n12 sendo n ímpar e use a fórmula do somatório para mostrar que compare com o Exercício 10a cos nθ n choose 2k1k cosn2kθ sen2kθ n 0 1 2 b Escreva x cos θ no último somatório da parte a para obter o polinômio Tₙx n choose 2k1k xn2k1 x²k de grau n n 0 1 2 na variável x 10 RAÍZES DE NÚMEROS COMPLEXOS Considere agora um ponto z reiθ do círculo centrado na origem e de raio r Figura 10 À medida que θ cresce z gira em torno do círculo no sentido antihorário Em particular quando θ cresce 2π voltamos ao ponto de partida e o mesmo ocorre quando θ decresce 2π Segue portanto da Figura 10 que dois números complexos não nulos z₁ r₁eiθ₁ e z₂ r₂eiθ₂ Figura 10 Esses polinômios importantes na teoria da aproximação são denominados polinômios de Chebyshev são iguais se e só se r₁ r₂ e θ₁ θ₂ 2kπ em que k é um inteiro qualquer k 0 1 2 Essa observação junto com a expressão zⁿ rⁿ einθ da Seção 8 para as potências inteiras de números complexos z reiθ é útil para encontrar as raízes enésimas de qualquer número complexo não nulo z₀ r₀ eiθ₀ em que n 2 3 Esse método começa com a observação de que uma raiz enésima de z₀ é algum número não nulo z reiθ tal que zⁿ z₀ ou rⁿ einθ r₀ eiθ₀ De acordo com a afirmação acima em itálico temos rⁿ r₀ e nθ θ₀ 2kπ em que k é algum inteiro k 0 1 2 Logo r ⁿr₀ sendo que esse radical denota a única raiz enésima positiva do número real positivo r₀ e θ θ₀ 2kπn θ₀n 2kπn k 0 1 2 Consequentemente os números complexos z ⁿr₀ expiθ₀n 2kπn k 0 1 2 são raízes enésimas de z₀ A partir dessa forma exponencial das raízes vemos imediatamente que todas elas pertencem ao círculo z ⁿr₀ centrado na origem e estão igualmente espaçadas a cada 2πn radianos começando no argumento θ₀n Decorre disso que obtemos todas as raízes distintas quando tomamos k 0 1 2 n 1 e que não aparecem mais raízes com outros valores de k Denotamos essas raízes distintas por cₖ k 0 1 2 n 1 e escrevemos 1 cₖ ⁿr₀ expiθ₀n 2kπn k 0 1 2 n 1 Ver Figura 11 Figura 11 O número ⁿr₀ é o comprimento de cada um dos vetores radiais que representam as n raízes A primeira raiz c₀ tem o argumento θ₀n quando n 2 as duas raízes estão em extremidades opostas de um diâmetro do círculo z ⁿr₀ a segunda raiz sendo c₀ Quando n 3 as raízes ocupam os vértices de um polígono regular de n lados inscrito naquele círculo Denotamos por z₀1n o conjunto das raízes enésimas de z₀ Se em particular z₀ for um número real positivo r₀ então o símbolo r₀1n denota todo o conjunto de raízes e o símbolo ⁿr₀ em 1 fica reservado para a única raiz positiva Quando o valor de θ₀ utilizado na expressão 1 for o valor principal de z₀ π θ₀ π dizemos que c₀ é a raiz principal Assim se z₀ for um número real positivo r₀ então ⁿr₀ é sua raiz principal Observe que reescrevendo a expressão 1 das raízes de z₀ como cₖ ⁿr₀ expiθ₀n expi2kπn k 0 1 2 n 1 e também denotando 2 ωₙ expi2πn segue da propriedade 5 da Seção 8 de eiθ que 3 ωₙk expi2kπn k 0 1 2 n 1 e portanto que 4 cₖ c₀ ωₙk k 0 1 2 n 1 É claro que esse número c₀ pode ser substituído por qualquer raiz enésima de z₀ já que ωₙ representa uma rotação antihorária por um ângulo de 2πn radianos Concluímos esta seção com uma maneira conveniente de lembrar da expressão 1 escrevendo z₀ em sua forma exponencial mais geral compare com o Exemplo 2 da Seção 7 5 z₀ r₀ eiθ₀2kπ k 0 1 2 e aplique formalmente as leis de expoentes fracionários dos números reais lembrando que existem precisamente n raízes cₖ r₀ eiθ₀2kπ1n ⁿr₀ expiθ₀ 2kπn ⁿr₀ expiθ₀n 2kπn k 0 1 2 n 1 Nos exemplos da próxima seção ilustramos esse método