Concreto Armado I - Dimensionamento de Lajes Retangulares em Flexão Normal Simples

EES150 Concreto Armado I Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prof Leandro Lopes da Silva leandrodeesufmgbr Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Departamento de Engenharia de Estruturas DEEs Versão 01 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Introdução Lajes são elementos estruturais laminares uma dimensão bem menor que as duas demais normalmente solicitadas por cargas normais ao seu plano h lmenor 1 m No que diz respeito ao dimensionamento lajes podem ser interpretadas como compostas por faixas de seção retangular normalmente de largura unitária nas duas direções do plano que as define Interpretando as lajes dessa maneira podese empregar o equacionamento de seção retangular submetida à flexão normal simples sendo a armadura obtida em cada direção propagada para o restante da laje Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Introdução A título de estudo da responsabilidade de cada direção da laje na capacidade da transferência de carga para os apoios podese assumir que cada direção de uma laje retangular a b é responsável por descarregar um quinhão da carga total p ou seja p pa pb em que pa é a carga atuante na faixa na direção a e pb na direção b Os quinhões de carga pa e pb podem ser determinados simplificadamente assumindose que cada faixa unitária se comporta como uma viga isolada no entanto impondose que a flecha no centro de uma faixa se iguale à da outra Assumindo laje simplesmente apoiada nas quatro bordas temse δa 5pa a4 384EI δb 5pb b4 384EI pb b4 pa a4 pb b4 p pb a4 pb p a4 a4 b4 p 1 ba4 kb p em que ka 1 kb e kb 1 1 ba4 são os coeficientes que determinam os quinhões de carga pa e pb Se ba 2 ka 094 indicando que a laje trabalha praticamente somente na direção menor kb 006 Logo considerase aqui se lmaior lmenor 2 laje armada em uma direção ou seja na direção menor se lmaior lmenor 2 laje armada em duas direções ou em cruz Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em uma direção 1 m a a a a p b p p p M R R M X RA RE X X M R R X R borda livre borda simplesmente apoiada borda engastada a menor vão em laje armada em uma direção Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em uma direção As reações de apoio e os momentos fletores positivos e negativos referentes aos quatro modelos de lajes armadas em uma direção aqui considerados são facilmente determinados por meio de análise linear elástica uma das estratégias de análise estrutural para lajes prescritas na NBR 61182023 Os valores obtidos são resumidos a seguir Tipo de laje Regime elástico ApoiadaApoiada R 0 5pa M pa28 ApoiadaEngastada RA 0 375pa RE 0 625pa M pa214 22 X pa28 EngastadaEngastada R 0 5pa M pa224 X pa212 Em balanço R pa X pa22 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em uma direção A favor da segurança é conveniente se considerar que as vigas na direção menor de lajes retangulares armadas em uma direção caso existam também recebem carregamentos vindos das lajes reações de apoio que podem ser aproximadas como a b α β R A R pA a R pa 2 tgα tgβ em que α 45o entre dois apoios do mesmo tipo α 60o a partir do apoio considerado en gastado se o outro for considera do simplesmente apoiado α 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em duas direções a b a b borda simplesmente apoiada borda engastada vão cuja direção tem o maior número de engastes ou caso se tenha o mesmo número de engastes nas duas direções é o menor vão a a b a A B a b C D E a b F Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em duas direções As lajes de concreto apresentam relação hlmenor que as caracterizam como esbeltas isto é 1100 hlmenor 15 sendo pois bem interpretadas pela teoria de placas de Kirchhoff que se baseia na solução da seguinte equação diferencial para o deslocamento transversal da placa flecha w 4 wx4 2 4 wx2 y2 4 wy4 pD em que D Ecs h3 12 1 ν2 1 A partir de solução numérica da Eq 1 constroemse tabelas por meio das quais se determinam os momentos fletores para o dimensionamento Para tanto definemse Mi p a2 mi Xi p a2 ni Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em duas direções Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em duas direções Segundo a NBR 61182023 as reações de apoio podem ser aproximadas pe las resultantes de carga nas áreas delimitadas pelas linhas de ruptura com base na teoria das charneiras plásticas As linhas de ruptura podem ser apro ximadas por retas inclinadas a partir dos vértices com os seguintes ângulos α 45o entre dois apoios do mesmo tipo α 60o a partir do apoio considerado engastado se o outro for considerado simplesmente apoiado α 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre As reações podem ser consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos de apoio A partir dessas prescrições normati vas constroemse tabelas por meio das quais se determinam as reações de apoio Para tanto definemse Ri ri pa b a b 60º 45º 30º 45º A1 A2 A3 A4 𝑅𝑎 𝑅𝑎 𝑅𝑏 𝑅𝑏 𝑅𝑎 𝑝𝐴1 𝑎 𝑅𝑎 𝑝𝐴2 𝑎 𝑅𝑏 𝑝𝐴3 𝑏 𝑅𝑏 𝑝𝐴4 𝑏 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Lajes Retangulares Armadas em duas direções Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes i Espessura mínima das lajes maciças 7 cm p lajes de forro não em balanço 8 cm p lajes de piso não em balanço 10 cm p lajes em balanço 10 cm p lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN 12 cm p lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN No dimensionamento de lajes em balanço os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn de acordo com Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes ii Vãos efetivos de lajes O vão efetivo das lajes deve ser calculado pela seguinte expressão lef l0 a1 a2 h l0 t1 t2 a1 t12 0 3h a2 t22 0 3h Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes iii Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas adjacentes devem ser compatibilizados compensados tal como se segue L1 L2 L1 L2 XL2 XL1 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes iii Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas adjacentes devem ser compatibilizados compensados tal como se segue L1 L2 L1 L2 XL2 XL1 XFinal Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes iii Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas adjacentes devem ser compatibilizados compensados tal como se segue L1 L2 L1 L2 XL2 XL1 XFinal ΔX ΔM 03ΔX Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes iii Aproximações para o diagrama de momento fletor Os momentos fletores negativos entre lajes contíguas adjacentes devem ser compatibilizados compensados tal como se segue XF inal 0 8Xmax XL1 XL2 2 Obs A laje que terá o momento fletor negativo reduzido na compatibilização deverá ter o momento fletor positivo acrescido de M 0 3X conforme ilustrado iv Armadura longitudinal mínima Para o caso de lajes definese ρs Asmin b h Asmin 100 h cm2 taxa geométrica de armadura mínima para lajes Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes iv Armadura longitudinal mínima Obs A taxa geométrica de armadura mínima para vigas ρmin é determi nada como apresentado nas prescrições normativas para vigas Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes v Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes A armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h8 As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaça mento no máximo igual a 2h ou 20 cm As barras da armadura secundária de flexão devem apresentar espaça mento no máximo igual a 33 cm Nas lajes em que seja dispensada armadura transversal e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes toda a armadura po sitiva deve ser levada até os apoios não se permitindo escalonamento desta armadura A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio As barras negativas deverão ter o comprimento reto prolongado para cada lado dos eixos dos apoios de no mínimo 14 do maior dos me nores lados das lajes contíguas que se engastam prescrição normativa da versão de 1980 da NBR 6118 não mantida na versão de 2023 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes v Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes Em lajes em balanço a armadura negativa deve ter o comprimento reto de no mínimo duas vezes o vão do balanço As armaduras negativas de bordas sem continuidade devem se esten der até pelo menos 015 do vão menor da laje a partir da face do apoio As armaduras negativas em suas extremidades deverão ser dobradas com um comprimento igual a h 2c em que c é o cobrimento vi Cargas para o cálculo de estruturas de edificações NBR 61202019 A NBR 61202019 tem como objetivo fixar as condições para se determinar os valores das cargas que atuam nos projetos de estruturas de edificações Essas cargas representadas pela intensidade em uma superfície de 1 m2 são compostas por Cargas permanentes g devidas ao peso próprio da estrutura e de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes avaliadas com auxílio das Tabelas 1 a 9 da NBR 61202019 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes vi Cargas para o cálculo de estruturas de edificações NBR 61202019 1 m 1 m A A h espessura h e1 e2 e3 AA piso contrapiso laje reboco g pplaje revestimentos equipamentos fixos se existir g h γCA e1 γpiso e2 γcontrapiso e3 γreboco Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes vi Cargas para o cálculo de estruturas de edificações NBR 61202019 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes vi Cargas para o cálculo de estruturas de edificações NBR 61202019 Obs 1 Quando forem previstas paredes divisórias