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Engenharia de Controle e Automação ·
Fundamentos de Mecânica
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Figura 11-56 Problema 63. 64 Uma bailarina começa um tour jeté (Fig. 11-19a) com uma velocidade angular ωi e um momento de inércia formado por duas partes: Iperna = 1,44 kg · m² da perna estendida, que faz um ângulo θ = 90,0° com o corpo, e Itronco = 0,660 kg · m² do resto do corpo (principalmente o tronco). Quando está quase atingindo a altura máxima, as duas pernas fazem um ângulo θ = 30° com o corpo, e a velocidade angular é ωf (Fig. 11-19b). Supondo que Itronco permanece o mesmo, qual é o valor da razão ωf/ωi? 65 Duas bolas, de 2,00 kg, estão presas às extremidades de uma barra fina, de 50,0 cm de comprimento e massa desprezível. A barra está livre para girar sem atrito em um plano vertical em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro. Com a barra inicialmente na horizontal (Fig. 11-57), um pedaço de massa de modelar de 50,0 g cai em uma das bolas, atingindo-a com uma velocidade de 3,00 m/s e aderindo a ela. (a) Qual é a velocidade angular do sistema imediatamente após o choque com a massa de modelar? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após o choque e a energia cinética do pedaço de massa de modelar imediatamente antes do choque? (c) De que ângulo o sistema gira antes de parar momentaneamente? Figura 11-57 Problema 65. 66 Na Fig. 11-58, um pequeno bloco de 50 g desliza para baixo em uma superfície curva, sem atrito, a partir de uma altura h = 20 cm e depois adere a uma barra homogênea, de massa 100 g e comprimento 40 cm. A barra gira de um ângulo θ em torno do ponto O antes de parar momentaneamente. Determine θ. 67 Uma partícula de 3,00 kg está se movendo a 7,50 m/s em uma linha reta se aproxima de uma força externa que a faz percorrer um quarto de um círculo de raio 15,0 cm enquanto reduz sua velocidade para 3,00 m/s. (a) Qual é a variação da energia cinética da partícula durante a curva? (b) Qual é a magnitude da força externa média que atua na partícula? 68 Na Fig. 11-60, uma barra de metal de 0,600 m de comprimento e massa desprezível é girada verticalmente a 30,0 rev/min em torno de um eixo que passa por sua ponta esquerda. Uma partícula de 1,00 kg está presa ao centro da barra, e outra partícula de 0,800 kg está presa à ponta direita da barra. (a) Qual é a energia cinética de rotação do sistema barra-partículas? (b) Qual é o momento angular do sistema? Figura 11-52 Problema 59. 60 Na Fig. 11-53, uma bala de 1,0 g é disparada contra um bloco de 0,50 kg preso à extremidade de uma barra não homogênea, de 0,50 kg com 0,60 m de comprimento. O sistema bloco-barra-bala passa a girar no plano do papel, em torno de um eixo fixo que passa pelo ponto A. O momento de inércia da barra em relação a esse eixo é 0,060 kg · m². Trate o bloco como uma partícula. (a) Qual é o momento de inércia do sistema bloco-haste-bala em relação ao eixo que passa pelo ponto A? (b) Se a velocidade angular do sistema em relação ao eixo que passa pelo ponto A imediatamente após o impacto é 4,5 rad/s, qual é a velocidade da bala imediatamente antes do impacto? 61 A barra homogênea (de 0,60 m de comprimento e 1,0 kg de massa) mostrada na Fig. 11-54 gira no plano do papel em torno de um eixo que passa por uma das extremidades, com um momento de inércia de 0,12 kg · m². Quando passa pela posição mais baixa, a barra colide com uma bola, de massa de modelar, de 0,20 kg, que fica grudada na extremidade da barra. Se a velocidade angular da barra imediatamente antes da colisão é 2,4 rad/s, qual é a velocidade angular do sistema barra-massa de modelar imediatamente após a colisão? Figura 11-34 Problema 11. ·•12 Na Fig. 11-35, uma bola maciça, de latão, de massa 0,280 g, rola suavemente ao longo do trilho quando é liberada a partir do repouso no trecho retilíneo. A parte circular do trilho tem um raio R = 14,0 cm e a bola tem um raio r << R. (a) Quanto vale h se a bola está na iminência de perder contato com o trilho quando chega ao ponto mais alto da parte curva do trilho? Se a bola é liberada a uma altura h = 6,00R, qual é (b) o módulo e (c) qual é a orientação da componente horizontal da força que age sobre a bola no ponto Q? Figura 11-35 Problema 12. ·•13 Bola não homogênea. Na Fig. 11-36, uma bola, de massa M e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa e passando por uma pista circular com 0,48 m de raio. A altura inicial da bola é h = 0,36 m. Na parte mais baixa da curva, o módulo de força normal que a pista exerce sobre a bola é 2,00Mg. A bola é formada por uma casca esférica externa homogênea (com uma certa massa específica) e uma esfera central, também homogênea (com uma massa específica diferente). O momento de inércia da bola é dado pela expressão geral I = βMR², mas β não é igual a 0,4, como no caso de uma bola homogênea. Determine o valor de β. Figura 11-36 Problema 13. ·•14 Na Fig. 11-37, uma bola pequena, maciça, homogênea, é lançada do ponto P, rola suavemente em Figura 11-39 Problema 16. Módulo 11-3 O ioiô ·•17 Um ioiô possui um momento de inércia de 950 g · cm² e uma massa de 120 g. O raio do eixo é 3,2 mm e a corda tem 120 cm de comprimento. O ioiô rola para baixo, a partir do repouso, até a extremidade da corda. (a) Qual é o módulo da aceleração linear do ioiô? (b) Quanto tempo o ioiô leva para chegar à extremidade da corda? Ao chegar à extremidade da corda, (c) qual é a velocidade linear, (d) qual é a energia cinética de translação, (e) qual é a energia cinética de rotação e (f) qual é a velocidade angular? ·•18 Em 1980, na Baía de San Francisco, um grande ioiô foi solto de um guindaste. O ioiô de 116 kg era formado por dois discos homogêneos com 32 cm de raio, ligados por um eixo com 3,2 cm de raio. Qual foi o módulo da aceleração do ioiô (a) durante a descida e (b) durante a subida? (c) Qual foi a tração da corda? (d) A tração estava próxima do limite de resistência da corda, 52 kN? Suponha que você construa uma versão ampliada do ioiô (com a mesma forma e usando os mesmos materiais, porém maior). (e) O módulo da aceleração do seu ioiô durante a queda será maior, menor ou o igual ao do ioiô de San Francisco? (f) E a tração da corda? Módulo 11-4 Revisão do Torque ·•19 Na notação dos vetores unitários, qual é o torque resultante em relação à origem a que está submetida uma pulga localizada nas coordenadas (0; −4,0 m; 5,0 m) quando as forças F₁ = (3,0 N)k̂ e F₂ = (−2,0 N) ĵ agem sobre a pulga? ·•20 Uma ameixa está localizada nas coordenadas (−2,0 m; 0; 4,0 m). Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida a ameixa se esse torque se deve a uma força F cuja única componente é (a) Fₓ = 6,0 N, (b) Fₓ = −6,0 N, (c) F_z = 6,0 N, (d) F_z = −6,0 N? ·•21 Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma partícula localizada nas coordenadas (0; −4,0 m; 3,0 m) se esse torque se deve (a) a uma força F₁ de componentes F₁ₓ = 2,0 N, F₁_y = F₁_z = 0, e (b) a uma força F₂ de componentes F₂ₓ = 0, F₂_y = 2,0 N, F₂_z = 4,0 N? ·•22 Uma partícula se move em um sistema de coordenadas xyz sob a ação de uma força. Quando o vetor posição da partícula é r̃ ̂ = (2,00 m)î − (3,00 m) ĵ + (2,00 m)k̂ a força é F ̃ ̂ = F_xî + (7,00 N) ĵ − (6,00 N)k̂ e o torque correspondente em relação à origem é r̃ = (4,00 N · m)î + (2,00 N · m) ĵ − (1,00 N · m)k̂. Determine F_x. ·•23 A força F̃ ̂ = (2,0 N)î − (3,0 N) ĵ age sobre uma pedra cujo vetor posição é r̃ = (0,50 m)î −(2,0 m)k̂ em relação à origem. Em termos dos vetores unitários, qual é o torque resultante a que a pedra está submetida (a) em relação à origem e (b) em relação ao ponto (2,0 m; 0; −3,0 m)? ·•24 Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetido um vidro de pimenta localizado nas coordenadas (3,0 m; −2,0 m; 4,0 m) (a) devido à força F₁ = (3,0 N)û − (4,0 N) î + (5,0 N)k̂, (b) devido à força F₂ = (3,0 N)î − (4,0 N) ĵ − (5,0 N)k̂ e (c) devido à soma vetorial de F₁ e F₂ ? (d) Repita o item (c) para o torque em relação ao ponto de coordenadas (3,0 m; 2,0 m; 4,0 m). ·•25 A força F̃ ̂ = (−8,0 N)î + (6,0 N) ĵ age sobre uma partícula cujo vetor posição é r̃ = (3,0 m)î + (4,0 m) ĵ. (a) Qual é o torque em relação à origem a que está submetida a partícula, em termos dos vetores unitários? (b) Qual é o ângulo entre r̃ e F̃ ̂ ? Módulo 11-5 Momento Angular ·•26 No instante da Fig. 11-40, uma partícula P de 2,0 kg tem um vetor posição r̃ de módulo 3,0 m e ângulo θ₁ = 45° e uma velocidade ṽ de módulo 4,0 m/s e ângulo θ₂ = 30°. A força F̃, de módulo 2,0 N e ângulo θ₃ = 30°, age sobre P. Os três vetores estão no plano xy. Determine, em relação à origem, (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular de P e (c) o módulo e (d) a orientação do torque que age sobre P. Figura 11-40 Problema 26. ·•27 Em certo instante, a força F̃ ̂ = 4,0î N age sobre um objeto de 0,25 kg cujo vetor posição é r̃ = (2,0)î − 2,0k̂) e cujo vetor velocidade é ṽ = (−5,0 î + 5,0k̂) m/s. Em relação à origem e na notação dos vetores unitários, determine (a) o momento angular do objeto e (b) o torque que age sobre o objeto. ·•28 Um objeto de 2,0 kg, que se comporta como uma partícula, se move em um plano com componentes de velocidade v_x = 30 m/s e v_y = 60 m/s ao passar por um ponto de coordenadas (3,0; −4,0) m. Nesse instante, na notação dos vetores unitários, qual é o momento angular do objeto em relação (a) à origem e (b) ao ponto (−2,0; −2,0) m? ·•29 No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano xy. A partícula P₁ tem massa de 6,5 kg e velocidade v_1 = 2,2 m/s e está a uma distância d_1 = 1,5 m do ponto O. A partícula P_2 tem massa de 3,1 kg e velocidade v_2 = 3,6 m/s e está a uma distância d_2 = 2,8 m do ponto O. (a) Qual é o módulo e (b) qual é a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O? Figura 11-41 Problema 29. ⋅⋅30 No instante em que o deslocamento de um objeto de 2,00 kg em relação à origem é \vec{r} = (2,00 m)\hat{i} + (4,00 m)\hat{j} - (3,00 m)\hat{k} a velocidade do objeto \vec{v} = -(6,00 m/s)\hat{i} + (3,00 m/s)\hat{j} + (3,00 m/s)\hat{k} e o objeto está sujeito a uma força \vec{F} = (6,00 N)\hat{i} - (8,00 N)\hat{j} + (4,00 N)\hat{k}. Determine (a) a aceleração do objeto, (b) o momento angular do objeto em relação à origem, (c) o torque em relação à origem a que está submetido o objeto e (d) o ângulo entre a velocidade do objeto e a força que age sobre ele. ⋅⋅31 Na Fig. 11-42, uma bola de 0,400 kg é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 40,0 m/s. Qual é o momento angular da bola em relação a P, um ponto a uma distância horizontal de 2,00 m do ponto de lançamento, quando a bola está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão? Qual é o torque em relação a P a que a bola é submetida devido à força gravitacional quando está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão? Figura 11-42 Problema 31. Módulo 11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações ⋅⋅32 Uma partícula sofre a ação de dois torques em relação à origem: \vec{\tau}_1 tem um módulo de 2,0 N ⋅ m e aponta no sentido positivo do eixo x; \vec{\tau}_2 tem um módulo de 4,0 N ⋅ m e aponta no sentido negativo do eixo y. Determine d\vec{L}/dt, em que \vec{L} é o momento angular da partícula em relação à origem, em termos dos vetores unitários. ⋅⋅33 No instante t = 0, uma partícula de 3,0 kg com uma velocidade \vec{v} = (5,0 m/s)\hat{i} - (6,0 m/s)\hat{j} está passando pelo ponto x = 3,0 m, y = 8,0 m. A partícula é puxada por uma força de 7,0 N no sentido negativo do eixo x. Determine, em relação à origem, (a) o momento angular da partícula, (b) o torque que age sobre a partícula e (c) a taxa com a qual o momento angular está variando. ⋅⋅34 Uma partícula se move em um plano xy, em torno da origem, no sentido horário, do ponto de vista do lado positivo do eixo z. Na notação dos vetores unitários, qual é o torque que age sobre a partícula se o módulo do momento angular da partícula em relação à origem é (a) 4,0 kg ⋅ m²/s, (b) 4,0t² kg ⋅ m²/s, (c) 4,0t kg ⋅ m²/s e (d) 4,0/t² kg ⋅ m²/s? ⋅⋅35 No instante t, o vetor \vec{r} = 4,0t²\hat{i} - (2,0t + 6,0t²)\hat{j} fornece a posição de uma partícula de 3,0 kg em relação à origem de um sistema de coordenadas xy (t está em metros e t em segundos). (a) Escreva uma expressão para o torque em relação à origem que age sobre a partícula. (b) O módulo do momento angular da partícula em relação à origem está aumentando, diminuindo ou permanece o mesmo? Módulo 11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido ⋅⋅36 A Fig. 11-43 mostra três discos homogêneos acoplados por duas correias. Uma correia passa pelas bordas dos discos A e C; a outra passa por um cubo do disco A e pela borda do disco B. As correias se movem suavemente, sem deslizar nas bordas e no cubo. O disco A tem raio R e seu cubo tem raio 0,5000R; o disco B tem raio 0,2500R; o disco C tem raio 2,000R. Os discos B e C têm a mesma massa específica (massa por unidade de volume) e a mesma espessura. Qual é a razão entre o módulo do momento angular do disco C e o módulo do momento angular do disco B? Figura 11-43 Problema 36. ⋅⋅37 Na Fig. 11-44, três partículas de massa m = 23 g estão presas a três barras de comprimento d = 12 cm e massa desprezível. O conjunto gira em torno do ponto O com velocidade angular \omega = 0,85 