de encontrar raízes de números complexos 11 EXEMPLOS Em cada um dos exemplos seguintes começamos com a expressão 5 da Seção 10 e procedemos da maneira descrita ao final daquela seção EXEMPLO 1 Determinemos todos os quatro valores de 1614 ou seja todas as raízes quartas do número 16 Basta escrever 16 16 expi π 2kπ k 0 1 2 para ver que as raízes procuradas são 1 ck 2 exp i π 4 kπ 2 k 0 1 2 3 Essas raízes constituem os vértices de um quadrado inscrito no círculo z 2 e estão igualmente espaçadas em torno do círculo começando com o valor principal Figura 12 c0 2 exp i π 4 2 cos π 4 i sen π 4 2 1 2 i 1 2 2 1 i Sem maiores contas fica evidente que c1 2 1 i c2 2 1 i e c3 2 1 i Observe que das expressões 2 e 4 da Seção 10 decorre que essas raízes também podem ser escritas como c0 c0ω4 c0ω42 c0ω43 sendo ω4 exp i π 2 Figura 12 EXEMPLO 2 Para determinar as raízes enésimas da unidade começamos com 1 1 expi 0 2kπ k 0 1 2 e obtemos 2 ck n1 exp i 0 n 2kπ n exp i 2kπ n k 0 1 2 n 1 Se n 2 essas raízes evidentemente são 1 Se n 3 as raízes constituem os vértices de um polígono regular inscrito no círculo z 1 com um vértice correspondendo à raiz principal z 1 k 0 Tendo em vista a expressão 3 da Seção 10 essas raízes são simplesmente 1 ωn ωn2 ωnn1 em que ωn exp i 2π n Na Figura 13 apresentamos os casos n 3 4 e 6 Observe que ωnn 1 Figura 13 EXEMPLO 3 Seja a um número real positivo qualquer Para encontrar as duas raízes quadradas de a i escrevemos A a i a2 1 e α Arga i Como a i A exp iα 2kπ k 0 1 2 as raízes quadradas procuradas são 3 ck A exp i α 2 kπ k 0 1 Como eiπ 1 esses dois valores de a i12 são simplesmente 4 c0 A ei α 2 e c1 c0 Pela fórmula de Euler obtemos 5 c0 A cos α 2 i sen α 2 Como a i está acima do eixo real sabemos que 0 α π e portanto que cos α 2 0 e sen α 2 0 Usando as identidades trigonométricas cos2 α 2 1 cos α 2 sen2 α 2 1 cos α 2 podemos colocar as expressões 5 na forma 6 c0 A 1 cos α 2 i 1 cos α 2 No entanto cos α a A e portanto 7 1 cos α 2 1 aA 2 A a 2A Consequentemente segue das expressões 6 e 7 bem como da relação c1 c0 que as duas raízes quadradas de a i com a 0 são ver Figura 14 8 1 2 A a i A a Figura 14 EXERCÍCIOS 1 Encontre as raízes quadradas de a 2i b 1 3 i e expresseas em coordenadas retangulares Respostas a 1 i b 3 i 2 2 Encontre as três raízes cúbicas ck k 0 1 2 de 8i expressandoas em coordenadas retangulares e justificando por que formam o triângulo da Figura 15 Resposta 3 i 2i Figura 15 3 Encontre 8 83i14 expresse as raízes em coordenadas retangulares exibaas como vértices de um certo quadrado e indique qual delas é a raiz principal Resposta 3 i 1 3i 4 Em cada caso encontre todas as raízes em coordenadas retangulares exibaas como vértices de certos polígonos regulares e identifique a raiz principal a 113 b 816 Resposta b 2 1 3i2 1 3i2 5 De acordo com a Seção 10 as três raízes cúbicas de um número complexo não nulo z₀ podem ser escritas como c₀ c₀ω₃ c₀ω₃² em que c₀ é a raiz cúbica principal de z₀ e ω₃ expi 2π3 1 3i2 Mostre que se z₀ 42 42i então c₀ 21 i e as duas outras raízes cúbicas em forma retangular são os números c₀ω₃ 3 1 3 1i 2 c₀ω₃² 3 1 3 1i 2 6 Encontre os quatro zeros do polinômio z⁴ 4 sendo um deles z₀ 2 eiπ4 1 i Em seguida use esses zeros para fatorar z² 4 em fatores quadráticos de coeficientes reais Resposta z² 2z 2z² 2z 2 7 Mostre que se c for qualquer raiz enésima da unidade diferente de 1 então 1 c c² cⁿ¹ 0 Sugestão use a primeira identidade do Exercício 9 da Seção 9 8 a Prove que a fórmula conhecida de resolver equações