Exercícios - Força de Atrito - Fundamentos de Mecânica 2021-1

A força de atrito \(\vec{f}_e\) é a força exercida sobre um corpo quando o corpo desliza ou tenta deslizar em uma superfície. A força é sempre paralela à superfície e tem o sentido oposto ao do deslizamento. Em uma superfície ideal, a força de atrito é desprezível. Quando uma corda está sob tração, cada extremidade da corda exerce uma força sobre um corpo. A força é orientada na direção da corda, para fora do corpo. No caso de uma corda sem massa (uma corda de massa desprezível), as trações nas duas extremidades da corda têm o mesmo módulo \(T\), mesmo que a corda passe por uma polia sem massa e sem atrito (uma polia de massa desprezível cujo eixo tem um atrito desprezível). Terceira Lei de Newton Se um corpo \(C\) aplica a um corpo \(B\) uma força \(\vec{F}_{CB}\) o corpo \(B\) aplica ao corpo \(C\) uma força \(\vec{F}_{BC}\) tal que \[ \vec{F}_{BC} = -\vec{F}_{CB}. \] Perguntas 1 A Fig. 5-19 mostra diagramas de corpo livre de quatro situações nas quais um objeto, visto de cima, é puxado por várias forças em um piso sem atrito. Em quais dessas situações a aceleração \(\vec{a}\) do objeto possuir (a) uma componente \(x\) e (b) uma componente \(y\)? (c) Em cada situação, indique a orientação de \(\vec{a}\) citando um quadrante ou um semieixo. (Não há necessidade de usar a calculadora; para encontrar a resposta, basta fazer alguns cálculos de cabeça.) Figura 5-19 Pergunta 1. 2 Duas forças horizontais, puxam uma banana split no balcão sem atrito de uma lanchonete. Determine, sem usar calculadora, qual dos vetores do diagrama de corpo livre da Fig. 5-20 representa corretamente (a) \(\vec{F}_1\) e (b) \(\vec{F}_2\). Qual é a componente da força resultante (c) ao longo do eixo \(x\) e (d) ao longo do eixo \(y\)? Para que quadrante aponta o vetor (e) da força resultante e (f) da aceleração do sorvete? \[ \vec{F}_1 = (3\,\text{N}i) - (4\,\text{N}j) \text{e} \vec{F}_2 = (-1\,\text{N}i) - (2\,\text{N}j) \] Figura 5-20 Pergunta 2. 3 Na Fig. 5-21, as forças \(\vec{F}_1\) e \(\vec{F}_2\) são aplicadas a uma caixa que desliza com velocidade constante em uma superfície sem atrito. Diminuímos o ângulo \(\theta\) sem mudar o módulo de \(\vec{F}_1\). Para manter a caixa deslizando com velocidade constante, devemos aumentar, diminuir, ou manter inalterado o módulo de \(\vec{F}_2\)? Figura 5-21 Pergunta 3. 4 No instante \(t = 0\), uma força \(\vec{F}\) constante começa a atuar em uma pedra que se move no espaço sideral no sentido positivo do eixo \(x\). (a) Para \(t > 0\), quais são possíveis funções \(x(t)\) para a posição da pedra: \((1)\) \(x = 4t - 3\), \((2)\) \(x = -4t^2 + 6t - 3\), \((3)\) \(x = 4t^2 + 6t - 3\)? (b) Para que função \(\vec{F}\) tem o sentido contrário ao do movimento inicial da pedra? 5 A Fig. 5-22 mostra vistas superiores de quatro situações nas quais forças atuam sobre um bloco que está em um piso sem atrito. Em que situações é possível, para certos valores dos módulos das forças, que o bloco (a) esteja em repouso e (b) esteja em movimento com velocidade constante? Figura 5-22 Pergunta 5. 6 A Fig. 5-23 mostra uma caixa em quatro situações nas quais forças horizontais são aplicadas. Ordene as situações de acordo com o módulo da aceleração da caixa, começando pelo maior. Figura 5-23 Pergunta 6. 7 Kansas City, em 17 de julho de 1981: O hotel Hyatt Regency, recém-inaugurado, recebe centenas de pessoas, que escutam e dançam sucessos da década de 1940 ao som de uma banda. Muitos se aglomeram nas passarelas que se estendem como pontes por cima do grande saguão. De repente, duas passarelas cedem, caindo sobre a multidão. As passarelas eram sustentadas por hastes verticais e mantidas no lugar por porcas atarraxadas nas hastes. No projeto original, seriam usadas apenas duas hastes compridas, presas no teto, que sustentariam as três passarelas \((\\text{Fig. 5-24a})\). Se cada passarela e as pessoas que encontram sobre ela têm massa total \(M\), qual é a massa total sustentada por duas porcas que estão \((a)\) na passarela de baixo e \((b)\) na passarela de cima? Como não é possível atarraxar uma porca em uma haste a não ser nas extremidades, o projeto foi modificado. Em vez das duas hastes, foram usadas seis, duas presas ao teto e quatro ligando as passarelas, duas a duas \((\\text{Fig. 5-24b})\). Qual é agora a massa total sustentada por duas porcas que estão \((c)\) na passarela de baixo, do lado de cima da passarela de cima e \((e)\) no lado de baixo da passarela de cima? Foi essa modificação do projeto original que causou a tragédia. Figura 5-24 Pergunta 7. 