rad/s. Determine, em relação ao ponto O, (a) o momento de inércia do conjunto, (b) o módulo do momento angular da partícula do meio e (c) o módulo do momento angular do conjunto. Figura 11-44 Problema 37. ⋅⋅38 Um disco de polimento, com momento de inércia 1,2 \times 10^{-3} kg ⋅ m², está preso a uma broca elétrica cujo motor produz um torque de módulo 16 N ⋅ m em relação ao eixo central do disco. Com o torque aplicado durante 33 ms, qual é o módulo (a) do momento angular e (b) da velocidade angular do disco em relação a esse eixo? ⋅⋅39 O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0,140 kg ⋅ m² em relação ao eixo central diminui de 3,00 para 0,800 kg ⋅ m²/s em 1,50 s. (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante? ⋅⋅40 Um disco com um momento de inércia de 7,00 kg ⋅ m² gira como um carrossel sob o efeito de um torque variável dado por t = (5,00 + 2,00t) N ⋅ m. No instante t = 1,00 s, o momento angular do disco é 5,00 kg ⋅ m²/s. Qual é o momento angular do disco no instante t = 3,00 s? ⋅⋅41 A Fig. 11-45 mostra uma estrutura rígida formada por um aro, de raio R e massa m, e um quadrado feito de quatro barras finas, de comprimento R e massa m. A estrutura rígida gira com velocidade constante em torno de um eixo vertical, com um período de rotação de 2,5 s. Supondo que R = 0,50 m e m = 2,0 kg, calcule (a) o momento de inércia da estrutura em relação ao eixo de rotação e (b) o momento angular da estrutura em relação ao eixo. Figura 11-45 Problema 41. ⋅⋅42 A Fig. 11-46 mostra a variação com o tempo do torque t que age sobre um disco inicialmente em repouso que pode girar como um carrossel em torno do centro. A escala do eixo t é definida por t_s = 4,0 N ⋅ m. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação no instante (a) t = 7,0 s e (b) no instante t = 20 s? Figura 11-46 Problema 42. Módulo 11-8 Conservação do Momento Angular 43 Na Fig. 11-47, duas patinadoras com 50 kg de massa, que se movem com uma velocidade escalar de 1,4 m/s, se aproximam em trajetórias paralelas separadas por 3,0 m. Uma das patinadoras carrega uma vara comprida, de massa desprezível, segurando-a em uma extremidade, e a outra se agarra à outra extremidade ao passar pela vara, o que faz com que as patinadoras passem a descrever uma circunferência em torno do centro da vara. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Determine (a) o raio da circunferência, (b) a velocidade angular das patinadoras e (c) a energia cinética do sistema das duas patinadoras. Em seguida, as patinadoras puxam a vara até ficarem separadas por uma distância de 1,0 m. Nesse instante, (d) qual é a velocidade angular das patinadoras e (e) qual é a energia cinética do sistema? (f) De onde vem a energia cinética adicional? Figura 11-47 Problema 43. 44 Uma barata, de massa 0,17 kg, corre no sentido anti-horário na borda de um disco circular de raio 15 cm e momento de inércia 5,0 × 10-3 kg · m², montado em um eixo vertical com atrito desprezível. A velocidade da barata (em relação ao chão) é 2,0 m/s, e o disco gira no sentido horário com uma velocidade angular ω0 = 2,8 rad/s. A barata encontra uma migalha de pão na borda e, obviamente, para. (a) Qual é a velocidade angular do disco depois que a barata para? A energia mecânica é conservada quando a barata para? 45 Um homem está de pé em uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de 1,2 rev/s; os braços do homem estão abertos e ele segura um tijolo em cada mão. O momento de inércia do sistema formado pelo homem, os tijolos e a plataforma em relação ao eixo vertical central da plataforma é 6,0 kg · m². Se, ao mover os braços, o homem reduz o momento de inércia do sistema para 2,0 kg · m², determine (a) a nova velocidade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional? 46 O momento de inércia de uma estrela que sofre uma contração enquanto gira em torno de si mesma cai para 1/3 do valor inicial. Qual é a razão entre a nova energia cinética de rotação e a energia antiga? 47 Uma pista é montada em uma grande roda que pode girar livremente, com atrito desprezível, em torno de um eixo vertical (Fig. 11-48). Um trem de brinquedo, de massa m, é colocado na pista e, com o sistema inicialmente em repouso, a alimentação elétrica do brinquedo é ligada. O trem adquire uma velocidade de 0,15 m/s em relação à pista. Qual é a velocidade angular da roda se esta tem massa de 1,1m e raio de 0,43 m? (Trate a roda como um aro e despreze a massa dos raios e do cubo da roda.) Figura 11-48 Problema 47. 48 Uma barata está no centro de um disco circular que gira livremente como um carrossel, sem torques externos. A barata caminha em direção à borda do disco, cujo raio é R. A Fig. 11-49 mostra a velocidade angular ω do sistema barata-disco durante a caminhada. A escala do eixo ω é definida por ωa = 5,0 rad/s e ωb = 6,0 rad/s. Qual é a razão entre o momento de inércia do inseto e o momento de inércia do disco, ambos calculados em relação ao eixo de rotação, quando a barata chega à borda do disco? Figura 11-49 Problema 48. 49 Dois discos estão montados (como um carrossel) no mesmo eixo, com rolamentos de baixo atrito, e podem ser acoplados e girar como se fossem um só disco. O primeiro disco, com um momento de inércia de 3,30 kg · m² em relação ao eixo central, é posto para girar no sentido anti-horário a 450 rev/min. O segundo disco, com um momento de inércia de 6,60 kg · m² em relação ao eixo central, é posto para girar no sentido anti-horário a 900 rev/min. Em seguida, os discos são acoplados. (a) Qual é a velocidade angular dos discos após o acoplamento? Se, em vez disso, o segundo disco é posto para girar a 900 rev/min no sentido horário, qual é (b) a velocidade angular e (c) qual o sentido de rotação dos discos após o acoplamento? 50 O rotor de um motor elétrico tem um momento de inércia Im = 2,0 × 1023 kg · m² em relação ao eixo central. O motor é usado para mudar a orientação da sonda espacial na qual está montado. O eixo do motor coincide com o eixo central da sonda; a sonda possui um momento de inércia Ip = 12 kg · m² em relação a esse eixo. Calcule o número de revoluções do rotor necessárias para fazer a sonda girar 30º em torno do eixo central. 51 Uma roda está girando livremente com uma velocidade angular de 800 rev/min em torno de um eixo cujo momento de inércia é desprezível. Uma segunda roda, inicialmente em repouso e com um momento de inércia duas vezes maior que a primeira, é acoplada à mesma haste. (a) Qual é a velocidade angular da combinação resultante do eixo e duas rodas? (b) Que fração da energia cinética de rotação inicial é perdida? 52 Uma barata de massa m está na borda de um disco homogêneo de massa 4,00m que pode girar livremente em torno do centro como um carrossel. Inicialmente, a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular de 0,260 rad/s. A barata caminha até metade da distância ao centro do disco. (a) Qual é, nesse instante, a velocidade angular do sistema barata-disco? (b) Qual é a razão K/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética antiga? (c) Por que a energia cinética varia? 53 Uma barra fina, homogênea, com 0,500 m de comprimento e 4,00 kg de massa, pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo centro da barra. A barra está em repouso quando uma bala de 3,0 g é disparada, no plano de rotação, em direção a uma das extremidades. Vista de cima, a trajetória da bala faz um ângulo θ = 60,0º com a barra (Fig. 11-50). Se a bala se aloja na barra e a velocidade angular da barra é 10 rad/s imediatamente após a colisão, qual era a velocidade da bala imediatamente antes do impacto? Figura 11-50 Problema 53. 54 A Fig. 11-51 mostra a vista, de cima, de um anel que pode girar em torno do centro como um carrossel. O raio externo R2 é 0,800 m, o raio interno R1 é R2/2,00, a massa M é 8,00 kg e a massa da cruz no centro é desprezível. Inicialmente, o disco gira com uma velocidade angular de 8,00 rad/s, com um gato, de massa m = M/4,00, na borda externa, em uma distância R2 do centro. De quanto o gato vai aumentar a energia cinética do sistema gato-disco se rastejar até a borda interna, de raio R1?
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Figura 11-56 Problema 63. 64 Uma bailarina começa um tour jeté (Fig. 11-19a) com uma velocidade angular ωi e um momento de inércia formado por duas partes: Iperna = 1,44 kg · m² da perna estendida, que faz um ângulo θ = 90,0° com o corpo, e Itronco = 0,660 kg · m² do resto do corpo (principalmente o tronco). Quando está quase atingindo a altura máxima, as duas pernas fazem um ângulo θ = 30° com o corpo, e a velocidade angular é ωf (Fig. 11-19b). Supondo que Itronco permanece o mesmo, qual é o valor da razão ωf/ωi? 65 Duas bolas, de 2,00 kg, estão presas às extremidades de uma barra fina, de 50,0 cm de comprimento e massa desprezível. A barra está livre para girar sem atrito em um plano vertical em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro. Com a barra inicialmente na horizontal (Fig. 11-57), um pedaço de massa de modelar de 50,0 g cai em uma das bolas, atingindo-a com uma velocidade de 3,00 m/s e aderindo a ela. (a) Qual é a velocidade angular do sistema imediatamente após o choque com a massa de modelar? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após o choque e a energia cinética do pedaço de massa de modelar imediatamente antes do choque? (c) De que ângulo o sistema gira antes de parar momentaneamente? Figura 11-57 Problema 65. 66 Na Fig. 11-58, um pequeno bloco de 50 g desliza para baixo em uma superfície curva, sem atrito, a partir de uma altura h = 20 cm e depois adere a uma barra homogênea, de massa 100 g e comprimento 40 cm. A barra gira de um ângulo θ em torno do ponto O antes de parar momentaneamente. Determine θ. 67 Uma partícula de 3,00 kg está se movendo a 7,50 m/s em uma linha reta se aproxima de uma força externa que a faz percorrer um quarto de um círculo de raio 15,0 cm enquanto reduz sua velocidade para 3,00 m/s. (a) Qual é a variação da energia cinética da partícula durante a curva? (b) Qual é a magnitude da força externa média que atua na partícula? 68 Na Fig. 11-60, uma barra de metal de 0,600 m de comprimento e massa desprezível é girada verticalmente a 30,0 rev/min em torno de um eixo que passa por sua ponta esquerda. Uma partícula de 1,00 kg está presa ao centro da barra, e outra partícula de 0,800 kg está presa à ponta direita da barra. (a) Qual é a energia cinética de rotação do sistema barra-partículas? (b) Qual é o momento angular do sistema? Figura 11-52 Problema 59. 60 Na Fig. 11-53, uma bala de 1,0 g é disparada contra um bloco de 0,50 kg preso à extremidade de uma barra não homogênea, de 0,50 kg com 0,60 m de comprimento. O sistema bloco-barra-bala passa a girar no plano do papel, em torno de um eixo fixo que passa pelo ponto A. O momento de inércia da barra em relação a esse eixo é 0,060 kg · m². Trate o bloco como uma partícula. (a) Qual é o momento de inércia do sistema bloco-haste-bala em relação ao eixo que passa pelo ponto A? (b) Se a velocidade angular do sistema em relação ao eixo que passa pelo ponto A imediatamente após o impacto é 4,5 rad/s, qual é a velocidade da bala imediatamente antes do impacto? 61 A barra homogênea (de 0,60 m de comprimento e 1,0 kg de massa) mostrada na Fig. 11-54 gira no plano do papel em torno de um eixo que passa por uma das extremidades, com um momento de inércia de 0,12 kg · m². Quando passa pela posição mais baixa, a barra colide com uma bola, de massa de modelar, de 0,20 kg, que fica grudada na extremidade da barra. Se a velocidade angular da barra imediatamente antes da colisão é 2,4 rad/s, qual é a velocidade angular do sistema barra-massa de modelar imediatamente após a colisão? Figura 11-34 Problema 11. ·•12 Na Fig. 11-35, uma bola maciça, de latão, de massa 0,280 g, rola suavemente ao longo do trilho quando é liberada a partir do repouso no trecho retilíneo. A parte circular do trilho tem um raio R = 14,0 cm e a bola tem um raio r << R. (a) Quanto vale h se a bola está na iminência de perder contato com o trilho quando chega ao ponto mais alto da parte curva do trilho? Se a bola é liberada a uma altura h = 6,00R, qual é (b) o módulo e (c) qual é a orientação da componente horizontal da força que age sobre a bola no ponto Q? Figura 11-35 Problema 12. ·•13 Bola não homogênea. Na Fig. 11-36, uma bola, de massa M e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa e passando por uma pista circular com 0,48 m de raio. A altura inicial da bola é h = 0,36 m. Na parte mais baixa da curva, o módulo de força normal que a pista exerce sobre a bola é 2,00Mg. A bola é formada por uma casca esférica externa homogênea (com uma certa massa específica) e uma esfera central, também homogênea (com uma massa específica diferente). O momento de inércia da bola é dado pela expressão geral I = βMR², mas β não é igual a 0,4, como no caso de uma bola homogênea. Determine o valor de β. Figura 11-36 Problema 13. ·•14 Na Fig. 11-37, uma bola pequena, maciça, homogênea, é lançada do ponto P, rola suavemente em Figura 11-39 Problema 16. Módulo 11-3 O ioiô ·•17 Um ioiô possui um momento de inércia de 950 g · cm² e uma massa de 120 g. O raio do eixo é 3,2 mm e a corda tem 120 cm de comprimento. O ioiô rola para baixo, a partir do repouso, até a extremidade da corda. (a) Qual é