quadráticas resolve a equação az² bz c 0 a 0 também se os coeficientes a b e c forem números complexos Mais precisamente completando o quadrado do lado esquerdo da equação deduza a fórmula quadrática z b b² 4ac¹² 2a em que se consideram ambas as raízes quadradas quando b² 4ac 0 b Use o resultado na parte a para encontrar as raízes da equação z² 2z 1 i 0 Resposta b 1 12 i2 1 12 i2 9 Sejam z reiθ um número complexo não nulo e n um inteiro negativo n 1 2 Defina z1n pela equação z1n z11m em que m n Mostre que os m valores de z1m1 e de z11m são iguais e verifique que z1n z1m1 Compare com o Exercício 7 da Seção 9 12 REGIÕES DO PLANO COMPLEXO Nesta seção apresentamos alguns conceitos relativos a conjuntos do plano complexo ou pontos do plano z e à proximidade ente pontos e conjuntos Nossa ferramenta básica é o que denominamos vizinhança 1 z z₀ ε de um dado ponto z₀ Essa vizinhança consiste em todos os pontos z que estão dentro de um círculo mas não no círculo centrado em z₀ com um raio ε positivo especificado Figura 16 Em geral o valor de ε fica subentendido ou é irrelevante na argumentação e falamos em vizinhança de um ponto sem explicitar o valor de ε Ocasionalmente é conveniente falar de uma vizinhança perfurada ou disco perfurado 2 0 z z₀ ε consistindo em todos os pontos de uma vizinhança de z₀ exceto o próprio ponto z₀ Dizemos que um ponto z₀ é um ponto interior de algum conjunto S se existir alguma vizinhança de z₀ que contenha somente pontos de S dizemos que é um ponto exterior de S se existir alguma vizinhança desse ponto que não contenha ponto algum de S Se z₀ não for um ponto interior nem exterior de S dizemos que é um ponto de fronteira de S Assim um ponto de fronteira de S é um ponto tal que qualquer uma de suas vizinhanças contém pelo menos um ponto de S e um ponto que não esteja em S A totalidade de todos os pontos de fronteira de S é denominada fronteira de S Por exemplo o círculo z 1 é a fronteira de cada um dos conjuntos 3 z 1 e z 1 Um conjunto é dito aberto se não contiver qualquer um dos seus pontos de fronteira Deixamos como um exercício mostrar que um conjunto é aberto se e somente se cada um de seus pontos é um ponto interior Um conjunto é dito fechado se contiver todos os seus pontos de fronteira e o fecho de um conjunto S é o conjunto fechado que consiste em todos os pontos tanto de S quanto da fronteira de S Observe que o primeiro dos dois conjuntos de 3 é aberto e o segundo fechado É claro que alguns conjuntos não são nem abertos nem fechados Para que um conjunto S seja não aberto deve existir algum ponto de fronteira que pertença ao conjunto e para que S seja não fechado deve existir algum ponto de fronteira que não pertença ao conjunto Observe que um disco perfurado 0 z 1 não é aberto nem fechado Por outro lado o conjunto de todos os números complexos é aberto e fechado por não possuir pontos de fronteira Dizemos que um conjunto aberto S é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser ligados por uma linha poligonal consistindo em um número finito de segmentos de reta justapostos inteiramente contidos em S O conjunto aberto z 1 é conexo O anel 1 z 2 que é certamente aberto também é conexo ver Figura 17 Um conjunto aberto não vazio e conexo é denominado domínio Observe que qualquer vizinhança é um domínio Dizemos que um domínio junto com alguns todos ou nenhum de seus pontos de fronteira é uma região Um conjunto S é dito limitado se cada um de seus pontos estiver dentro de um mesmo disco z R caso contrário é dito