Séries de Laurent e Variáveis Complexas - Estudo e Aplicações

VARIÁVEIS COMPLEXAS Tiago Loyo Silveira Conteúdo s a GaH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS Estudo da série de Laurent Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Desenvolver funções de variável complexa em séries de Laurent Analisar pontos singulares e séries de Laurent Identificar o estudo da série de Laurent visando demonstrar o teorema do resíduo Introdução Para falarmos das séries de Laurent precisamos introduzir os conceitos das séries de potências já tendo nos apropriado das habilidades necessárias à manipulação de variáveis complexas As séries de Laurent são muito importantes para a aplicação do te orema do resíduo que veremos neste capítulo aplicado em sistemas físicos como na aerodinâmica por exemplo Séries de potências Sejam constantes e x uma variável Denominamos séries de potências as sequências do tipo expressas pelo somatório 02996VariaveisComplexasindb 59 21032018 151752 Exemplo sendo a constante igual a 1 Sabemos que uma série simples pode convergir ou divergir Diferentemente das demais séries as séries de potências podem convergir em determinado intervalo e divergir em outro Nesse caso em cada série devemos analisar o seu intervalo de convergência ou raio de convergência Se tivermos x 0 a série será convergente em caso trivial Vamos analisar o caso O desenvolvimento fica Para que a série acima seja convergente em basta que cada um dos binômios sejam iguais a zero Para isso basta termos Estudo da série de Laurent 60 02996VariaveisComplexasindb 60 21032018 151752 1º Caso se x 0 a série será convergente em e terá raio R 0 divergindo nos demais intervalos reais Figura 1 Figura 1 1º caso 2º Caso se a série for convergente para todo x o raio de convergência está compreendido no intervalo Figura 2 Figura 2 2º caso 3º Caso um último caso e mais comum são aqueles nos quais o intervalo de convergência será pequeno e bem defi nido Nesse caso dado um o raio de convergência estará compreendido no intervalo sendo divergente dos demais intervalos Figura 3 3º caso 61 Estudo da série de Laurent 02996VariaveisComplexasindb 61 21032018 151752 Seja a série de potências dada pelo somatório sabendo que a série é convergente para x 7 e divergente para x 0 Determine o raio de convergência e o comportamento da série em x 2 Solução Inicialmente vamos determinar o centro fazendo Portanto x 4 é o centro Se esse é o valor que zera todos os binômios resultando apenas na constante pelo 1º caso podemos afirmar que a série é convergente em x 4 Pelo enunciado podemos afirmar que o raio mínimo é 3 já que o centro está em 4 e x 7 é convergente O raio máximo é 4 já que em x 0 a série é divergente Portanto temos Dessa forma a série é convergente em x 2 tendo raio mínimo igual a 3 e máximo igual a 4 Observação em x 1 a convergência não pode ser garantida Para isso precisaríamos de testes de convergência os quais não podem ser aplicados na série genérica dada Séries de Laurent Seja f uma função analítica em todos os pontos interiores de um círculo com centro e raio Então em cada ponto interior z de a função f pode ser desenvolvida em série de potências de Esse desenvolvimento é dado por Estudo da série de Laurent 62 02996VariaveisComplexasindb 62 21032018 151753 Essa série é denominada série de Taylor de f em Acesse os links abaixo para compreender melhor as séries de Laurent por meio das séries de Taylor CANTÃO 2018 O MATEMÁTICO 2013 SASSE 2012a httpsgooglAEAqjx httpsgooglchTZpG httpsgooglScbRWY Para compreender melhor as séries de Laurent vamos demonstrar um pequeno teorema Se z 1 é um número complexo então temos que Como demonstração considere a soma vamos multiplicar a soma por z Agora faremos Colocando em evidência no 1º membro temos dividindo ambos os membros por 1 z temos 63 Estudo da série de Laurent 02996VariaveisComplexasindb 63 21032018 151753 Agora seja f uma função analítica em uma região anular Então para todo z nessa região fz é representada por uma série de potências positivas e negativas de Série de Laurent onde sendo c um contorno fechado totalmente contido em e en volvendo uma vez no sentido positivo Encontre a série de Laurent para a função na região anular sendo a b reais e b a Solução Temos que para Tendo Estudo da série de Laurent 64 02996VariaveisComplexasindb 64 21032018 151753 Séries de Laurent de funções analíticas Seja um anel A em um conjunto com as seguintes características onde e são tais que Se f for uma função analítica cujo domínio contenha A então é possível representar fz de maneira única para cada sob forma Os coeficientes da série de Laurent da função analítica f no anel A então Para e para Portanto a série procurada é para 65 Estudo da série de Laurent 02996VariaveisComplexasindb 65 21032018 151754 podem ser obtidos fazendo onde C é o caminho fechado com imagem no anel dado Figura 4 Anel ANEL da Álgebra vem a definição Seja A um conjunto com duas operações e Então A é um anel se A1 a b c A a b c a b c A2 a b A a b b a A3 0 A tal que a 0 a a A A4 a A α A tal que a α 0 M1 a b c A a b c a b c M2 a b A a b b a M3 1 A tal que a 1 a a A AM a b c A a b c a b z c Estudo da série de Laurent 66 02996VariaveisComplexasindb 66 21032018 151754 Pontos singulares e resíduos Ponto singular Sejam um aberto conexo uma função complexa e Dizemos que é um ponto singular de se e somente se ou não existe Ponto singular isolado Sejam um aberto conexo uma função complexa e um ponto singular de Dizemos que é um ponto singular isolado se e somente se existe uma bola aberta de centro em tal que é