sem posição definida em pro jeto sobre estruturas com adequada capacidade de distribuição dos esforços solicitantes podese considerar além dos demais carregamentos uma carga uniformemente distribuída adicional da ordem de 05 a 10 kNm2 conforme a Tabela 11 da NBR 61202019 2 Alvenarias com posição bem definida sobre as lajes podem a título de emprego das tabelas aqui apresentadas ter o seu peso total diluído sobre a laje considerandoo como uniformemente distribuído na área da laje Cargas acidentais q são aquelas que podem atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso pessoas móveis utensílios veículos etc são supostas uniformemente distribuídas com valores mínimos indicados na Tabela 10 da NBR 61202019 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes vi Cargas para o cálculo de estruturas de edificações NBR 61202019 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Lajes vi Cargas para o cálculo de estruturas de edificações NBR 61202019 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada pedese a Calcular as reações de apoio e os momentos fletores regime elástico das lajes fazendo a indicação em planta b Calcular as armaduras das lajes e fazer o detalhamento Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada pedese a Calcular as reações de apoio e os momentos fletores regime elástico das lajes fazendo a indicação em planta b Calcular as armaduras das lajes e fazer o detalhamento Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Para a Planta de Forma Estrutural apresentada pedese a Calcular as reações de apoio e os momentos fletores regime elástico das lajes fazendo a indicação em planta b Calcular as armaduras das lajes e fazer o detalhamento Dados Obra em área urbana CAA II fck 25 MPa c 25 mm Aço CA60 d 3 cm d 10 3 7 cm γf 14 γc 14 γs 115 Espessura do piso e do contrapiso 15 cm Espessura do reboco 20 cm Piso em porcelanato γpiso 23 kNm3 Contrapiso e reboco em argamassa de cimento cal e areia γarg 19 kNm3 Carga acidental sobrecarga q 15 kNm2 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L1 L4 ax 1 t12 202 10 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ax 2 t22 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 1 t12 202 10 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 2 t22 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm lx ef 410 3 3 416 cm ly ef 290 3 3 296 cm lmaior lmenor 416 296 1 405 2 laje armada em duas direções Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L1 L4 b 416 cm a 296 cm Tipo C Laje Tipo C b a 416 296 1 405 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L2 L3 ax 1 t12 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ax 2 t22 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 1 t12 202 10 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 2 t22 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm lx ef 732 3 3 738 cm ly ef 290 3 3 296 cm lmaior lmenor 738 296 2 493 2 laje armada em uma direção Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L2 L3 b 738 cm a 296 cm ApoiadaEngastada Laje ApoiadaEngastada Obs A borda inferior da L2 e da L3 tem mais do que 23 do comprimento engastado logo pode ser considerada engastada Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L5 L8 ax 1 t12 202 10 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ax 2 t22 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 1 t12 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 2 t22 202 10 cm 0 3h 0 3 10 3 cm lx ef 410 3 3 416 cm ly ef 378 3 3 384 cm lmaior lmenor 416 384 1 083 2 laje armada em duas direções Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L5 L8 b 416 cm a 384 cm Tipo C Laje Tipo C b a 416 384 1 083 Obs A borda direita da L5 borda esquerda da L8 tem mais do que 23 do comprimento engastado logo pode ser considerada engastada Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L6 L7 ax 1 t12 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ax 2 t22 202 10 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 1 t12 122 6 cm 0 3h 0 3 10 3 cm ay 2 t22 202 10 cm 0 3h 0 3 10 3 cm lx ef 583 3 3 589 cm ly ef 278 3 3 284 cm lmaior lmenor 589 284 2 074 2 laje armada em uma direção Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes i Dimensões e modelo das lajes Laje L6 L7 b 589 cm a 284 cm ApoiadaEngastada Laje ApoiadaEngastada Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes ii Carregamento das lajes p g q em que g carga permanente q carga acidental sobrecarga Obs Nesse exemplo o carregamento total atuante p é o mesmo para todas as lajes De maneira geral isto não é uma condição obrigatória 10 cm 15 cm 15 cm 20 cm piso contrapiso laje reboco g 0 10 25 0 015 23 0 015 19 0 020 19 3 50 kNm2 p 3 50 1 5 5 0 kNm2 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iii Reações de apoio Laje L1 L4 