Resolução de problemas sobre equações e propriedades de números complexos

1 Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas Justifique a sua resposta a O número n 6 faz satisfazer a seguinte igualdade 32 12 in 1 b O argumento principal do número complexo z 2 23 i é 2π3 2 A aluna Leandra diz que embora não consiga encontrar uma comprovação no texto pensa que argz argz Por exemplo diz ela se z 1 i então z 1 i e argz π4 e argz π4 O aluno Lucas discorda pois acha que tem um contraexemplo se z i então z i podemos tomar argi π2 e argi 3π2 de modo que argi argi Escolha um dos lados e defenda seu ponto de vista 3 Descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a seguinte equação Rez2 3 i 4 Os números complexos w0 12 i 12 w1 12 i 12 são as raízes quadradas de i Justifique sua resposta 5 Descreva geometricamente a imagem de S do conjunto S z C Imz 1 sob a transformação complexa w iz 3 RELEMBRANDO Seja um número complexo z a bi podemos representar no plano complexo como Seja z módulo a² b² então a z cosθ b z senθ Dessa forma z a bi z cosθ i z senθ z cosθ i senθ Por fim definimos cisθ cosθ i senθ z z cisθ Forma Polar argumento de z a Propriedade cisθn cisnθ Lado esquerdo 32 12 in cos π6 i sen π6n cis π6n cis π cos π i sen π 1 i0 1 Logo a afirmação é verdadeira b z 2 23 i 4 12 32 i Dica para chegar na forma polar Calcule o z Coloque z em evidência Exemplo z 2 23 i z 22 232 4 32 4 z 4 24 234 i 4 12 32 i Voltando para questão z 4 12 32 i 4 cos 2π3 i sen 2π3 4 cis 2π3 Logo a afirmação é verdadeira i z a bi z2 a2 b2 2bi Rez2 a2 b2 ii 3 i 32 12 3 3 2 Igualando i e ii a2 b2 2 Repare que tratase de uma hipérbole Seja Ni a bi Ni2 a bi2 Ni a2 b2 2abi a2 b2 0 2ab 1 a 12b 14b2 b2 0 1 4b4 0 2b22 1 2b2 1 Note que quando definimos z a bi a e b R Logo b2 0 Portanto 2b2 1 A divergência dos dois alunos devese ao fato de cada um adotar uma convenção diferente à respeito do arg Repere que podemos adotar duas convenções para imagem de argz π π Leandra 0 2π Lucas As duas maneiras podem ser usadas para representar todos os complexos Vamos analisar um exemplo z 3 i z 3 i Leandra argz argz Lucas 2π argz argz Por questão de facilidade quando estamos trabalhando com conjugados de complexos adotar a convenção de Leandra seria a melhor escolha b2 12 b 12 Sabendo que a 12b a 12 2 12 22 12 Portanto temos 2 raízes i 12 i2 W0 ou 12 i2 Ws Logo W0 e Ws são raízes quadradas de i 5 Vamos resolver de duas formas Geometricamente A transformação W iZ é uma rotação de 90 De forma mais geral W0 kZ é uma rotação de argk quando k1 Já a transformação W Z x iy é uma translação de x no eixo real e y no imaginário Algebricamente Seja z a bi W0 ia bi 3 3 b ai Imz b 1 1 b 2 3 b 33 Logo