o único ponto singular de que pertence a Caso contrário é dito um ponto singular não isolado Sendo um ponto singular isolado interior de f Da definição de ponto singular isolado existe uma vizinhança na qual f é analítica exceto no próprio ponto digamos Então nessa região a função f pode ser representada pela série de Laurent Essa região tem representação gráfica circular com o seu contorno definido por um número complexo onde os coefi cientes são dados por e onde C é um contorno fechado contido em envolvendo uma vez no sentido positivo No desenvolvimento acima o coeficiente do termo é chamado de resíduo de f no ponto e escrevemos 67 Estudo da série de Laurent 02996VariaveisComplexasindb 67 21032018 151755 Há vários tipos de singularidades como a singularidade isolada em que um ponto p é uma singularidade isolada de f se não existe qualquer outro ponto isolado em alguma vizinhança de p isto é existe δ 0 tal que o disco zpδ não possui nenhum ponto singular diferente de p Também há a singularidade removível em que um ponto singular p é uma singularidade removível de fz se existir o limite Ou seja o cálculo do limite de f tendendo ao ponto de singularidade nos dirá se a singularidade é ou não removível Considere a função Determine o resíduo da f no ponto Solução Sendo temos Como temos então Estudo da série de Laurent 68 02996VariaveisComplexasindb 68 21032018 151755 As funções analíticas são as funções representáveis por séries de potências Saiba mais em MAGALHÃES 2018 RAMOS 2013 FUNÇÃO 2017 httpsgooglU1vpdU httpsgooglhznDEp httpsgoogl8XW7pt Assim a série de Laurent é um modo simples de classificar uma singula ridade isolada De fato se é uma singularidade isolada de uma função f então para algum r 0 podemos escrever Para identificar uma singularidade removível vamos escrever a série de Laurent de uma outra forma Dessa forma não criamos uma substituição de variável Sabemos que é uma singularidade de f se existir uma função analítica definida em um disco centrado em e que coincida com f a menos do ponto Essa função g por ser analítica coincide com a sua série de Taylor centrada em que abrindo o somatório pode ser representada por O coeficiente de é resíduo da f no ponto singular Portanto 69 Estudo da série de Laurent 02996VariaveisComplexasindb 69 21032018 151756 Então podemos dizer que a série de Taylor é série de Laurent onde os coeficientes das potências negativas são todos nulos Pela unicidade da série de Laurent temos Portanto é uma singularidade removível de f se e somente se todos os coeficientes das potências negativas da sua série de Laurent se anulam e a série de Laurent de f se torna uma série de Taylor Veja no link abaixo um exercício resolvido do cálculo de uma integral complexa SASSE 2012b httpsgooglfYsncf Acessando este outro link você vai aprender mais sobre o teorema dos resíduos e a fórmula de Cauchy IEEACADEMIC 2014 httpsgoogl4bQMiY Estudo da série de Laurent 70 02996VariaveisComplexasindb 70 21032018 151756 1 Qual é a série de Laurent de em torno de e o seu domínio de convergência a b c d e 2 Encontre a série de Laurent de em torno da origem a b c d e 3 Obtenha a série de Laurent para a função no domínio a b c d e 4 Qual é o valor da integral onde C é o círculo percorrido no sentido antihorário a b c 2 d e 4 5 Determine qual é a série de Laurent da função Determine qual é a série de em torno do ponto a b c d e 71 Estudo da série de Laurent 02996VariaveisComplexasindb 71 21032018 151757 CANTÃO L A P Séries 7 séries de Taylor e de Maclaurin Sorocaba Unesp 2018 Dis ponível em httpwww2sorocabaunespbrprofessorluizaCDIIIIseries7pdf Acesso em 20 fev 2018 FUNÇÃO ANALÍTICA Wikipédia Flórida 2017 Disponível em httpsptwikipedia orgwikiFunC3A7C3A3oanalC3ADtica Acesso em 20 fev 2018 IEEEACADEMIC PORTUGAL O teorema dos resíduos e a fórmula de Cauchy YouTube 2014 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv0LfPWqKF3uM Acesso em 20 fev 2018 MAGALHÃES L T Funções analíticas complexas Lisboa Instituto Superior Técnico 2018 Disponível em httpswwwmathtecnicoulisboaptlmagalACCap5pdf Acesso em 20 fev 2018 O MATEMÁTICO Grings Série de Taylor e MacLaurin aula 12 YouTube 2013 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv0dqWoZs3erM Acesso em 20 fev 2018 RAMOS P Variáveis Complexas funções analíticas YouTube 2013 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvbNdFLs0ZaSY Acesso em 20 fev 2018 SASSE F D Integral complexa e método de resíduos I YouTube 2012b Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvOHie3KoujvI Acesso em 20 fev 2018 SASSE F D Série de Taylor YouTube 2012a Disponível em httpswwwyoutube comwatchvn6ViNFTAfOs Acesso em 20 fev 2018 Leituras recomendadas JESUS D V Aplicações do Teorema do Resíduo 2007 79 f Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em Matemática Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2007 Disponível em httpsrepositorioufscbrbitstreamhandle12345678996550 Daynittipdfsequence1 Acesso em 20 fev 2018 SERIES de Laurent Aracaju CESADUFS 2018 Disponível em httpwwwcesadufs combrORBIpublicuploadCatalago19154416022012VariC3A1veisComple xas10pdf Acesso em 20 fev 2018 SOBRE os Domínios de Convergência de Séries de Laurent de Funções Racionais Campinas Unicamp 2018 Disponível em httpwwwdcafeeunicampbrrafael ee400laurent2pdf Acesso em 20 fev 2018 ZANI S L Funções de uma variável complexa São Paulo USP 2018 Disponível em httpconteudoicmcuspbrpessoasszanicomplexapdf Acesso em 20 fev 2018 Estudo da série de Laurent 72 02996VariaveisComplexasindb 72 21032018 151757 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra