Lista - Fundamentos de Mecânica 2021 2

(4) Considere a repulsão eletrostática que uma carga q em um ponto r sofre por uma carga de mesmo sinal Q colocada na origem, de acordo com a Lei de Coulomb: F⃗ (r⃗ ) = qQ/4πε 0 r 3 r⃗ = K r 3 r⃗ equácio: (a) (1,0 ponto) Mostre que o movimento se dá num plano. (b) (1,0 ponto) Mostre que a equação diferencial para a coordenada radial (em coordenadas polares no plano) pode ser escrita como d 2 r/dt 2 − K/mr 3 − L 2 /m 2 r 3 = 0 (3) onde L é o momento angular conservado do movimento e mostre ainda, que uma equação diferencial da equação da órbita r(θ) pode ser obtida de (3) através de uma substituição adequada da variável auxiliar u = 1/r em (4). Mostre que uma solução geral para (4) é: r(θ) = L 2 /mK 1/ A cosθ − 1 onde A é uma constante de integração. (c) (1,0 ponto) Mostre que U(r⃗ ) = −K/r (5) é a energia potencial para a força gravitacional e que podemos definir uma energia radial efetiva como: U ef (r) = L 2 /2mr 2 + K/r = K/r + L 2 /2mK ( r + L 2 /2mK ) (6) Esboce o gráfico. (d) (1,0 ponto) Mostre que a trajetória do movimento é uma hipérbole com excentricidade ϵ = √1 + 2L 2 E/mK 2