8 A Fig. 5-25 mostra três gráficos da componente vx(t) de uma velocidade e três gráficos da componente vy(t). Os gráficos não estão em escala. Que gráfico de vx(t) e que gráfico de vy(t) correspondem melhor a cada uma das situações da Pergunta 1 (Fig. 5-19)? Figura 5-25 Pergunta 8. 9 A Fig. 5-26 mostra um conjunto de quatro blocos sendo puxados por uma força F→ em um piso sem atrito. Que massa total é acelerada para a direita (a) pela força F→ (b) pela corda 3 e (c) pela corda 1? (d) Ordene os blocos de acordo com a aceleração, começando pela maior. (e) Ordene as cordas de acordo com a tração, começando pela maior. Figura 5-26 Pergunta 9. 10 A Fig. 5-27 mostra três blocos sendo empurrados em um piso sem atrito por uma força horizontal F→. Que massa total é acelerada para a direita (a) pela força F→, (b) pela força F→21 exercida pelo bloco 1 sobre o bloco 2 e (c) pela força F→32 exercida pelo bloco 2 sobre o bloco 3? (d) Ordene os blocos de acordo com o módulo da aceleração, começando pelo maior. (e) Ordene as forças F→, F→21 e F→32 de acordo com o módulo, começando pelo maior. Figura 5-27 Pergunta 10. 11 Uma força vertical F→ é aplicada a um bloco de massa m que está em um piso horizontal. O que acontece com o módulo da força normal F→N que o piso exerce sobre o bloco quando o módulo de F→ aumenta a partir de zero, se a força F→ aponta (a) para baixo e (b) para cima? 12 A Fig. 5-28 mostra quatro opções para a orientação de uma força de módulo F a ser aplicada a um bloco que se encontra em um plano inclinado. A força pode ser horizontal ou vertical. (No caso da opção b, a força não é suficiente para levantar o bloco, afastando-o da superfície.) Ordene as opções de acordo com o módulo da força normal exercida pelo plano sobre o bloco, começando pela maior. Figura 5-28 Pergunta 12. Problemas - ... O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema. Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. Módulo 5-1 A Primeira e a Segunda Lei de Newton •1 Apenas duas forças horizontais atuam em um corpo de 3,0 kg que pode se mover em um piso sem atrito. Uma força é de 9,0 N e aponta para o leste; a outra é de 8,0 N e atua 62º ao norte do oeste. Qual é o módulo da aceleração do corpo? •2 Duas forças horizontais agem sobre um bloco de madeira de 2,0 kg que pode deslizar sem atrito em uma bancada de cozinha, situada em um plano xy. Uma das forças é F→1 = (3,0 N)î + (4,0 N)ĵ. Determine a aceleração do bloco na notação dos vetores unitários se a outra força é (a) F→2 = (−3,0 N)î + (−4,0 N)ĵ, (b) F→2 = (−3,0 N)î + (4,0 N)ĵ e (c) F→2 = (3,0 N)î + (−4,0 N)ĵ. •3 Se um corpo-padrão de 1 kg tem uma aceleração de 2,00 m/s² a 20,0º com o semieixo x positivo, qual é (a) a componente x e (b) qual é a componente y da força resultante a que o corpo está submetido e (c) qual é a força resultante na notação dos vetores unitários? •4 Sob a ação de duas forças, uma partícula se move com velocidade constante v→ = (3,0 m/s)î − (4 m/s)ĵ. Uma das forças é F→1 = (2 N)î + (−6 N)ĵ. Qual é a outra força? •5 Três astronautas, impulsionados por mochilas a jato, empurram e guiam um asteroide de 120 kg para uma base de manutenção, exercendo as forças mostradas na Fig. 5-29, com F1 = 32 N, F2 = 55 N, F3 = 41 N, θ1 = 30º e θ3 = 60º. Determine a aceleração do asteroide (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo. Figura 5-29 Problema 5. •6 Em um cabo de guerra bidimensional, Alexandre, Bárbara e Carlos puxam horizontalmente um pneu de automóvel nas orientações mostradas na vista superior da Fig. 5-30. Apesar dos esforços da trinca, o pneu permanece no mesmo lugar. Alexandre puxa com uma força F→A de módulo 220 N e Carlos puxa com uma força F→C de módulo 170 N. Observe que a orientação de F→C não é dada. Qual é o módulo da força F→B exercida por Bárbara? Figura 5-30 Problema 6. 7 Duas forças agem sobre a caixa de 2,00 kg vista de cima na Fig. 5-31, mas apenas uma força é mostrada. Para F₁ = 20,0 N, a = 12,0 m/s² e θ = 30,0°, determine a segunda força (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo. Figura 5-31 Problema 7. 8 Um objeto de 2,00 kg está sujeito a três forças, que imprimem ao objeto uma aceleração a = -(8,00 m/s²)î + (6,00 m/s²)ĵ. Se duas das forças são F₁ = (30,0 N)î + (16,0 N)ĵ e F₂ = -(12,0 N)î + (8,00 N)ĵ, determine a terceira força. Figura 5-32 Problema 12. 12 Duas forças horizontais F₁ e F₂ agem sobre um disco de 4,0 kg que desliza sem atrito em uma placa de gelo na qual foi desenhado um sistema de coordenadas xy. A força F₁ aponta no sentido positivo do eixo x e tem um módulo de 7,0 N. A força F₂ tem um módulo de 9,0 N. A Fig. 5-32 mostra a componente vₓ da velocidade do disco em função do tempo t. Qual é o ângulo entre as orientações constantes das forças F₁ e F₂? Módulo 5-3 Aplicações das Leis de Newton • 17 Na Fig. 5-36, a massa do bloco é 8,5 kg e o ângulo θ é 30°. Determine (a) a tração da corda e (b) a força normal que age sobre o bloco. (c) Determine o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada. Figura 5-36 Problema 17. • 18 Em abril de 1974, o belga John Massis conseguiu puxar dois vagões de passageiros mordendo um freio de cavalo preso por uma corda aos vagões e se inclinando para trás com as pernas apoiadas nos dormentes da ferrovia. Os vagões pesavam 700 kN (cerca de 80 toneladas). Suponha que Massis tenha puxado com uma força constante com um módulo 2,5 vezes maior que o seu peso e fazendo um ângulo θ de 30° para cima em relação à horizontal. Sua massa era de 80 kg e ele fez os vagões se deslocarem de 1,0 m. Desprezando as forças de atrito, determine a velocidade dos vagões quando Massis parou de puxar. • 19 Qual é o módulo da força necessária para acelerar um trenzinho foguete de 500 kg até 1600 km/h em 1,8 s, partindo do repouso? • 20 Um carro a 53 km/h se choca com o pilar de uma ponte. Um passageiro do carro se desloca para a frente, de uma distância de 65 cm (em relação à estrada), até ser imobilizado por um airbag inflado. Qual é o módulo da força (suposta constante) que atua sobre o tronco do passageiro, que tem uma massa de 41 kg? • 21 Uma força horizontal constante F_a empurra um pacote dos correios de 2,00 kg em um piso sem atrito no qual um sistema de coordenadas xy foi desenhado. A Fig. 5-37 mostra as componentes x e y da velocidade do pacote em função do tempo t. Determine (a) o módulo e (b) a orientação de F_a? Figura 5-37 Problema 21. • 22 Um homem está sentado em um brinquedo de parque de diversões no qual uma cabina é acelerada para baixo, no sentido negativo do eixo y, com uma aceleração cujo módulo é 1,24g e g = 9,80 m/s². Uma moeda de 0,567 g repousa no joelho do homem. Depois que a cabina começa a se mover e na notação dos vetores unitários, qual é a aceleração da moeda (a) em relação ao solo e (b) em relação ao homem? (c) Quanto tempo a moeda leva para chegar ao teto da cabina, 2,20 m acima do joelho do homem? Na notação dos vetores unitários, qual é (d) a força a que está submetida a moeda e (e) qual é a força aparente a que está submetida a moeda do ponto de vista do homem? • 23 Tarzan, que pesa 820 N, salta de um rochedo na ponta de um cipó de 20,0 m que está preso ao galho de uma árvore e faz inicialmente um ângulo de 22,0° com a vertical. Suponha que um eixo y seja traçado horizontalmente a partir da borda do rochedo e que um eixo y seja traçado verticalmente para cima. Imediatamente após Tarzan pular da encosta, a tração do cipó é 760 N. Para esse instante, determine (a) a força que o cipó exerce sobre Tarzan na notação dos vetores unitários e a força resultante que age sobre Tarzan (b) na notação dos vetores unitários e como (c) o módulo e (d) o ângulo da força em relação ao sentido positivo do eixo x. Qual é (e) o módulo e (f) o ângulo da aceleração de Tarzan nesse instante? • 24 Existem duas forças horizontais atuando na caixa de 2,0 kg da Fig. 5-38, mas a vista superior mostra apenas uma (de módulo F_1 = 20 N). A caixa se move ao longo do eixo x. Para cada