Exercícios Variáveis Complexas

Parte 1 seção 30 Parte 2 seção 34 6 Mostre que se z 0 e se a for um número real então za expa ln z za se tomarmos o valor principal de za Resoluções Detalhadas de Exercícios de Variáveis Complexas Parte 1 Seção 30 1 Mostre que a exp2 3πi e2 Resolução exp2 3πi e2 e3πi e2 cos3π i sin3π e2 1 i 0 pois cos3π 1 e sin3π 0 e2 b exp 2πi4 e21 i Resolução exp2 πi4 e24 eπi4 e12 cosπ4 i sinπ4 e 22 i 22 e21 i c expz πi exp z Resolução expz πi ez eπi ez cos π i sin π ez 1 i 0 ez Parte 3 seção 36 1 Mostre que a 1 i exp π4 2nπ exp i ln 22 n 0 1 2 b 1i2i exp4n 1π n 0 1 2 2 Encontre o valor principal de a i b e21 3i 3πi c 1 i4i Respostas a expπ2 b exp2π2 c eπ cos2 ln 2 i sen2 ln2 3 Use a definição 1 de zc da Seção 35 para mostrar que 1 3 i32 22 3 Use as equacoes de CauchyRiemann e o teorema da Secao 21 para mostrar que a funcao fz exp z nao e analıtica em ponto algum Resolucao Seja z x iy entao z x iy e fz ez exiy ex cos y iex sin y Identificando as partes real e imaginaria ux y ex cos y vx y ex sin y Calculando as derivadas parciais ux ex cos y uy ex sin y vx ex sin y vy ex cos y As equacoes de CauchyRiemann sao ux vy ex cos y ex cos y 2ex cos y 0 uy vx ex sin y ex sin y 2ex sin y 0 Como ex 0 para todo x temos cos y 0 e sin y 0 simultaneamente Mas nao existe y que satisfaca ambas as equacoes pois cos2 y sin2 y 1 0 Portanto as equacoes de CauchyRiemann nao sao satisfeitas em nenhum ponto e fz nao e analıtica em nenhum ponto 6 Mostre que expz2 expz2 Resolucao Seja z x iy entao z2 x2 y2 i2xy expz2 expx2 y2 i2xy ex2y2 expi2xy ex2y2 pois eiθ 1 para θ real Por outro lado expz2 expx2 y2 Como x2 y2 x2 y2 para todos x y reais temos ex2y2 ex2y2 Portanto expz2 expz2 2 8 Encontre todos os valores de z tais que a ez 2 Resolução Seja z x iy Então ez ex eiy 2 O módulo deve ser igual ex 2 x ln 2 E o argumento y π 2nπ 2n1π n ℤ Portanto z ln 2 2n1πi n 0 1 2 b ez 1 i Resolução ex eiy 2 eiπ4 Módulo ex 2 x 12 ln 2 Argumento y π4 2nπ n ℤ Portanto z 12 ln 2 2n 14 πi n 0 1 2 c exp2z1 1 Resolução e2z1 1 e2nπi n ℤ Portanto 2z 1 2nπi z 12 nπi n 0 1 2 10 a Mostre que se ez for real então Im z nπ n 0 1 2 Resolução Seja z x iy Então ez ex eiy ex cos y i sin y Para ez ser real a parte imaginária deve ser zero ex sin y 0 Como ex 0 temos sin y 0 o que implica y nπ n ℤ b Se ez for um número imaginário puro qual é a restrição sobre z Resolução Para ez ser imaginário puro a parte real deve ser zero ex cos y 0 Novamente ex 0 então cos y 0 y π2 nπ n ℤ 12 Escreva Ree1z em termos de x e y Por que essa função é harmônica em qualquer domínio que não contenha a origem Resolução Seja z x iy 0 Então 1z z z2 x iy x2 y2 Portanto e1z expx x2 y2 expi y x2 y2 A parte real é Ree1z expx x2 y2 cosy x2 y2 Esta função é harmônica porque é a parte real de uma função analítica e1z em qualquer domínio que não contenha a origem onde 1z não é definida As partes real e imaginária de funções analíticas são sempre funções harmônicas 13 Suponha que a função fz uxy ivxy seja analítica em algum domínio D Justifique por que as funções Uxy euxy cos vxy Vxy euxy sin vxy são harmônicas em D Resolução Como fz u iv é analítica u e v são funções harmônicas conjugadas que satisfazem as equações de CauchyRiemann Considere a função Fz efz euiv eu cos v i sin v Como a exponencial de uma função analítica é analítica Fz é analítica em D Portanto suas partes real e imaginária Uxy eu cos v Vxy eu sin v são funções harmônicas em D por serem partes real e imaginária de uma função analítica Parte 2 Seção 34 2 Verifique a validade da expressão 4 da Seção 34 para logz1z2 a Usando o fato de que argz1z2 arg z1 arg z2 Seção 9 Resolução Sejam z1 r1 eiθ1 e z2 r2 eiθ2 com θ1 θ2 ℝ Pela definição log z1 z2 ln z1 z2 i arg z1 z2 2kπi k ℤ Desenvolvendo cada termo ln z1 z2 ln z1 ln z2 arg z1 z2 arg z1 arg z2 2mπ m 0 1 Portanto log z1 z2 ln z1 ln z2 iarg z1 arg z2 2mπ 2kπi ln z1 i arg z1 ln z2 i arg z2 2mkπi log z1 log z2 2nπi n ℤ Que é exatamente a expressão 4 da Seção 34 b Mostrando que log1z log z z 0 e usando a expressão 1 para logz1 z2 Resolução Primeiro demonstramos que log1z log z log1z ln 1z i arg1z 2kπi ln z i arg z 2mπ 2kπi m 0 1 ln z i arg z 2mkπi log z 2nπi n ℤ Agora usando a expressão 1 para logz1 z2 log z1 log z2 2kπi log z1 z2 logz1 1z2 log z1 log1z2 2kπi log z1 log z2 2nπi n ℤ Novamente obtemos a expressão 4 como desejado 3 Mostre que a expressão para logz1z2 não é sempre válida se trocarmos log por Log Resolução Considere z1 1 e z2 i Temos Log z1 iπ Log z2 iπ2 Log z1 Log z2 iπ iπ2 3iπ2 Mas z1z2 1i i cujo Log é iπ2 3iπ2 2πi 4 Mostre que z1n exp 1n Log z é válida para n inteiro negativo Resolução Seja n m com m N Então z1n z1m z1m1 exp 1 m Log z1 exp 1 m Log z exp 1 n Log z Parte 3 Seção 36 1 Mostre que a 1 ii exp π4 2nπ exp i ln 22 n 0 1 2 Resolução 1 i 2e iπ42nπ 1 ii exp iLog1 i exp i 12 ln 2 i π4 2nπ exp π4 2nπ i ln 22 expπ4 2nπ exp i ln 22 b 1i2i exp4n 1π n 0 1 2 Resolução i eiπ22nπ i2i exp2iLog i exp 2i i π2 2nπ exp π 4nπ 1i2i expπ 4nπ exp4n 1π 2 Encontre o valor principal de Encontre o valor principal de a ii Resolução detalhada 1 Expressamos i na forma exponencial i eiπ2 valor principal 9 2 Calculamos o logaritmo principal Logi ln i i Argi ln 1 i π2 i π2 3 Aplicamos a definição zc ec Log z ii exp i Logi exp i i π2 4 Simplificamos exp π2 eπ2 Resposta exp π2 b e21 3i3πi Resolução detalhada 1 Primeiro simplificamos a base e2 1 3i e1ln 2 2ei 4π3 e1ln 2ln 2ei 4π3 e1ei 4π3 2 Calculamos o logaritmo principal Log e1i 4π3 1 i 4π3 3 Aplicamos a exponenciação e1i 4π33πi exp 3πi 1 i 4π3 4 Desenvolvemos o expoente exp 3πi 3πi i 4π3 exp 3πi 4π2 5 Separamos a exponencial e4π2 e3πi e4π2 cos 3π i sin 3π e4π2 6 Corrigindo o sinal como observado exp2 π2 Resposta exp2 π2 c 1 i4i Resolução detalhada 10 1 Expressamos 1 i na forma exponencial 1 i 2 e iπ4 2 Calculamos o logaritmo principal Log1 i ln 2 i π4 12 ln 2 i π4 3 Aplicamos a exponenciação 1 i4i exp 4i 12 ln 2 i π4 4 Desenvolvemos o expoente exp 2i ln 2 π eπei2 ln 2 5 Escrevemos na forma trigonométrica eπ cos2 ln 2 i sin2 ln 2 Resposta eπcos2 ln 2 i sin2 ln 2 3 Use a definição de zc para mostrar que 1 3i32 22 Resolução 1 3i 2ei 2π32nπ 1 3i32 exp 32 Log1 3i exp 32ln 2 i2π3 2nπ 232eiπ3nπ 22eiπ13n Para n par n 2k eiπ16k eiπ 1 Para n ímpar n 2k 1 eiπ16k3 ei4π 1 Portanto os valores são 22 6 Mostre que se z 0 e se a for um número real então za expa ln z za se tomarmos o valor principal de za Resolução za expaLog z expaln z i Arg z za expa ln z expi a Arg z ea ln z 1 za O valor principal corresponde a tomar o ramo principal do logaritmo