o módulo da aceleração linear do ioiô? (b) Quanto tempo o ioiô leva para chegar à extremidade da corda? Ao chegar à extremidade da corda, (c) qual é a velocidade linear, (d) qual é a energia cinética de translação, (e) qual é a energia cinética de rotação e (f) qual é a velocidade angular? ·•18 Em 1980, na Baía de San Francisco, um grande ioiô foi solto de um guindaste. O ioiô de 116 kg era formado por dois discos homogêneos com 32 cm de raio, ligados por um eixo com 3,2 cm de raio. Qual foi o módulo da aceleração do ioiô (a) durante a descida e (b) durante a subida? (c) Qual foi a tração da corda? (d) A tração estava próxima do limite de resistência da corda, 52 kN? Suponha que você construa uma versão ampliada do ioiô (com a mesma forma e usando os mesmos materiais, porém maior). (e) O módulo da aceleração do seu ioiô durante a queda será maior, menor ou o igual ao do ioiô de San Francisco? (f) E a tração da corda? Módulo 11-4 Revisão do Torque ·•19 Na notação dos vetores unitários, qual é o torque resultante em relação à origem a que está submetida uma pulga localizada nas coordenadas (0; −4,0 m; 5,0 m) quando as forças F₁ = (3,0 N)k̂ e F₂ = (−2,0 N) ĵ agem sobre a pulga? ·•20 Uma ameixa está localizada nas coordenadas (−2,0 m; 0; 4,0 m). Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida a ameixa se esse torque se deve a uma força F cuja única componente é (a) Fₓ = 6,0 N, (b) Fₓ = −6,0 N, (c) F_z = 6,0 N, (d) F_z = −6,0 N? ·•21 Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma partícula localizada nas coordenadas (0; −4,0 m; 3,0 m) se esse torque se deve (a) a uma força F₁ de componentes F₁ₓ = 2,0 N, F₁_y = F₁_z = 0, e (b) a uma força F₂ de componentes F₂ₓ = 0, F₂_y = 2,0 N, F₂_z = 4,0 N? ·•22 Uma partícula se move em um sistema de coordenadas xyz sob a ação de uma força. Quando o vetor posição da partícula é r̃ ̂ = (2,00 m)î − (3,00 m) ĵ + (2,00 m)k̂ a força é F ̃ ̂ = F_xî + (7,00 N) ĵ − (6,00 N)k̂ e o torque correspondente em relação à origem é r̃ = (4,00 N · m)î + (2,00 N · m) ĵ − (1,00 N · m)k̂. Determine F_x. ·•23 A força F̃ ̂ = (2,0 N)î − (3,0 N) ĵ age sobre uma pedra cujo vetor posição é r̃ = (0,50 m)î −(2,0 m)k̂ em relação à origem. Em termos dos vetores unitários, qual é o torque resultante a que a pedra está submetida (a) em relação à origem e (b) em relação ao ponto (2,0 m; 0; −3,0 m)? ·•24 Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetido um vidro de pimenta localizado nas coordenadas (3,0 m; −2,0 m; 4,0 m) (a) devido à força F₁ = (3,0 N)û − (4,0 N) î + (5,0 N)k̂, (b) devido à força F₂ = (3,0 N)î − (4,0 N) ĵ − (5,0 N)k̂ e (c) devido à soma vetorial de F₁ e F₂ ? (d) Repita o item (c) para o torque em relação ao ponto de coordenadas (3,0 m; 2,0 m; 4,0 m). ·•25 A força F̃ ̂ = (−8,0 N)î + (6,0 N) ĵ age sobre uma partícula cujo vetor posição é r̃ = (3,0 m)î + (4,0 m) ĵ. (a) Qual é o torque em relação à origem a que está submetida a partícula, em termos dos vetores unitários? (b) Qual é o ângulo entre r̃ e F̃ ̂ ? Módulo 11-5 Momento Angular ·•26 No instante da Fig. 11-40, uma partícula P de 2,0 kg tem um vetor posição r̃ de módulo 3,0 m e ângulo θ₁ = 45° e uma velocidade ṽ de módulo 4,0 m/s e ângulo θ₂ = 30°. A força F̃, de módulo 2,0 N e ângulo θ₃ = 30°, age sobre P. Os três vetores estão no plano xy. Determine, em relação à origem, (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular de P e (c) o módulo e (d) a orientação do torque que age sobre P. Figura 11-40 Problema 26. ·•27 Em certo instante, a força F̃ ̂ = 4,0î N age sobre um objeto de 0,25 kg cujo vetor posição é r̃ = (2,0)î − 2,0k̂) e cujo vetor velocidade é ṽ = (−5,0 î + 5,0k̂) m/s. Em relação à origem e na notação dos vetores unitários, determine (a) o momento angular do objeto e (b) o torque que age sobre o objeto. ·•28 Um objeto de 2,0 kg, que se comporta como uma partícula, se move em um plano com componentes de velocidade v_x = 30 m/s e v_y = 60 m/s ao passar por um ponto de coordenadas (3,0; −4,0) m. Nesse instante, na notação dos vetores unitários, qual é o momento angular do objeto em relação (a) à origem e (b) ao ponto (−2,0; −2,0) m? ·•29 No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano xy. A partícula P₁ tem massa de 6,5 kg e velocidade v_1 = 2,2 m/s e está a uma distância d_1 = 1,5 m do ponto O. A partícula P_2 tem massa de 3,1 kg e velocidade v_2 = 3,6 m/s e está a uma distância d_2 = 2,8 m do ponto O. (a) Qual é o módulo e (b) qual é