um dos valores abaixo da aceleração a_x da caixa, determine a segunda força na notação dos vetores unitários: (a) 10 m/s², (b) 20 m/s², (c) 0, (d) –10 m/s² e (e) –20 m/s². Figura 5-38 Problema 24. • 25 Propulsão solar. Um “iate solar” é uma nave espacial com uma grande vela que é empurrada pela luz solar. Embora seja fraco em comparação com as forças a que estamos acostumados, esse empurrão pode ser suficiente para propelir a nave para longe do Sol, em uma viagem gratuita, mas muito lenta. Suponha que a espaçonave tenha uma massa de 900 kg e receba um empurrão de 20 N. (a) Qual é o módulo da aceleração resultante? Se a nave parte do repouso, (b) que distância ela percorre em um dia e (c) qual é a velocidade no final do dia? • 26 A tração para a qual uma linha de pescar arrebenta é chamada de “resistência” da linha. Qual é a resistência mínima necessária para que a linha faça parar um salmão de 85 N de peso em 11 cm se o peixe está inicialmente se deslocando a 2,8 m/s? Suponha uma desaceleração constante. • 27 Um elétron com uma velocidade de 1,2 × 10⁷ m/s penetra horizontalmente em uma região na qual ele está sujeito a uma força vertical constante de 4,5 × 10⁻¹⁶ N. A massa do elétron é 9,11 × 10⁻³¹ kg. Determine a deflexão vertical sofrida pelo elétron enquanto percorre uma distância horizontal de 30 mm. • 28 Um carro que pesa 1,30 × 10⁴ N está se movendo a 40 km/h quando os freios são aplicados, fazendo o carro parar depois de percorrer 15 m. Supondo que a força aplicada pelo freio é constante, determine (a) o módulo da força e (b) o tempo necessário para o carro parar. Se a velocidade inicial é multiplicada por dois e o carro experimenta a mesma força durante a frenagem, por qual fator são multiplicados (c) a distância até o carro parar e (d) o tempo necessário para o carro parar? (Isso poderia ser uma lição sobre o perigo de dirigir em alta velocidade.) • 29 Um bombeiro que pesa 712 N escorrega em um poste vertical com uma aceleração de 3,00 m/s², dirigida para baixo. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido (para cima ou para baixo) da força vertical exercida pelo poste sobre o bombeiro e (c) o módulo e (d) o sentido da força vertical exercida pelo bombeiro sobre o poste? • 30 Os ventos violentos de um tornado podem fazer com que pequenos objetos fiquem cravados em árvores, paredes de edifícios, e até mesmo em placas de sinalização de metal. Em uma simulação em laboratório, um palito comum de madeira foi disparado por um canhão pneumático contra um galho de carvalho. A massa do palito era de 0,13 g, a velocidade do palito antes de penetrar no galho era de 220 m/s, e a profundidade de penetração foi de 15 mm. Se o palito sofreu uma desaceleração constante, qual foi o módulo da força exercida pelo galho sobre o palito? • 31 Um bloco começa a subir um plano inclinado sem atrito com uma velocidade inicial v_0 = 3,50 m/s. O ângulo do plano inclinado é θ = 32,0°. (a) Que distância vertical o bloco consegue subir? (b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura? (c) Qual é a velocidade do bloco ao chegar de volta ao ponto de partida? ... à encosta, que faz um ângulo de 8,0° com a horizontal. Qual é o módulo F_cabo da força que o cabo exerce sobre o esquiador (a) se o módulo v da velocidade do esquiador é constante e igual a 2,0 m/s e (b) se v aumenta a uma taxa de 0,10 m/s²? ... movimento da barcaça, que se desloca no sentido positivo de um eixo x. A massa da barcaça é 9500 kg e o módulo da aceleração da barcaça é 0,12 m/s². Qual é (a) o módulo e (b) qual a orientação (em relação ao semieixo x positivo) da força exercida ... disparado de um canhão com a ajuda de elásticos ou ar comprimido. Em uma versão do número, Emanuel Zacchini foi disparado por cima de três rodas gigantes e aterrissou em uma rede, na mesma altura que a boca do canhão, a 69 m de distância. Ele foi impulsionado dentro do cano por uma distância de 5,2 m e lançado com um ângulo de 53º. Se sua massa era de 85 kg e ele sofreu uma aceleração constante no interior do cano, qual foi o módulo da força responsável pelo lançamento? (Sugestão: Trate o lançamento como se acontecesse ao longo de uma rampa de 53º. Despreze a resistência do ar.) 48 Na Fig. 5-44, os elevadores A e B estão ligados por um cabo e podem ser levantados ou baixados por outro cabo que está acima do elevador A. A massa do elevador A é de 1700 kg; a massa do elevador B é de 1300 kg. O piso do elevador A sustenta uma caixa de 12 kg. A tração do cabo que liga os elevadores é 1,91 × 10⁴ N. Qual é o módulo da força normal que o piso do elevador A exerce sobre a caixa? Figura 5-44 Problema 48. 