ba r a r a r b r b 140 0183 0317 0235 0408 1405 0183 0317 02355 04087 145 0183 0317 0240 0415 R a r a pa 0 183 5 2 96 2 71 kNm R a r a pa 0 317 5 2 96 4 69 kNm R b r b pa 0 2355 5 2 96 3 49 kNm R b r b pa 0 4087 5 2 96 6 05 kNm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iii Reações de apoio Laje L2 L3 b 738 cm a 296 cm ApoiadaEngastada 45º 30º 45º 30º RA 0 375pa 0 375 5 2 96 5 55 kNm RE 0 625pa 0 625 5 2 96 9 25 kNm Resq Rdir pa 2 tgα tgβ 5 2 96 2 tg45o tg30o 4 69 kNm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iii Reações de apoio Laje L5 L8 ba r a r a r b r b 105 0183 0317 0192 0332 1083 0183 0317 01973 03412 110 0183 0317 0200 0346 R a r a pa 0 183 5 3 84 3 51 kNm R a r a pa 0 317 5 3 84 6 09 kNm R b r b pa 0 1973 5 3 84 3 79 kNm R b r b pa 0 3412 5 3 84 6 55 kNm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iii Reações de apoio Laje L6 L7 b 589 cm a 284 cm ApoiadaEngastada 45º 45º 30º 60º RA 0 375pa 0 375 5 2 84 5 33 kNm RE 0 625pa 0 625 5 2 84 8 88 kNm Resq pa 2 tgα tgβ 5 2 84 2 tg45o tg30o 4 50 kNm Rdir pa 2 tgα tgβ 5 2 84 2 tg45o tg60o 2 60 kNm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iii Reações de apoio Mapa de Reações Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iv Momentos fletores regime elástico Laje L1 L4 ba ma mb na nb 140 226 418 101 126 1405 22525 4193 10075 1259 150 211 444 96 124 Ma pa2ma 5 x 296222525 1945 kNmm 1945 kNcmm Mb pa2mb 5 x 29624193 1045 kNmm 1045 kNcmm Xa pa2na 5 x 296210075 4348 kNmm 4348 kNcmm Xb pa2nb 5 x 29621259 3480 kNmm 3480 kNcmm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iv Momentos fletores regime elástico Laje L2 L3 a 296 cm b 738 cm p M X RA RE M pa2 14 22 5 2 962 14 22 3 081 kNmm 308 1 kNcmm X pa2 8 5 2 962 8 5 476 kNmm 547 6 kNcmm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iv Momentos fletores regime elástico Laje L5 L8 ba ma mb na nb 100 372 372 143 143 1083 32303 37366 12972 13719 110 313 374 127 136 Ma pa2ma 5 x 384232303 2282 kNmm 2282 kNcmm Mb pa2mb 5 x 384237366 1973 kNmm 1973 kNcmm Xa pa2na 5 x 384212972 5684 kNmm 5684 kNcmm Xb pa2nb 5 x 384213719 5374 kNmm 5374 kNcmm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iv Momentos fletores regime elástico Laje L6 L7 a 284 cm b 589 cm p M X RA RE M pa2 14 22 5 2 842 14 22 2 836 kNmm 283 6 kNcmm X pa2 8 5 2 842 8 5 041 kNmm 504 1 kNcmm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iv Momentos fletores regime elástico Compatibilização compensação de momentos negativos Entre X1a X2a 0 8Xmax Xmed XF inal X L1L5 4348 5684 4547 5016 5016 668 L2L6 5476 5041 4381 5259 5259 217 kNcmm Entre M1a M2a M1a M2a M corr 1a M corr 2a L1L5 1945 2282 200 1945 2482 L2L6 3081 2836 65 3146 2836 kNcmm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes iv Momentos fletores regime elástico Mapa de Momentos Fletores 5016 1945 2482 5016 1945 2482 3146 5259 2836 5259 3146 2836 1045 1045 3480 3480 1973 1973 5374 5374 kNcmm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes v Valores de cálculo fc αc ηc fcd αc ηc fck γc 0 85 1 0 2 5 1 4 1 518 kNcm2 fyd fyk γs 60 1 15 52 17 kNcm2 M L1 ad γf M L1 a 1 4 194 5 272 3 kNcmm M L1 bd γf M L1 b 1 4 104 5 146 3 kNcmm M L2 ad γf M L2 a 1 4 314 6 440 4 kNcmm M L5 ad γf M L5 a 1 4 248 2 347 5 kNcmm M L5 bd γf M L5 b 1 4 197 3 276 2 kNcmm M L6 ad γf M L6 a 1 4 283 6 397 0 kNcmm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes v Valores de cálculo XL1L2 d γf XL1L2 1 4 348 0 487 2 kNcmm XL1L5 d γf XL1L5 1 4 501 6 702 2 kNcmm XL2L6 d γf XL2L6 1 4 525 9 736 3 kNcmm XL5L6 d γf XL5L6 1 4 537 4 752 4 kNcmm vi Dimensionamento da armadura longitudinal Obs1 Armadura longitudinal mínima Asmin ρs 100 h dh 7 10 0 7 ρmin 0 150 Armaduras negativas ρs ρmin Asmin 0 150 100 10 1 5 cm2m Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Armaduras negativas de bordas sem continuidade ρs 0 67ρmin Asmin 0 67 0 150 100 10 1 005 cm2m Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções ρs 0 67ρmin Asmin 0 67 0 150 100 10 1 005 cm2m Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção ρs ρmin Asmin 0 150 100 10 1 5 cm2m Armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção Assec 0 20Asprinc Assec 0 9 cm2m ρs 0 5ρmin Asmin 0 5 0 150 100 10 0 75 cm2m Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Obs2 Espaçamento máximo Smax Armadura principal SP max 2h 2 10 20 cm 20 cm Armadura secundária SS max 33 cm Obs3 Diâmetro máximo ϕmax ϕmax h 8 100 mm 8 12 5 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo MadL1 2723 kNcmm K fracMdfc cdot b cdot d2 frac27231518 imes 100 imes 72 approx 0037 KL 0295 herefore K K armadura simples As As1 cancelAs20 fracfc cdot b cdot dfyd left1sqrt12Kright frac1518 imes 100 imes 75217 left1sqrt12 imes 0037right 0768 ext cm2m Asmin herefore Logo As Asmin 1005 ext cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 