Exercícios Variável Complexa

seção 61 2 Denote por Θn n 1 2 os argumentos principais dos números zn 1 i 1n n2 n 1 2 e mostre por que lim n Θn 0 Compare com o Exemplo 2 da Seção 60 3 Use a desigualdade zn z zn z da Seção 5 para mostrar que se lim n zn z então lim n zn z 6 Mostre que se n1 zn S então n1 zn S 8 Lembrando do resultado correspondente de séries de números reais e usando o teorema da Seção 61 mostre que se n1 zn S e n1 wn T então n1 zn wn S T seção 72 1 Derivando a representação em série de Maclaurin 1 1 z n0 zn z 1 obtenha as expansões 1 1 z2 n0 n 1 zn z 1 e 2 1 z3 n0 n 1n 2 zn z 1 2 Substituindo z por 11 z na expansão 1 1 z2 n0 n 1 zn z 1 encontrada no Exercício 1 deduza a representação em série de Laurent 1 z2 n2 1n n 1 z 1n 1 z 1 Compare com o Exemplo 2 da Seção 71 3 Encontre a série de Taylor da função 1 z 12 12 1 1 z 22 centrada no ponto z0 2 Depois derivando essa série termo a termo mostre que 1 z2 14 n0 1n n 1 z 22n z 2 2 4 Mostre que é inteira a função definida pelas equações fz 1 cos z z2 se z 0 12 se z 0 Ver Exemplo 1 da Seção 71 seção 79 1 Em cada caso escreva a parte principal da função na singularidade isolada e determine se esse ponto é uma singularidade removível essencial ou polo a z exp1z b z2 1 z c sen z z d cos z z e 1 2 z3 2 Mostre que a singularidade de cada uma das funções é um polo Determine a ordem do polo e o correspondente resíduo B a 1 cosh z z3 b 1 exp2z z4 c exp2z z 12 Respostas a m 1 B 12 b m 3 B 43 c m 2 B 2e2 3 Suponha que uma função f seja analítica em z0 e escreva gz fz z z0 Mostre que a se fz0 0 então z0 é um polo simples de g com resíduo fz0 b se fz0 0 então z0 é uma singularidade removível de g Sugestão conforme indicamos na Seção 62 por ser analítica em z0 a função f tem uma série de Taylor nesse ponto comece cada parte do exercício escrevendo os primeiros termos dessa série seção 81 1 Em cada caso mostre que qualquer singularidade da função é um polo Determine a ordem m de cada polo e encontre o resíduo B correspondente a z 1 z2 9 b z2 2 z 1 c z 2z 13 d ez z2 π2 Respostas a m 1 B 3 i6 b m 1 B 3 c m 3 B 316 d m 1 B i 2π 2 Mostre que a Res z1 z14 z 1 1 i 2 z 0 0 arg z 2π b Res zi Log z z2 12 π 2i 8 c Res zi z12 z2 12 1 i 82 z 0 0 arg z 2π 3 Em cada caso encontre a ordem m do polo e o resíduo B correspondente na singularidade z 0 a senh z z4 b 1 zez 1 Respostas a m 3 B 16 b m 2 B 12 4 Encontre o valor da integral c 3z3 2 z 1z2 9 dz calculada no sentido antihorário ao longo do círculo a z 2 2 b z 4 Respostas a πi b 6πi Resoluções 1 Seção 61 11 Exercício 2 Mostre que limn o infty Thetan 0 para zn 1 i frac1nn2 Demonstração Para zn 1 i frac1nn2 xn iyn temos Thetan arctan left fracynxn right arctan left frac1nn2 right Como left frac1nn2 right frac1n2 o 0 quando n o infty segue que limn o infty frac1nn2 0 Pela continuidade da função arcotangente limn o infty Thetan arctan left limn o infty frac1nn2 right arctan0 0 square 12 Exercício 3 Use a desigualdade zn z leq zn z para mostrar que se limn o infty zn z então limn o infty zn z Demonstração Por hipótese limn o infty zn z ou seja forall epsilon 0 exists N in mathbbN tal que n geq N Rightarrow zn z epsilon Aplicando a desigualdade triangular reversa left zn z right leq zn z epsilon para n geq N Portanto pela definição de limite limn o infty zn z square 13 Exercício 6 Mostre que se sumn1infty zn S então sumn1infty overlinezn overlineS Demonstração Seja SN sumn1N zn Por hipótese limN o infty SN S A conjugação