49 Na Fig. 5-45, um bloco de massa m = 5,00 kg é puxado ao longo de um piso horizontal sem atrito por uma corda que exerce uma força de módulo F = 12,0 N e ângulo θ = 25,0º. (a) Qual é o módulo da aceleração do bloco? (b) O módulo da força F é aumentado lentamente. Qual é o valor do módulo da força imediatamente antes de o bloco perder contato com o piso? (c) Qual é o módulo da aceleração do bloco na situação do item (b)? Figura 5-45 Problemas 49 e 60. 50 Na Fig. 5-46, três caixas são conectadas por cordas, uma das quais passa por uma polia de atrito e massa desprezíveis. As massas das caixas são mₐ = 30,0 kg, mᵦ = 40,0 kg e m꜀ = 10,0 kg. Quando o conjunto é liberado a partir do repouso, (a) qual é a tração da corda que liga B a C, e (b) que distância A percorre no primeiro 0,250 s (supondo que não atinja a polia)? Figura 5-46 Problema 50. 51 A Fig. 5-47 mostra dois blocos ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). O conjunto é conhecido como máquina de Atwood. Um bloco tem massa m₁ = 1,3 kg; o outro tem massa m₂ = 2,8 kg. Qual é (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b) qual a tração da corda? Figura 5-47 Problemas 51 e 65. 52 Um homem de 85 kg desce de uma altura de 10,0 m, em relação ao solo, pendurado em uma corda que passa por uma roldana sem atrito e está presa na outra extremidade a um saco de areia de 65 kg. Com que velocidade o homem atinge o solo se ele partiu do repouso? 53 Na Fig. 5-48, três blocos conectados são puxados para a direita em uma mesa horizontal sem atrito por uma força de módulo T₃ = 65,0 N. Se m₁ = 12,0 kg, m₂ = 24,0 kg e m₃ = 31,0 kg, calcule (a) o módulo da aceleração do sistema, (b) a tração T₁ e (c) a tração T₂. Figura 5-48 Problema 53. 54 A Fig. 5-49 mostra quatro pinguins que estão sendo puxados em uma superfície gelada muito escorregadia (sem atrito) por um zelador. As massas de três pinguins e as trações em duas das cordas são m₁ = 12 kg, m₃ = 15 kg, m₄ = 20 kg, T₂ = 111 N e T₄ = 222 N. Determine a massa do pinguim m₂, que não é dada. Figura 5-49 Problema 54. 55 Dois blocos estão em contato em uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada ao bloco maior, como mostra a Fig. 5-50. (a) Se m₁ = 2,3 kg, m₂ = 1,2 kg e F = 3,2 N, determine o módulo da força entre os dois blocos. (b) Mostre que, se uma força de mesmo módulo F for aplicada ao menor dos blocos no sentido oposto, o módulo da força entre os blocos será de 2,1 N, que não é o mesmo valor calculado no item (a). (c) Explique a razão da diferença. Figura 5-50 Problema 55. 56 Na Fig. 5-51a, uma força horizontal constante Fₐ é aplicada ao bloco A, que empurra um bloco B com uma força de 20,0 N dirigida horizontalmente para a direita. Na Fig. 5-51b, a mesma força Fₐ é aplicada ao bloco B; desta vez, o bloco A empurra o bloco B com uma força de 10,0 N dirigida horizontalmente para a esquerda. Os blocos têm massa total de 12,0 kg. Qual é o módulo (a) da aceleração na Fig. 5-51a e (b) da força Fₐ? Figura 5-51 Problema 56. 57 Um bloco de massa m₁ = 3,70 kg em um plano inclinado sem atrito, de ângulo θ = 30,0º, está preso por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia de massa e atrito desprezíveis, e outro bloco de massa m₂ = 2,30 kg (Fig. 5-52). Qual é (a) o módulo da aceleração de cada bloco, (b) qual o sentido da aceleração do bloco que está pendurado e (c) qual a tração da corda? Figura 5-52 Problema 57. 