ext cm Diâmetro máximo phimax 125 ext mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo M L1 ad 272 3 kNcmm ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 005 0 196 6 S 100 cm 6 17 cm SP max nº barras vão livre S 410 17 25 Comprimento C 290 12 20 2 5 2 5 317 cm 25 ϕ 50 mm c 17 cm C 317 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo MbdL1 1463 kNcmm K fracMdfc cdot b cdot d2 frac14631518 imes 100 imes 72 approx 0020 KL 0295 herefore K K armadura simples As As1 cancelAs20 fracfc cdot b cdot dfyd left1sqrt12Kright frac1518 imes 100 imes 75217 left1sqrt12 imes 0020right 0412 ext cm2m Asmin herefore Logo As Asmin 1005 ext cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 ext cm Diâmetro máximo phimax 125 ext mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo M L1 bd 146 3 kNcmm ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 005 0 196 6 S 100 cm 6 17 cm SP max nº barras vão livre S 290 17 18 Comprimento C 410 20 12 2 5 2 5 437 cm 18 ϕ 50 mm c 17 cm C 437 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo MadL2 4404 kNcmm K fracMdfc cdot b cdot d2 frac44041518 imes 100 imes 72 approx 0059 KL 0295 herefore K K armadura simples As As1 cancelAs20 fracfc cdot b cdot dfyd left1sqrt12Kright frac1518 imes 100 imes 75217 left1sqrt12 imes 0059right 1239 ext cm2m Asmin herefore Logo As Asmin 15 ext cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 ext cm Diâmetro máximo phimax 125 ext mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo M L2 ad 440 4 kNcmm ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 5 0 196 8 S 100 cm 8 12 5 cm SP max nº barras vão livre S 732 12 5 59 Comprimento C 290 12 20 2 5 2 5 317 cm 59 ϕ 50 mm c 125 cm C 317 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Armadura secundária L2 SS max 33 cm Assec 0 20Asprinc 0 2 1 5 0 3 cm2m 0 9 cm2m 0 75 cm2m ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 0 9 0 196 5 S 100 cm 5 20 cm SS max nº barras vão livre S 290 20 15 Comprimento C 732 12 12 2 5 2 5 751 cm 15 ϕ 50 mm c 20 cm C 751 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo MadL5 3475 kNcmm K fracMdfc cdot b cdot d2 frac34751518 imes 100 imes 72 approx 0047 KL 0295 quad herefore quad K K armadura simples As As1 cancelAs20 fracfc cdot b cdot dfydleft1 sqrt1 2Kright frac1518 imes 100 imes 75217left1 sqrt1 2 imes 0047right 0981 cm2m Asmin quad herefore Logo As Asmin 1005 cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 cm Diâmetro máximo phimax 125 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo M L5 ad 347 5 kNcmm ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 005 0 196 6 S 100 cm 6 17 cm SP max nº barras vão livre S 410 17 25 Comprimento C 378 20 12 2 5 2 5 405 cm 25 ϕ 50 mm c 17 cm C 405 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo MbdL5 2762 kNcmm K fracMdfc cdot b cdot d2 frac27621518 imes 100 imes 72 approx 0037 KL 0295 quad herefore quad K K armadura simples As As1 cancelAs20 fracfc cdot b cdot dfydleft1 sqrt1 2Kright frac1518 imes 100 imes 75217left1 sqrt1 2 imes 0037right 0768 cm2m Asmin quad herefore Logo As Asmin 1005 cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 cm Diâmetro máximo phimax 125 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo M L5 bd 276 2 kNcmm ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 005 0 196 6 S 100 cm 6 17 cm SP max nº barras vão livre S 378 17 23 Comprimento C 410 20 12 2 5 2 5 437 cm 23 ϕ 50 mm c 17 cm C 437 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo MadL6 3970 kNcmm K fracMdfc cdot b cdot d2 frac39701518 imes 100 imes 72 approx 0053 KL 0295 quad herefore quad K K armadura simples As As1 cancelAs20 fracfc cdot b cdot dfydleft1 sqrt1 2Kright frac1518 imes 100 imes 75217left1 sqrt1 2 imes 0053right 1110 cm2m Asmin quad herefore Logo As Asmin 15 cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 cm Diâmetro máximo phimax 125 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento positivo M L6 ad 397 0 kNcmm ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 5 0 196 8 S 100 cm 8 12 5 cm SP max nº barras vão livre S 583 12 5 47 Comprimento C 278 20 12 2 5 2 5 305 cm 47 ϕ 50 mm c 125 cm C 305 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Armadura secundária L6 SS max 33 cm Assec 0 20Asprinc 0 2 1 5 0 30 cm2m 0 9 cm2m 0 75 cm2m ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 0 9 0 196 5 S 100 cm 5 20 cm SS max nº barras vão livre S 278 20 14 Comprimento C 583 12 20 2 5 2 5 610 cm 14 ϕ 50 mm c 20 cm C 610 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XdL1L2 4872 kNcmm K Md fc b d2 4872 1518 x 100 x 72 0065 KL 0295 K K armadura simples As As1 As20 fc b d fyd 1 1 2K 1518 x 100 x 7 5217 1 1 2 x 0065 1370 cm2m Asmin Logo As Asmin 15 cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 cm Diâmetro