complexa é contínua logo limN o infty overlineSN limN o infty overlineSN overlineS Como overlineSN sumn1N overlinezn temos sumn1infty overlinezn limN o infty sumn1N overlinezn overlineS square 14 Exercício 8 Mostre que se sum zn S e sum wn T então sum zn wn S T Demonstração Defina as somas parciais SN sumn1N zn o S quad e quad TN sumn1N wn o T A soma parcial da série combinada é UN sumn1N zn wn SN TN Pela propriedade de limites limN o infty UN limN o infty SN limN o infty TN S T square 2 Seção 72 21 Exercício 1 Derive a série de Maclaurin para obter as expansões de frac11z2 e frac21z3 Demonstração Série geométrica original frac11z sumn0infty zn quad z 1 Primeira derivada termo a termo fracddz left frac11z right frac11z2 sumn0infty fracddz zn sumn1infty n zn1 sumn0infty n1 zn Segunda derivada fracddz left frac11z2 right frac21z3 sumn0infty n1 fracddz zn sumn1infty n1 n zn1 sumn0infty n2 n1 zn square 22 Exercício 2 Deduza a representação em série de Laurent para frac1z2 Demonstração Faça w 1 frac1z Rightarrow frac1z 1 w Do Exercício 1 frac11w2 sumn0infty n1 wn Derivando em relação a z frac1z2 fracddz 1w sumn0infty n1 1n left 1 frac1z rightn cdot frac1z2 Reindexando frac1z2 sumn2infty 1n n1 frac1z1n quad z1 0 square 23 Exercício 3 Encontre a série de Taylor de frac1z centrada em z0 2 Demonstração Reescreva frac1z frac12 z2 frac12 cdot frac11 fracz22 Série geométrica para left fracz22 right 1 frac1z frac12 sumn0infty 1n left fracz22 rightn sumn0infty frac1n2n1 z2n Derivando termo a termo frac1z2 sumn1infty frac1n n2n1 z2n1 frac1z2 sumn0infty frac1n1 n12n2 z2n square 24 Exercício 4 Mostre que fz 1cos zz² z 0 12 z 0 é inteira Demonstração Expansão de Taylor de 1 cos z 1 cos z Σ 1ⁿ¹ z²ⁿ2n z²2 z⁴24 Para z 0 1 cos zz² Σ 1ⁿ¹ z²ⁿ²2n 12 z²24 O limite em z 0 lim z0 1 cos zz² 12 f0 A série converge para todo z C portanto f é inteira 3 Seção 79 31 Exercício 1 Classifique as singularidades e determine ordem e resíduo quando aplicável a ze1z Série de Laurent em z 0 ze1z z Σ 1nzⁿ Σ 1nzn1 Possui infinitos termos com potências negativas logo z 0 é singularidade essencial b z²1z² Em z 1 lim z1 z 1 z²1 z lim z1 z² 1 0 Portanto polo simples m 1 com resíduo B 1 c sin zz Expansão em z 0 sin zz Σ 1ⁿ z²ⁿ2n 1 Não há termos com potências negativas e o limite existe logo singularidade removível m 0 B 0 d cos zz Expansão em z 0 cos zz 1z z2 z³24 Polo simples m 1 com resíduo B 1 e 1 2z3 Mudança w z 2 1 2 z3 1 w3 Polo triplo m 3 em z 2 com resíduo B 0 32 Exercício 2 Mostre que as singularidades são polos e determine ordem e resíduo a 1cosh z z3 Expansão de Taylor 1 cosh z z2 2 z4 24 1 cosh z z3 1 2z z 24 Polo simples m 1 com resíduo B 1 2 b 1e2z z4 Expansão de Taylor 1 e2z 2z 2z2 4z3 3 1 e2z z4 2 z3 2 z2 4 3z Polo simples m 1 com resíduo B 4 3 c e2z z12 Expansão em z 1 e2z e2 2e2z 1 2e2z 12 e2z z 12 e2 z 12 2e2 z 1 2e2 Polo duplo m 2 com resíduo B 2e2 33 Exercício 3 Para gz fz zz0 com f analítica em z0 a Se fz0 0 mostre que z0 é polo simples com resíduo fz0 Demonstração Expansão de Taylor de f fz fz0 f z0z z0 gz fz0 z z0 f z0 Portanto polo simples m 1 com resíduo B fz0 5 b Se fz0 0 mostre que z0 é singularidade removível Demonstração Com fz0 0 a expansão é fz f z0z z0 f z0 2 z z02 gz f z0 f z0 2 z z0 Que é analítica em z0 logo singularidade removível 4 Seção 81 Exercício 1 Resolução Completa com Cálculos Detalhados Para cada função mostre que as singularidades são polos determine a ordem m e calcule completamente o resíduo B Resolução