58 A Fig. 5-53 mostra um homem sentado em um andaime preso a uma corda de massa desprezível que passa por uma roldana de massa e atrito desprezíveis e desce de volta às mãos do homem. A massa total do homem e do andaime é 95,0 kg. Qual é o módulo da força com a qual o homem deve puxar a corda para que o andaime suba (a) com velocidade constante e (b) com uma aceleração, para cima, de 1,30 m/s²? (Sugestão: Um diagrama de corpo livre pode ajudar bastante.) Se no lado direito a corda se estende até o solo e é puxada por outra pessoa, qual é o módulo da força com a qual essa pessoa deve puxar a corda para que o homem suba (c) com velocidade constante e (d) com uma aceleração para cima de 1,30 m/s²? Qual é o módulo da força que a polia exerce sobre o teto (e) no item a, (f) no item b, (g) no item c (h) no item d? Figura 5-53 Problema 58. 59 Um macaco de 10 kg sobe em uma árvore por uma corda de massa desprezível que passa por um galho sem atrito e está presa, na outra extremidade, a um caixote de 15 kg, inicialmente em repouso no solo (Fig. 5-54). (a) Qual é o módulo da menor aceleração que o macaco deve ter para levantar o caixote? Se, após o caixote ter sido erguido, o macaco parar de subir e se agarrar à corda, quais são (b) o módulo e (c) o sentido da aceleração do macaco e (d) a tração da corda? Figura 5-54 Problema 59. 60 A Fig. 5-45 mostra um bloco de 5,00 kg sendo puxado, em um piso sem atrito, por uma corda que aplica uma força de módulo constante de 20,0 N e um ângulo θ(t) que varia com o tempo. Quando o ângulo θ chega a 25°, qual é a taxa de variação da aceleração do bloco (a) se θ(t) = (2,00 × 10⁻² graus/s)t e (b) se θ(t) = (−2,00 × 10⁻² graus/s)t? (Sugestão: Transforme os graus em radianos.) 61 Um balão de ar quente de massa M desce verticalmente com uma aceleração para baixo de módulo a. Que massa (lastro) deve ser jogada para fora para que o balão tenha uma aceleração para cima de módulo a? Suponha que a força vertical para cima do ar quente sobre o balão não muda com a perda de massa. 62 No arremesso de peso, muitos atletas preferem lançar o peso com um ângulo menor que o ângulo teórico (cerca de 42°) para o qual um peso arremessado com a mesma velocidade e da mesma altura atinge a maior distância possível. Uma razão tem a ver com a velocidade que o atleta pode imprimir ao peso durante a fase de aceleração. Suponha que um peso de 7,260 kg seja acelerado ao longo de uma trajetória reta com 1,650 m de comprimento por uma força constante de módulo 380,0 N, começando com uma velocidade de 2,500 m/s (devido ao movimento preparatório do atleta). Qual é a velocidade do peso no final da fase de aceleração se o ângulo entre a trajetória e a horizontal for (a) 30,00° e (b) 42,00°? (Sugestão: Trate o movimento como se fosse ao longo de uma rampa com o ângulo dado.) (c) Qual será a redução percentual da velocidade de lançamento se o atleta aumentar o ângulo de 30,00° para 42,00°? 63 A Fig. 5-55 mostra, em função do tempo t, a componente Fx da força que age sobre um bloco de gelo de 3,0 kg que pode se deslocar apenas ao longo do eixo x. Em t = 0, o bloco está se movendo no sentido positivo do eixo, a uma velocidade de 3,0 m/s. Qual é (a) o módulo da velocidade do bloco e (b) qual é o sentido do movimento do bloco no instante t = 11 s? Figura 5-55 Problema 63. 64 A Fig. 5-56 mostra uma caixa de massa m2 = 1,0 kg em um plano inclinado sem atrito de ângulo θ = 30°, que está ligada por uma corda, de massa desprezível, a uma outra caixa de massa m1 = 3,0 kg em uma superfície horizontal sem atrito. A polia não tem atrito e sua massa é desprezível. (a) Se o módulo da força horizontal F é 2,3 N, qual é a tração da corda? (b) Qual é o maior valor que o módulo de F2 pode ter sem que a corda fique frouxa? Figura 5-56 Problema 64. 65 A Fig. 5-47 mostra uma máquina de Atwood, na qual dois recipientes estão ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). No instante t = 0, o recipiente 1 tem massa de 1,30 kg e o recipiente 2 tem massa de 2,80 kg, mas o recipiente 1 está perdendo massa (por causa de um vazamento) a uma taxa constante de 0,200 kg/s. A que taxa o módulo da aceleração dos recipientes está variando (a) em t = 0 e (b) em t = 3,00 s? (c) Em que instante a aceleração atinge o valor máximo? 66 A Fig. 5-57 mostra parte de um teleférico. A massa máxima permitida de cada cabina, incluindo os passageiros, é de 2800 kg. As cabinas, que estão penduradas em um cabo de sustentação, são puxadas por um segundo cabo ligado à torre de sustentação de cada cabina. Suponha que os cabos estão esticados e inclinados de um ângulo θ = 35°. Qual é a diferença entre as trações de segmentos vizinhos do cabo que puxa as cabines se as cabines estão com a máxima massa permitida e estão sendo aceleradas para cima a 0,81 m/s²? Figura 5-57 Problema 66. 67 A Fig. 5-58 mostra três blocos ligados por cordas que passam por polias sem atrito. O bloco B está em uma mesa sem atrito; as massas são m_A = 6,00 kg, m_B = 8,00 kg e m_C = 10,0 kg. Qual é a tração da corda da direita quando os blocos são liberados? Figura 5-58 Problema 67. 68 Um arremessador de peso lança um peso de 7,260 kg empurrando-o ao longo de uma linha reta com 1,650 m de comprimento e um ângulo de 34,10° com a horizontal, acelerando o peso até a velocidade de lançamento de 2,500 m/s (que se deve ao movimento preparatório do atleta). O peso deixa a mão do arremessador a uma altura de 2,110 m e com um ângulo de 34,10° e percorre uma distância horizontal de 15,90 m. Qual é o módulo da força média que o atleta exerce sobre o peso durante a fase de aceleração? (Sugestão: Trate o movimento durante a fase de aceleração como se fosse ao longo de uma rampa com o ângulo dado.) Problemas Adicionais 69 Na Fig. 5-59, o bloco A de 4,0 kg e o bloco B de 6,0 kg estão conectados por uma corda, de massa desprezível. A força \(\vec{F}_A = (12 \text{ N})\hat{i}\) atua sobre o bloco A; a força \(\vec{F}_B = (24 \text{ N})\hat{i}\) atua sobre o bloco B. Qual é a tensão da corda? Figura 5-59 Problema 69. 70 Um homem de 80 kg salta de uma janela a 0,50 m de altura para um pátio de concreto. Ele não dobra os joelhos para amortecer o impacto e leva 2,0 cm para parar. (a) Qual é a aceleração média desde o instante em que os pés do homem tocam o solo até o instante em que o corpo se imobiliza? (b) Qual é o módulo da força média que o pátio exerce sobre o homem? 71 A Fig. 5-60 mostra uma caixa de dinheiro sujo (massa m_1 = 3,0 kg) sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo θ_1 = 30°. A caixa está ligada, por uma corda de massa desprezível, a uma caixa de dinheiro lavado (massa m_2 = 2,0 kg) situada sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo θ_2 = 60°. A polia não tem atrito e a massa é desprezível. Qual é a tensão da corda? Figura 5-60 Problema 71. 72 Três forças atuam sobre uma partícula que se move com velocidade constante \(\vec{v} = (2 \text{ m/s})\hat{i} - (7 \text{ m/s})\hat{j}\). Duas das forças são \(\vec{F}_1 = (2 \text{ N})\hat{i} + (3 \text{ N})\hat{j} + (-2 \text{ N})\hat{k}\) e \(\vec{F}_2 = (-5 \text{ N})\hat{i} + (8 \text{ N})\hat{j} + (-2 \text{ N})\hat{k}\). Qual é a terceira força? 73 Na Fig. 5-61, uma lata de antioxidantes (m_1 = 1,0 kg) em um plano inclinado sem atrito está ligada, por uma corda, a uma lata de apresuntado (m_2 = 2,0 kg). A polia tem massa e atrito desprezíveis. Uma força vertical para cima de módulo F = 6,0 N age sobre a lata de apresuntado, que tem uma aceleração para baixo de 5,5 m/s². Determine (a) a tensão da corda e (b) o ângulo θ. Figura 5-61 Problema 73. 74 As duas únicas forças que agem sobre um corpo têm módulos de 20 N e 35 N e direções que diferem de 80°. A aceleração resultante tem um módulo de 20 m/s². Qual é a massa do corpo? 75 A Fig. 5-62 é uma vista superior de um pneu de 12 kg que está sendo puxado por três cordas horizontais. A força de uma das cordas (\(F_1 = 50 \text{ N})\) está indicada. As outras duas forças devem ser orientadas de tal forma que o módulo a da aceleração do pneu seja o menor possível. Qual é o menor valor de a se (a) \(F_2 = 30 \text{ N}, F_3 = 20 \text{ N};\) (b) \(F_2 = 30 \text{ N}, F_3 = 10 \text{ N};\) (c) \(F_2 = F_3 = 30 \text{ N}?\) Figura 5-62 Problema 75. 76 Um bloco de massa \(M\) é puxado por uma corda de massa \(m\) em uma superfície horizontal sem atrito, como mostra a Fig. 5-63. Uma força horizontal \(\vec{F}\) age sobre uma das extremidades da corda. (a) Mostre que a corda deve pender, mesmo que imperceptivelmente. Supondo que a curvatura da corda seja desprezível, determine (b) a aceleração da corda e do bloco, (c) a força da corda sobre o bloco e (d) a força de tração no ponto médio da corda. Figura 5-63 Problema 76. Figura 5-66 Problema 93. 94 Por esporte, um tatu de 12 kg escorrega em um grande lago gelado, plano e sem atrito. A velocidade inicial do tatu é 5,0 m/s no sentido positivo do eixo x. Tome como origem a posição inicial do tatu. O animal escorrega no gelo ao mesmo tempo que é empurrado pelo vento com uma força de 17 N no sentido positivo do eixo y. Na notação dos vetores unitários, qual é (a) o vetor velocidade e (b) qual é o vetor posição do tatu depois de deslizar durante 3,0 s? 95 Suponha que na Fig. 5-12 as massas dos blocos sejam de 2,0 kg e 4,0 kg. (a) Qual dessas massas deve ser a do bloco pendurado para que a aceleração seja a maior possível? Qual é, nesse caso, (b) o módulo da aceleração e (c) qual é a tração da corda? Figura 5-64 Problema 78. 79 Uma partícula tem um peso de 22 N em um local em que g = 9,8 m/s². Qual é (a) o peso e (b) qual a massa da partícula em um local em que g = 4,9 m/s²? Qual é (c) o peso e (d) qual é a massa da partícula se ela é deslocada para um ponto do espaço sideral em que g = 0? 80 Uma pessoa de 80 kg salta de paraquedas e experimenta uma aceleração para baixo de 2,5 m/s². (a) Qual é a força para cima que o ar exerce sobre o paraquedas? (b) Qual é a força que a pessoa exerce sobre o paraquedas? 81 Uma espaçonave decola verticalmente da Lua, em que g = 1,6 m/s². Se a nave tem uma aceleração vertical para cima de 1,0 m/s² no instante da decolagem, qual é o módulo da força exercida pela nave sobre o piloto, que pesa 735 N na Terra? 82 Na vista superior da Fig. 5-65, cinco forças puxam uma caixa de massa m = 4,0 kg. Os módulos das forças são F₁ = 11 N, F₂ = 17 N, F₃ = 3,0 N, F₄ = 14 N e F₅ = 5,0 N; o ângulo θ₄ é 30°. Determine a aceleração da caixa (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo. 90 Uma nave interestelar tem uma massa de 1,20 × 10⁶ kg e está inicialmente em repouso em relação a um sistema estelar. (a) Que aceleração constante é necessária para levar a nave, em 3,0 dias, até a velocidade de 0,10c (em que c = 3,0 × 10⁸ m/s é a velocidade da luz)? (b) Qual é o valor da aceleração em unidades de g? (c) Que força é necessária para essa aceleração? (d) Se os motores são desligados quando a velocidade de 0,10c é atingida (fazendo com que a velocidade permaneça constante desse momento em diante), quanto tempo leva a nave (a partir do instante inicial) para viajar 5,0 meses-luz, a distância percorrida pela luz em 5,0 meses? 91 Uma motocicleta e seu piloto de 60,0 kg aceleram a 3,0 m/s² para subir uma rampa inclinada de 10° em relação à horizontal. Quais são os módulos (a) da força resultante a que é submetido o piloto e (b) da força que a motocicleta exerce sobre o piloto? 92 Calcule a aceleração inicial para cima de um foguete de massa 1,3 × 10⁴ kg se a força inicial para cima produzida pelos motores (empuxo) é 2,6 × 10⁵ N e o foguete parte do nível do mar. Não despreze a força gravitacional a que o foguete está submetido. 93 A Fig. 5-66a mostra um móbile pendurado no teto; o objeto é composto por duas peças de metal (m₁ = 3,5 kg e m₂ = 4,5 kg) ligadas por cordas de massa desprezível. Qual é a tração (a) da corda de baixo e (b) da corda de cima? A Fig. 5-66b mostra um móbile composto de três peças metálicas. Duas das massas são m₃ = 4,8 kg e m₅ = 5,5 kg. A tração da corda de cima é 199 N. Qual é a tração (c) da corda de baixo e (d) da corda do meio? 96 Para capturar um nêutron livre, um núcleo deve fazê-lo parar em uma distância menor que o diâmetro do núcleo por meio da interação forte, a força responsável pela estabilidade dos núcleos atômicos, que é praticamente nula fora do núcleo. Supondo que, para ser capturado por um núcleo com um diâmetro d = 1,0 × 10^-14 m, um nêutron livre deve ter uma velocidade inicial menor ou igual a 1,4 × 10^7 m/s, e que a força a que está sujeito o nêutron no interior do núcleo é aproximadamente constante, determine o módulo da interação forte. A massa do nêutron é 1,67 × 10^-27 kg. 97 Supondo que a massa-padrão de 1 kg é submetida a apenas duas forças, e determine a força resultante F_res (a) na notação dos vetores unitários e (b) como um módulo e (c) como um ângulo em relação ao semieixo x positivo. Determine (d) o módulo e (e) o ângulo da aceleração F̅.