máximo φmax 125 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XL1L2 d 487 2 kNcmm ϕ 6 0 mm nº barras metro As Aϕ60 1 5 0 283 6 S 100 cm 6 17 cm SP max nº barras vão livre S 290 17 18 ℎ 2𝑐 5 cm 1 4 L1 296 cm L2 296 cm 74 cm 74 cm 5 cm maior Comprimento C 2 74 5 158 cm 18 ϕ 60 mm c 17 cm C 158 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XdL1L5 7022 kNcmm K Md fc b d2 7022 1518 x 100 x 72 0094 KL 0295 K K armadura simples As As1 As20 fc b d fyd 1 1 2K 1518 x 100 x 7 5217 1 1 2 x 0094 2014 cm2m Asmin Logo As 2014 cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 cm Diâmetro máximo φmax 125 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XL1L5 d 702 2 kNcmm ϕ 6 0 mm nº barras metro As Aϕ60 2 014 0 283 8 S 100 cm 8 12 5 cm SP max nº barras vão livre S 410 12 5 33 ℎ 2𝑐 5 cm 1 4 L1 296 cm L5 384 cm 96 cm 96 cm 5 cm maior Comprimento C 2 96 5 202 cm 33 ϕ 60 mm c 125 cm C 202 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XdL2L6 7363 kNcmm K Md fc b d2 7363 1518 x 100 x 72 0099 KL 0295 K K armadura simples As As1 As20 fc b d fyd 1 1 2K 1518 x 100 x 7 5217 1 1 2 x 0099 2128 cm2m Asmin Logo As 2128 cm2m Espaçamento máximo SmaxP 20 cm Diâmetro máximo φmax 125 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XL2L6 d 736 3 kNcmm ϕ 6 0 mm nº barras metro As Aϕ60 2 128 0 283 8 S 100 cm 8 12 5 cm SP max nº barras vão livre S 583 12 5 47 ℎ 2𝑐 5 cm 1 4 L2 296 cm L6 284 cm 74 cm 74 cm 5 cm maior Comprimento C 2 74 5 158 cm 47 ϕ 60 mm c 125 cm C 158 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XdL5L6 7524 kNcmm K Mdfc b d2 75241518 x 100 x 72 0101 KL 0295 K K armadura simples As As1 As20 fc b dfyd 1 1 2K 1518 x 100 x 75217 1 1 2 x 0101 2173 cm²m Asmin Logo As 2173 cm²m Espaçamento máximo SmaxP 20 cm Diâmetro máximo φmax 125 mm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Momento negativo XL5L6 d 752 4 kNcmm ϕ 6 0 mm nº barras metro As Aϕ60 2 173 0 283 8 S 100 cm 8 12 5 cm SP max nº barras vão livre S 278 12 5 23 ℎ 2𝑐 5 cm 1 4 L5 384 cm L6 284 cm 96 cm 96 cm 5 cm maior Comprimento C 2 96 5 202 cm 23 ϕ 60 mm c 125 cm C 202 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Armadura negativa L2L3 As Asmin 1 5 cm2m ϕ 6 0 mm nº barras metro As Aϕ60 1 5 0 283 6 S 100 cm 6 17 cm SP max nº barras vão livre S 290 17 18 ℎ 2𝑐 5 cm 1 4 L2 296 cm L3 296 cm 74 cm 74 cm 5 cm maior Comprimento C 2 74 5 158 cm 18 ϕ 60 mm c 17 cm C 158 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Armaduras negativas bordas sem continuidade As Asmin 1 005 cm2m ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 005 0 196 6 S 100 cm 6 17 cm SP max L1 Vão menor 296 cm C 5 20 2 5 0 15 296 5 72 cm Borda superior nº barras vão livreS 41017 25 Borda esquerda nº barras vão livreS 29017 18 L2 Vão menor 296 cm C 5 20 2 5 0 15 296 5 72 cm Borda superior nº barras vão livreS 73217 44 Borda inferior trecho nº barras vão livreS 12917 8 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vi Dimensionamento da armadura longitudinal Armaduras negativas bordas sem continuidade As Asmin 1 005 cm2m ϕ 5 0 mm nº barras metro As Aϕ50 1 005 0 196 6 S 100 cm 6 17 cm SP max L5 Vão menor 384 cm C 5 20 2 5 0 15 384 5 86 cm Borda esquerda nº barras vão livreS 37817 23 Borda inferior nº barras vão livreS 41017 25 Borda direita trecho nº barras vão livreS 8017 5 L6 Vão menor 284 cm C 5 20 2 5 0 15 284 5 71 cm Borda inferior nº barras vão livreS 57517 34 Borda direita nº barras vão livreS 27817 17 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vii Detalhamento Armadura positiva N1 25 5 c 17 317 N1 25 5 c 17 317 N2 18 5 c 17 437 N2 18 5 c 17 437 N3 59 5 c 125 317 N3 59 5 c 125 317 N4 15 5 c 20 751 N4 15 5 c 20 751 N5 25 5 c 17 405 N5 25 5 c 17 405 N6 23 5 c 17 437 N6 23 5 c 17 437 N7 47 5 c 125 305 N7 47 5 c 125 305 N8 14 5 c 20 610 N8 14 5 c 20 610 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vii Detalhamento Armadura positiva Lista de barras Posição ϕ Quantidade Comprimento cm N1 50 50 317 N2 50 36 437 N3 50 118 317 N4 50 30 751 N5 50 50 405 N6 50 46 437 N7 50 94 305 N8 50 28 610 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vii Detalhamento Armadura negativa N9 18 60 c 17 158 148 5 5 N9 18 60 c 17 158 148 5 5 5 5 192 N10 33 60 c 125 202 5 5 192 N10 33 60 c 125 202 5 5 148 N11 47 60 c 125 158 5 5 148 N11 47 60 c 125 158 N12 23 60 c 125 202 192 5 5 N12 23 60 c 125 202 192 5 5 N13 18 60 c 17 158 148 5 5 5 5 N15 18 5 c 17 72 5 5 N14 25 5 c 17 72 5 5 N15 18 5 c 17 72 5 5 N14 25 5 c 17 72 62 62 62 62 5 5 N16 44 5 c 17 72 62 5 5 N16 44 5 c 17 72 62 5 5 N17 8 5 c 17 72 62 5 5 N17 8 5 c 17 72 62 5 5 N18 23 5 c 17 86 76 5 5 N18 23 5 c 17 86 76 N19 25 5 c 17 86 5 5 76 N19 25 5 c 17 86 5 5 76 5 5 76 5 5 76 N20 5 5 c 17 86 N20 5 5 c 17 86 5 5 61 N21 34 5 c 17 71 5 5 61 N21 34 5 c 17 71 5 5 61 5 5 61 N22 17 5 c 17 71 