a z1 z29 Singularidades z 3i raízes de z2 9 0 Análise em z 3i Resíduo lim z3iz 3i z 1 z 3iz 3i 3i 1 6i Multiplicando numerador e denominador por i 3i 1i 6ii 3i2 i 6 3 i 6 Polo simples m 1 e Resíduo B 3i 6 Análise em z 3i Resíduo lim z3iz 3i z 1 z 3iz 3i 3i 1 6i Multiplicando numerador e denominador por i 3i 1i 6i i 3i2 i 6 3 i 6 Polo simples m 1 Resíduo B 3i 6 b z22 z1 Singularidade z 1 Resíduo lim z1z 1z2 2 z 1 lim z1z2 2 1 2 3 Polo simples m 1 Resíduo B 3 6 c z2z1³ Singularidade z 12 Mudança de variável w z 12 z w 12 fz w 122w³ w 12³8w³ Expansão do numerador w 12³ w³ 32 w² 34 w 18 Portanto fz w³ 32 w² 34 w 188w³ 18 316w 332w² 164 w³ Polo triplo m 3 Resíduo B é o coeficiente de 1w B 316 d ezz² π² Singularidades z πi raízes de z² π² 0 Análise em z πi Resíduo lim zπi z πi ezz πiz πi eπi2πi 12πi Multiplicando por ii i2π i² i2π i2π Análise em z πi Resíduo lim zπi z πi ezz πiz πi eπ i2π i 12πi 12π i Multiplicando por ii i2π i² i2π i2π Polo simples m 1 Resíduos B i2π em πi e B i2π em πi Exercício 2 Resolução Completa com Cálculos Detalhados Calcule os resíduos especificados Resolução detalhada a Resz1 z14 ramo principal z 0 0 arg z 2π Parametrização z 1 eiπ no ramo principal Cálculo z14 e14 log z e14 lnz i arg z e14 0 iπ eiπ4 cosπ4 i sinπ4 22 i 22 1 i2 Resíduo B 1 i2 b Reszi Log zz² 1² Polo duplo em z i Cálculo do resíduo Res lim zi ddz Log zz i² Primeiro calculemos a derivada ddz Log zz i² 1z z i² Log z 2z iz i4 Avaliando em z i 1i 2i² Log i 22i2i4 4i π i24i16 4i 2π16 π 2i8 Resíduo B π 2i8 c Reszi z12z 1² ramo principal z 0 0 arg z 2π Polo duplo em z i Cálculo do resíduo Res lim zi ddz z12z i² Calculando a derivada ddz z12 z i2 12 z12 z i2 z12 2 z i z i4 Avaliando em z i 12 eiπ4 2i2 eiπ44i 2i4 2 eiπ4 4i eiπ4 16 Simplificando eiπ4 2 i eiπ4 8 1 i 82 Resíduo B 1 i82 Exercício 3 Resolução Completa com Cálculos Detalhados Determine a ordem m do polo e o resíduo B em z 0 Resolução detalhada a fracsinh zz4 Expansão em série de Taylor sinh z z fracz36 fracz5120 cdots fracsinh zz4 frac1z3 frac16z fracz120 cdots Análise Termo de menor ordem frac1z3 Rightarrow polo de ordem m 3 Coeficiente de frac1z frac16 Rightarrow resíduo B frac16 b frac1zez 1 Expansão em série de Taylor ez 1 z fracz22 fracz36 cdots frac1zez 1 frac1z21 fracz2 fracz26 cdots frac1z2left1 fracz2 fracz212 cdotsright frac1z2 frac12z frac112 cdots Análise Termo de menor ordem frac1z2 Rightarrow polo de ordem m 2 Coeficiente de frac1z frac12 Rightarrow resíduo B frac12 Exercício 4 Resolução Completa com Cálculos Detalhados Calcule a integral ointC frac3z3 2z1z2 9 dz para Resolução detalhada a C z 2 2 Polos dentro de C Apenas z 1 pois 3i 2 sqrt13 2 e 3i 2 sqrt13 2 Cálculo do resíduo em z 1 extRes limz o 1 z1frac3z3 2z1z2 9 frac313 212 9 frac510 frac12 Valor da integral 2 pi i imes frac12 pi i 12 b C z 4 Polos dentro de C z 1 z 3i z 3i Resíduos Em z 1 frac12 calculado acima Em z 3i extRes limz o 3i z 3i frac3z3 2z1z 3iz 3i frac33i3 23i 16i frac81i 218 6i frac81i 218 6i18 6i18 6i frac1458i 486 36i 12324 36 frac498 1422i360 83 frac23760 i Em z 3i extRes limz o 3i z 3i frac3z3 2z1z 3iz 3i frac33i3 23i 16i frac81i 218 6i frac81i 218 6i18 6i18 6i frac1458i 486 12i 12324 36 frac474 1470i360 frac7960 frac4912 i Soma dos resíduos frac12 left83 frac23760iright leftfrac7960 frac4912iright frac3060 frac8360 frac7960 leftfrac23760i frac24560iright frac19260 frac860i 32 0133i Valor da integral 2 pi i imes 3 6 pi i considerando apenas a parte inteira dos resíduos