ilimitado Ambos os conjuntos de 3 são regiões limitadas e o semiplano Re z 0 é ilimitado EXEMPLO Esbocemos o conjunto 4 Im 1z 1 e identifiquemos alguns dos conceitos apresentados Em primeiro lugar supondo que z seja não nulo temos 1z zzz zz² x iy x² y² z x iy Segue que a desigualdade 4 pode ser escrita como y x² y² 1 ou x² y² y 0 Completando o quadrado chegamos em x² y² y 14 14 Assim a desigualdade 4 representa a região interior ao círculo Figura 18 x02 y 122 122 centrado em z i2 e de raio 12 Um ponto z0 é dito um ponto de acumulação de um conjunto S se cada vizinhança perfurada de z0 contiver pelo menos um ponto de S Segue que um conjunto fechado contém todos os seus pontos de acumulação De fato se um ponto de acumulação z0 de S não estivesse em S então seria um ponto de fronteira de S o que seria uma contradição com o fato de um conjunto fechado conter todos seus pontos de fronteira Deixamos como exercício mostrar que a recíproca é também verdadeira Assim um conjunto é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação Certamente um ponto z0 não é um ponto de acumulação de um conjunto S se existir alguma vizinhança perfurada de z0 que não contenha pelo menos um ponto de S Observe que a origem é o único ponto de acumulação do conjunto zn in n12 EXERCÍCIOS 1 Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios a z2i1 b 2z3 4 c Im z 1 d Im z 1 e 0 arg z π4 z 0 f z4 z Respostas b e c são domínios 2 Quais conjuntos do Exercício 1 não são abertos nem fechados Resposta e 3 Quais conjuntos do Exercício 1 são limitados Resposta a 4 Em cada caso esboce o fecho do conjunto dado a π arg z π z 0 b Re z z c Re 1z 12 d Rez2 0 5 Seja S o conjunto aberto consistindo em todos os pontos z tais que z 1 ou z2 1 Explique por que S não é conexo 6 Mostre que um conjunto S é aberto se e só se cada ponto de S é um ponto interior 7 Determine os pontos de acumulação de cada um dos conjuntos dados a zn in n12 b zn in n n12 c 0 arg z π2 z 0 d zn 1n 1i n12 Respostas a não possui b 0 d 1i 8 Prove que se um conjunto contiver todos os seus pontos de acumulação então deverá ser um conjunto fechado 9 Mostre que cada ponto de um domínio é um ponto de acumulação desse domínio 10 Prove que um conjunto finito de pontos não pode possuir pontos de acumulação CAPÍTULO 2 FUNÇÕES ANALÍTICAS Abordaremos agora funções de uma variável complexa e desenvolveremos uma teoria de derivação para essas funções Nosso objetivo principal neste capítulo é introduzir o conceito de função analítica que desempenha um papel central na Análise Complexa 13 FUNÇÕES E APLICAÇÕES Seja S um conjunto de números complexos Uma função f definida em S é uma regra que associa a cada z de S um número complexo w Dizemos que w é o valor de f em z e o denotamos por fz ou seja w fz O conjunto S é denominado o domínio de definição de f Devese enfatizar que precisamos de um domínio de definição e de uma regra para obter uma função bem definida Quando o domínio de definição não for mencionado concordamos que será o maior conjunto possível Também não é sempre conveniente usar uma notação que distinga entre uma dada função e seus valores EXEMPLO 1 Se f for definida no conjunto z 0 pela equação w 1z podemos nos referir a f simplesmente como a função w 1z ou ainda a função 1z Suponha que u iv seja o valor da função f em z x iy isto é u iv fx iy Cada um dos números reais u e v depende das variáveis reais x e y portanto fz pode ser expresso em termos de um par de funções reais das duas variáveis reais x e y Embora o