N22 17 5 c 17 71 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vii Detalhamento Armadura negativa Lista de barras Posição ϕ Quantidade Comprimento cm N9 60 36 158 N10 60 66 202 N11 60 94 158 N12 60 46 202 N13 60 18 158 N14 50 50 72 N15 50 36 72 N16 50 88 72 N17 50 16 72 N18 50 46 86 N19 50 50 86 N20 50 10 86 N21 50 68 71 N22 50 34 71 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes vii Detalhamento Quadro de Resumo Armaduras positiva e negativa Aço CA60 ϕ Comprimento Massa Nominal Massa m kgm kg 50 207658 0154 3198 60 46008 0222 1021 Total 422 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF Com base nos Estados Limites de Serviço devese verificar a flecha das lajes isto é verificar o Estado Limite de Serviço de Deformações Excessivas ELSDEF A flecha total da laje ftotal é composta por uma parcela imediata fi e uma parcela adicional diferida no tempo fdif decorrente da fluência do concreto ou seja ftotal fi fdif 2 A flecha diferida no tempo fdif se relaciona com a flecha imediata fi por meio de um fator αf de modo que fdif αf fi 3 Logo das Eqs 2 e 3 temse ftotal fi αf fi ftotal 1 αf fi 4 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF O fator αf fdiffi é determinado por αf ξt ξt0 em que t0 idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa duração t idade em meses em que se deseja o valor da flecha diferida ξt 068 0996t t032 para t 70 meses 2 para t 70 meses Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente ξt 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF Para situações práticas usuais em que se deseja a flecha no tempo infinito isto é ftotal f supondo t0 14 dias 0 5 mês αf ξ ξ 0 5 2 0 54 1 46 Logo da Eq 4 f 1 1 46 fi f 2 46fi 5 A flecha admissível das lajes fadm é definida pela NBR 61182023 como fadm ℓ 250 6 em que ℓ é o menor vão da laje retangular com exceção de lajes em balanço em que ℓ é o dobro do comprimento do balanço Obs Os deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas entretanto a atuação isolada da contra flecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que ℓ350 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF A verificação do ELSDEF se dá considerando Combinações de Serviço Quase Permanentes NBR 61182023 isto é as cargas para os cálculos são compostas pela parcela permanente g sem majoração e pela parcela acidental q minorada pelo fator de redução ψ2 ou seja pi g ψ2q Mserv Mg ψ2Mq em que ψ2 0 3 edifícios residenciais ψ2 0 4 edifícios comerciais de escritório e públicos ψ2 0 6 bibliotecas arquivos oficinas e garagens Segundo a NBR 61182023 as Combinações de Serviço são classificadas de acordo com sua permanência na estrutura sendo as Combinações Quase Permanentes aquelas que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF Em relação ao comportamento material a verificação do ELSDEF se dá tal como na etapa de projeto de análise estrutural considerando material linear elástico regido pelo módulo de deformação secante do concreto dado por Ecs αi Eci sendo αi 08 02 fck80 10 fck em MPa em que Eci é o módulo de elasticidade tangente inicial do concreto dado por Grupo I Eci αE 5600 fck fck em MPa Grupo II Eci 215 x 103 αE fck10 125 fck em MPa O parâmetro αE é função do agregado graúdo isto é αE 12 para concreto produzido com brita de basalto ou diabásio αE 10 para concreto produzido com brita de granito ou gnaisse αE 09 para concreto produzido com brita de calcário αE 07 para concreto produzido com brita de arenito Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF A flecha imediata fi é calculada no caso de lajes armadas em uma direção a partir da teoria clássica de vigas de EulerBernoulli ao passo que no caso de lajes armadas em duas direções ou em cruz a partir da teoria clássica de placas de Kirchhoff tal como discriminado a seguir Lajes Retangulares Armadas em uma direção fi K pi a4 384 EIeqt0 K pi a4 384EcsIeq 7 em que K 5 para laje ApoiadaApoiada K 2 079 para laje ApoiadaEngastada K 1 para laje EngastadaEngastada K 48 para laje Em balanço Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF Lajes Retangulares Armadas em duas direções fi f1 pi a4 Ecsh3eq sendo f1 K1 ba3 K2 ba2 K3 ba K4 1000 8 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF Alternativamente f1 pode ser extraído diretamente da tabela abaixo Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF A inércia equivalente Ieq presente no cálculo da flecha imediata fi de lajes armadas em uma direção Eq 7 bem como a espessura equivalente heq no caso de lajes armadas em duas direções Eq 8 é determinada em função do estado de degradação do concreto por sua vez avaliado por meio de um momento chamado de momento de fissuração Mr dado por Mr α fct Ic yt em que α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta valendo 15 para o caso de seções retangulares observar que a faixa de largura unitária 100h cm2 considerada para a análise da laje tem seção retangular fct é a resistência à tração direta do concreto igual ao fctm no ELSDEF Logo Mr 15 fctm 10 100 h2 6 150 h2 fctm 60 075 h2 fck23 kNcm Grupo I 53 h2 ln1 011 fck kNcm Grupo II Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF Se Mserv Mr Estádio I admitese concreto não fissurado trabalhando em comportamento linear elástico à compressão e à tração Ieq Ic heq h Se Mserv Mr Estádio II admitese concreto fissurado trabalhando em comportamento linear elástico à compressão e não trabalhando à tração Ieq MrMserv3 Ic 1 MrMserv3 III Ic Fórmula de Branson 1966 Sendo Ieq 100 heq3 12 temse heq 12 Ieq 100 cm Obs1 O momento de serviço Mserv é o momento fletor máximo em serviço no vão para lajes apoiadas e contínuas engastadas e no engaste para lajes em balanço Obs2 O momento de inércia da seção fissurada III é determinado tal como discutido a seguir Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Verificação de Flechas ELSDEF Assumindose uma faixa de largura unitária da laje em Estádio II temse b 100 cm h d xII LN αe As αe Es Ecs As Determinação da profundidade da linha neutra no Estádio II xII 100 xII xII2 αe As d xII 0 xII αe As αe As2 200 αe As d 100 Determinação do momento de inércia da seção fissurada III III 100 xII3 3 αe As d xII2 cm4 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada cujo dimensionamento foi realizado no exemplo anterior pedese a Verificar a flecha das lajes Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada cujo dimensionamento foi realizado no exemplo anterior pedese a Verificar a flecha das lajes Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas Para a Planta de Fôrma Estrutural apresentada cujo dimensionamento foi realizado no exemplo anterior pedese a Verificar a flecha das lajes Dados Edifício residencial ψ2 0 3 fck 25 MPa Brita de granito αE 1 0 Obs Não é o mesmo que αe EsEcs Carga permanente g 3 5 kNm2 Carga acidental sobrecarga q 1 5 kNm2 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas i Valores de serviço Mr 0 75 h2 fck23 0 75 102 2523 641 2 kNcm Grupo I pi g ψ2q 3 5 0 3 1 5 3 95 kNm2 Ecs αiEci sendo αi 0 8 0 2fck 80 0 8 0 2 25 80 0 8625 1 0 Eci αE 5600 fck 1 0 5600 25 280000 MPa Grupo I Ecs 0 8625 280000 241500 MPa 241500 103 kNm2 Obs Nesse exemplo o momento de fissuração Mr e o carregamento de serviço pi são os mesmos para todas as lajes De maneira geral no que diz respeito ao momento de fissuração isto é recorrente uma vez que é usual adotar uma mesma espessura para todas as lajes do pavimento ao passo que em relação ao carregamento isto não é uma condição obrigatória Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L1 L4 Tipo C a 296 cm b 416 cm Laje Tipo C ba 416296 1405 p 50 kNm² Ma 1945 kNcm Mb 1045 kNcm K1 144 K2 843 K3 1821 K4 879 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L1 L4 fadm ℓmenor 250 296 cm 250 1 184 cm Mserv Mmáx p pi 194 5 5 0 3 95 153 66 kNcm Mserv 153 66 kNcm Mr 641 2 kNcm Estádio I heq h 0 1 m f1 K1 ba3 K2 ba2 K3 ba K4 1000 14 4 1 4053 84 3 1 4052 182 1 1 405 87 9 1000 0 0415 f 2 46fi 2 46f1 pi a4 Ecsh3eq 2 460 0415 3 95 2 964 241500 103 0 13 0 00128 m 0 128 cm fadm 1 184 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L2 L3 b 738 cm a 296 cm ApoiadaEngastada Laje ApoiadaEngastada p50 kNm2 M 314 6 kNcm K 2 079 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L2 L3 fadm ℓmenor 250 296 cm 250 1 184 cm Mserv Mmáx p pi 314 6 5 0 3 95 248 53 kNcm Mserv 248 53 kNcm Mr 641 2 kNcm Estádio I Ieq Ic 1 0 13 12 m4 f 2 46fi 2 46 K pi a4 384EcsIeq 2 46 2 079 3 95 2 964 384 241500 103 1 0 1312 0 00201 m 0 201 cm fadm 1 184 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L5 L8 Tipo C a 384 cm b 416 cm Laje Tipo C ba 416384 1083 p 50 kNm² Ma 2482 kNcm Mb 1973 kNcm K1 144 K2 843 K3 1821 K4 879 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L5 L8 fadm ℓmenor 250 384 cm 250 1 536 cm Mserv Mmáx p pi 248 2 5 0 3 95 196 08 kNcm Mserv 196 08 kNcm Mr 641 2 kNcm Estádio I heq h 0 1 m f1 K1 ba3 K2 ba2 K3 ba K4 1000 14 4 1 0833 84 3 1 0832 182 1 1 083 87 9 1000 0 0287 f 2 46fi 2 46f1 pi a4 Ecsh3eq 2 460 0287 3 95 3 844 241500 103 0 13 0 00251 m 0 251 cm fadm 1 536 cm Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L6 L7 b 589 cm a 284 cm ApoiadaEngastada Laje ApoiadaEngastada p50 kNm2 M 283 6 kNcm K 2 079 Lajes Retangulares Flexão Normal Simples Exemplo Lajes Flechas ii Verificação das flechas Laje L6 L7 fadm ℓmenor 250 284 cm 250 1 136 cm Mserv Mmáx p pi 283 6 5 0 3 95 224 04 kNcm Mserv 224 04 kNcm Mr 641 2 kNcm Estádio I Ieq Ic 1 0 13 12 m4 f 2 46fi 2 46 K pi a4 384EcsIeq 2 46 2 079 3 95 2 844 384 241500 103 1 0 1312 0 00170 m 0 170 cm fadm 1 136 cm Obs Estudar o Exemplo 2 item 392 sobre o Estádio II na apostila