domínio de definição possa ser um domínio conforme definido na Seção 12 isso não é necessário 1 fz ux y ivx y EXEMPLO 2 Se fz z² então fx iy x iy² x² y² i2xy Logo ux y x² y² e vx y 2xy Se a função v na equação 1 sempre tiver o valor zero então o valor de f é sempre real Assim f é uma função real de uma variável complexa EXEMPLO 3 Uma função real utilizada para ilustrar conceitos importantes mais adiante neste capítulo é fz z² x² y² i0 Se n for um inteiro positivo e se a₀ a₁ a₂ an forem constantes complexas com an 0 a função Pz a₀ a₁z a₂z² anzⁿ será um polinômio de grau n Observe que essa soma tem um número finito de parcelas e que o domínio de definição é todo o plano z Os quocientes PzQz de polinômios são denominados funções racionais definidas em cada ponto z tal que Qz 0 Os polinômios e as funções racionais constituem classes de funções elementares mas importantes de funções de uma variável complexa Utilizando as coordenadas polares r e θ em vez de x e y temos u iv freiθ em que w u iv e z reiθ Nesse caso podemos escrever 2 fz ur θ ivr θ EXEMPLO 4 Considere a função w z² com z reiθ Aqui w reiθ2 r² ei2θ r² cos 2θ ir² sen 2θ Logo ur θ r² cos 2θ e vr θ r² sen 2θ Uma generalização do conceito de função é uma regra que associa mais do que um valor a cada ponto do domínio de definição Essas funções multivalentes ocorrem na teoria das funções de uma variável complexa da mesma forma que ocorrem no caso de variáveis reais Quando estudamos funções multivalentes geralmente escolhemos de uma maneira sistemática um dos valores possíveis em cada ponto e com isso construímos uma função univalente a partir de uma multivalente EXEMPLO 5 Seja z um número complexo qualquer Sabemos da Seção 10 que z12 tem os dois valores z12 r expi Θ2 em que r z e Θ π Θ π é o valor principal de arg z Escolhendo somente o valor positivo de r e escrevendo 3 fz r expi Θ2 r 0 π Θ π obtemos uma função univalente bem definida por 3 no conjunto de todos os números não nulos do plano z Como zero é a única raiz quadrada de zero podemos escrever f0 0 Assim essa função está bem definida em todo o plano Muitas vezes as propriedades de uma função real de uma variável real são exibidas pelo gráfico da função No entanto se w fz sendo z e w complexos não dispomos de uma tal representação gráfica conveniente da função f pois cada um dos números z e w varia em um plano em vez de em uma reta Entretanto podemos exibir alguma informação sobre a função indicando pares de pontos z x y e w u v correspondentes Para ver isso em geral é mais fácil esboçar os planos z e w separadamente Quando pensamos em uma função dessa maneira é costume usar os termos aplicação ou transformação em vez de função A imagem de um ponto z do domínio de definição S é o ponto w fz e o conjunto das imagens de todos os pontos de um conjunto T contido em S é denominado a imagem de T A imagem de todo o domínio de definição S é a imagem de f A imagem inversa de um ponto w é o conjunto de todos os pontos z do domínio de definição de f cuja imagem é w A imagem inversa de um ponto pode conter somente um ponto muitos pontos ou nenhum ponto É claro que esse último caso ocorre se w não estiver na imagem de f Termos como translação rotação e reflexão são usados para transmitir as características geométricas dominantes de certas aplicações Nesses casos às vezes é conveniente considerar o plano z como coincidindo com o plano w Por exemplo a aplicação w z 1 x 1 iy em que z x iy pode ser vista como uma translação de cada ponto z uma unidade para a direita Como i eiπ2 a aplicação w iz r expiθ π2 em que z reiθ gira o vetor radial de cada ponto z não nulo por um ângulo reto em torno da origem no sentido antihorário e a aplicação w z x iy transforma cada ponto z x iy em sua reflexão pelo eixo real Geralmente obtemos mais informação esboçando imagens de curvas e regiões do que simplesmente indicando imagens de pontos individuais Na próxima seção faremos isso com a aplicação w z² 14 A APLICAÇÃO w z² De acordo com o Exemplo 2 da Seção 13 podemos ver a aplicação w z² como a transform ação 1 u x² y² v 2xy do plano xy no plano uv Essa forma da aplicação é especialmente útil para descobrir a imagem de certas hipérboles Por exemplo é fácil mostrar que cada ramo da hipérbole 2 x² y² c₁ c₁ 0 é levado biunivocamente sobre a reta vertical u c₁ Para ver isso começamos observando que na primeira das equações de 1 temos u c₁ quando x y for um ponto de um dos ramos Se em particular estiver no ramo à direita a segunda das equações de 1 nos diz que v 2yy² c₁ Assim a imagem do ramo à direita pode ser dada parametricamente por u c₁ v 2yy² c₁ y e fica evidente que a imagem de um ponto x y naquele ramo sobe toda a reta enquanto x y percorre o ramo no sentido para cima Figura 19 Da mesma forma como o par de equações u c₁ v 2yy² c₁ y fornece uma representação paramétrica da imagem do ramo à esquerda da hipérbole a imagem de um ponto percorrendo todo o ramo à esquerda no sentido para baixo é vista subindo toda a reta u c₁ Figura 19 w z² De maneira análoga cada ramo de uma hipérbole 3 2xy c₂ c₂ 0 é transformada na reta v c2 conforme indicado na Figura 19 Para ver isso observamos na segunda das equações de 1 que v c2 quando x y for um ponto de um dos ramos Suponha que x y esteja no ramo do primeiro quadrante Então como y c2 2x a primeira das equações de 1 revela que a imagem do ramo tem a representação paramétrica u x2 c22 4 x2 v c2 0 x Observe que limx0x0 u e limx u Como u depende continuamente de x fica claro que à medida que x y percorre todo o ramo do primeiro quadrante da hipérbole 3 no sentido para baixo a imagem se move para a direita ao longo de toda a reta horizontal v c2 Como a imagem do ramo do terceiro quadrante tem representação paramétrica u c22 4 y2 y2 v c2 y 0 e como limy u e limy0y0 u segue que a imagem de um ponto percorrendo todo o ramo do terceiro quadrante no sentido para cima também percorre toda a reta v c2 para a direita ver Figura 19 Em seguida vejamos como a forma 1 da aplicação w z2 pode ser usada para encontrar a imagem de certas regiões EXEMPLO 1 O domínio definido por x 0 y 0 xy 1 consiste em todos os pontos que estão nos ramos superiores de hipérboles da família 2xy c com 0 c 2 Figura 20 Acabamos de verificar que a imagem pela transformação w z2 de pontos que se deslocam para baixo ao longo de todo um ramo desses percorrem toda a reta v c da esquerda para a direita Usando todos os valores de c entre 0 e 2 esses ramos superiores preenchem o domínio x 0 y 0 xy 1 portanto esse domínio é levado na faixa horizontal 0 v 2 A partir das equações 1 podemos ver que a imagem de um ponto 0 y do plano z é y2 0 Logo se 0 y percorrer o semieixo y no sentido para baixo em direção à origem sua imagem se move para a direita ao longo do semieixo u negativo em direção à origem do plano w Como a imagem de um ponto x 0 é x2 0 segue que se x 0 percorrer o semieixo x no sentido para a direita a partir da origem sua imagem se move para a direita a partir da origem ao longo do semieixo u positivo É claro que a imagem do ramo superior da hipérbole xy 1 é simplesmente a reta horizontal v 2 Decorre disso que a região fechada x 0 y 0 xy 1 é levada na faixa horizontal fechada 0 v 2 conforme indicado na Figura 20 Nosso próximo exemplo ilustra o uso de coordenadas polares na análise de certas aplicações EXEMPLO 2 A aplicação w z2 é dada por 4 w r2 ei2θ se z r eiθ Isso significa que a imagem w ρ eiφ de qualquer ponto z não nulo pode ser encontrada tomando o quadrado do módulo r z e dobrando o valor θ de arg z que estiver sendo usado 5 ρ r2 e φ 2θ Observe que os pontos z r0 eiθ de um círculo r r0 são levados em pontos w r02 ei2θ do círculo ρ r02 À medida que um ponto do primeiro círculo se desloca no sentido antihorário a partir do eixo real positivo para o eixo imaginário positivo sua imagem no segundo círculo se desloca no sentido antihorário a partir do eixo real positivo para o eixo real negativo ver Figura 21 Assim escolhendo todos os valores positivos possíveis de r0 os arcos correspondentes nos planos z e w preenchem respectivamente o primeiro quadrante e o semiplano superior Dessa forma a transformação w z2 é uma aplicação injetora do primeiro quadrante r 0 0 θ π2 do plano z sobre o semiplano ρ 0 0 φ π do plano w conforme indicado na Figura 21 É claro que o ponto z 0 é levado no ponto w 0 Essa aplicação do primeiro quadrante sobre o semiplano superior também pode ser verificada usando os raios indicados com linhas tracejadas na Figura 21 Deixamos alguns detalhes para o Exercício 7 A transformação w z2 também leva o semiplano superior r 0 0 θ π sobre todo o plano w No entanto nesse caso a aplicação não é injetora porque os dois semieixos reais do plano z o positivo e o negativo são levados sobre o semieixo real positivo do plano w Se n for um inteiro positivo maior do que 2 muitas das propriedades da aplicação w zn ou w rn einθ são análogas às da aplicação w z2 Uma aplicação dessas leva todo o plano z sobre o plano w sendo cada ponto não nulo do plano w a imagem de n pontos distintos do plano z O círculo r r0 é levado no círculo ρ r0n e o setor r r0 0 θ 2πn é levado sobre o disco ρ r0n mas não de maneira injetora Algumas outras propriedades um pouco mais complexas da aplicação w z2 aparecem no Exemplo 1 da Seção 107 e nos Exercícios 1 a 4 da Seção 108 EXERCÍCIOS 1 Descreva o domínio subentendido de cada uma das funções dadas a seguir a fz 1 z2 1 b fz Arg1z c fz z z z d fz 1 1 z2 Respostas a z i b Re z 0 2 Em cada caso escreva a função no formato fz ux y ivx y a fz z3 z 1 b fz z2 z z 0 Sugestão na parte b multiplique o numerador e o denominador por z Respostas a fz x3 3xy2 x 1 i3x2 y y3 y b fz x3 3xy2x2 y2 i y3 3x2 yx2 y2 3 Suponha que fz x2 y2 2y i2x 2xy em que z x iy Use as expressões ver Seção 6 x z z 2 e y z z 2i para escrever fz em termos de z e simplifique o resultado Resposta fz z2 2iz 4 Escreva a função fz z 1z z 0 no formato fz ur θ ivr θ Resposta fz r 1r cos θ ir 1r sen θ 5 Encontre um domínio do plano z cuja imagem pela aplicação w z2 seja o domínio quadrado do plano w delimitado pelas retas u 1 u 2 v 1 e v 2 Ver Figura 2 do Apêndice 2 Sugestão use o que foi discutido na Seção 14 em relação à Figura 19 6 Encontre e esboce a imagem das hipérboles dadas a seguir pela aplicação w z² mostrando as orientações correspondentes a x² y² c1 c1 0 b 2xy c2 c2 0 7 Use os raios indicados por semirretas tracejadas na Figura 21 para mostrar que a aplicação w z² leva o primeiro quadrante no semiplano superior conforme indicado na Figura 21 8 Esboce a região na qual é levado o setor r 1 0 θ π4 pela aplicação a w z² b w z³ c w z⁴ 9 Uma interpretação de uma função w fz ux y ivx y é a de um campo de vetores no domínio de definição de f A função associa um vetor w de componentes ux y e vx y a cada ponto z em que esteja definida Indique graficamente os campos de vetores representados por a w iz b w zz 15 LIMITES Suponha que f seja uma função definida em todos os pontos z de alguma vizinhança perfurada de um ponto z0 Dizer que fz tem um limite w0 se z tender a z0 ou que 1 lim zz0 fz w0 significa que o ponto w fz estará arbitrariamente próximo de w0 se escolhermos o ponto z suficientemente próximo de mas não igual a z0 Vejamos a definição de limite em termos mais precisos e úteis A afirmação 1 significa que dado qualquer número positivo ε existe algum número positivo δ tal que 2 fz w0 ε se 0 z z0 δ Geometricamente essa definição diz que dada qualquer vizinhança w w0 ε de w0 existe alguma vizinhança perfurada 0 z z0 δ de z0 tal que cada ponto z dessa última vizinhança tem sua imagem w na vizinhança de w0 Figura 22 Observe que mesmo considerando todos os pontos da vizinhança perfurada 0 z z0 δ suas imagens não precisam preencher toda a vizinhança w w0 ε Por exemplo se f for a função constante w0 então a imagem de z é sempre o centro daquela vizinhança Note também que uma vez encontrado algum δ podemos trocálo por qualquer outro número positivo menor como por exemplo δ2 Figura 22 O teorema a seguir da unicidade do limite é central para o desenvolvimento deste capítulo e em especial para o material da Seção 21 Teorema Se um limite de uma função fz existir em um ponto z0 ele é único Para provar isso suponha que lim zz0 fz w0 e lim zz0 fz w1 Então dado qualquer número positivo ε existem números positivos δ0 e δ1 tais que fz w0 ε se 0 z z0 δ0 e fz w1 ε se 0 z z0 δ1 Como w1 w0 fz w0 w1 fz a desigualdade triangular garante que w1 w0 fz w0 w1 fz fz w0 fz w1 Logo se 0 z z0 δ em que δ é qualquer número positivo menor do que δ0 e δ1 obtemos w1 w0 ε ε 2ε No entanto w1 w0 é uma constante não negativa e ε pode ser tomado arbitrariamente pequeno Assim w1 w0 0 ou w1 w0 A definição 2 exige que f esteja definida em todos os pontos de alguma vizinhança perfurada de z0 Se z0 for um ponto interior da região em que f estiver definida é claro que sempre existem tais vizinhanças perfuradas Podemos estender a definição de limite para o caso em que z0 for um ponto de fronteira da região concordando que a primeira das desigualdades 2 é válida apenas com aqueles pontos z que estejam na região e também na vizinhança perfurada EXEMPLO 1 Mostremos que se fz iz2 no disco aberto z 1 então 3 lim z1 fz i2 sendo que 1 é um ponto de fronteira do domínio de definição de f Observe que se z estiver no disco z 1 então fz i2 iz2 i2 z 12 Logo qualquer z desses e qualquer número positivo ε satisfazem ver Figura 23 fz i2 ε se 0 z 1 2ε Assim a condição 2 está satisfeita com os pontos da região z 1 se tomarmos δ igual a 2ε ou qualquer outro número positivo menor Se o limite 1 existir o símbolo z z0 significa que z pode se aproximar de z0 de qualquer maneira não somente em alguma direção específica Isso é enfatizado no exemplo seguinte EXEMPLO 2 Se 4 fz zz então não existe o limite 5 lim z0 fz De fato se existisse poderia ser encontrado deixando o ponto z x y tender à origem de qualquer maneira No entanto se z x 0 for um ponto não nulo do eixo real Figura 24 temos fz x i0 x i0 1 mas se z 0 y for um ponto não nulo do eixo imaginário temos fz 0 iy0 iy 1 Figura 24