a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O? Figura 11-41 Problema 29. ⋅⋅30 No instante em que o deslocamento de um objeto de 2,00 kg em relação à origem é \vec{r} = (2,00 m)\hat{i} + (4,00 m)\hat{j} - (3,00 m)\hat{k} a velocidade do objeto \vec{v} = -(6,00 m/s)\hat{i} + (3,00 m/s)\hat{j} + (3,00 m/s)\hat{k} e o objeto está sujeito a uma força \vec{F} = (6,00 N)\hat{i} - (8,00 N)\hat{j} + (4,00 N)\hat{k}. Determine (a) a aceleração do objeto, (b) o momento angular do objeto em relação à origem, (c) o torque em relação à origem a que está submetido o objeto e (d) o ângulo entre a velocidade do objeto e a força que age sobre ele. ⋅⋅31 Na Fig. 11-42, uma bola de 0,400 kg é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 40,0 m/s. Qual é o momento angular da bola em relação a P, um ponto a uma distância horizontal de 2,00 m do ponto de lançamento, quando a bola está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão? Qual é o torque em relação a P a que a bola é submetida devido à força gravitacional quando está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão? Figura 11-42 Problema 31. Módulo 11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações ⋅⋅32 Uma partícula sofre a ação de dois torques em relação à origem: \vec{\tau}_1 tem um módulo de 2,0 N ⋅ m e aponta no sentido positivo do eixo x; \vec{\tau}_2 tem um módulo de 4,0 N ⋅ m e aponta no sentido negativo do eixo y. Determine d\vec{L}/dt, em que \vec{L} é o momento angular da partícula em relação à origem, em termos dos vetores unitários. ⋅⋅33 No instante t = 0, uma partícula de 3,0 kg com uma velocidade \vec{v} = (5,0 m/s)\hat{i} - (6,0 m/s)\hat{j} está passando pelo ponto x = 3,0 m, y = 8,0 m. A partícula é puxada por uma força de 7,0 N no sentido negativo do eixo x. Determine, em relação à origem, (a) o momento angular da partícula, (b) o torque que age sobre a partícula e (c) a taxa com a qual o momento angular está variando. ⋅⋅34 Uma partícula se move em um plano xy, em torno da origem, no sentido horário, do ponto de vista do lado positivo do eixo z. Na notação dos vetores unitários, qual é o torque que age sobre a partícula se o módulo do momento angular da partícula em relação à origem é (a) 4,0 kg ⋅ m²/s, (b) 4,0t² kg ⋅ m²/s, (c) 4,0t kg ⋅ m²/s e (d) 4,0/t² kg ⋅ m²/s? ⋅⋅35 No instante t, o vetor \vec{r} = 4,0t²\hat{i} - (2,0t + 6,0t²)\hat{j} fornece a posição de uma partícula de 3,0 kg em relação à origem de um sistema de coordenadas xy (t está em metros e t em segundos). (a) Escreva uma expressão para o torque em relação à origem que age sobre a partícula. (b) O módulo do momento angular da partícula em relação à origem está aumentando, diminuindo ou permanece o mesmo? Módulo 11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido ⋅⋅36 A Fig. 11-43 mostra três discos homogêneos acoplados por duas correias. Uma correia passa pelas bordas dos discos A e C; a outra passa por um cubo do disco A e pela borda do disco B. As correias se movem suavemente, sem deslizar nas bordas e no cubo. O disco A tem raio R e seu cubo tem raio 0,5000R; o disco B tem raio 0,2500R; o disco C tem raio 2,000R. Os discos B e C têm a mesma massa específica (massa por unidade de volume) e a mesma espessura. Qual é a razão entre o módulo do momento angular do disco C e o módulo do momento angular do disco B? Figura 11-43 Problema 36. ⋅⋅37 Na Fig. 11-44, três partículas de massa m = 23 g estão presas a três barras de comprimento d = 12 cm e massa desprezível. O conjunto gira em torno do ponto O com velocidade angular \omega = 0,85 rad/s. Determine, em relação ao ponto O, (a) o momento de inércia do conjunto, (b) o módulo do momento angular da partícula do meio e (c) o módulo do momento angular do conjunto. Figura 11-44 Problema 37. ⋅⋅38 Um disco de polimento, com momento de inércia 1,2 \times 10^{-3} kg ⋅ m², está preso a uma broca elétrica cujo motor produz um torque de módulo 16 N ⋅ m em relação ao eixo central do disco. Com o torque aplicado durante 33 ms, qual é o módulo (a) do momento angular e (b) da velocidade angular do disco em relação a esse eixo? ⋅⋅39 O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0,140 kg ⋅ m² em relação ao eixo central diminui de 3,00 para 0,800 kg ⋅ m²/s em 1,50 s. (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante? ⋅⋅40 Um disco com um momento de inércia de 7,00 kg ⋅ m² gira como um carrossel sob o efeito de um torque variável dado por t = (5,00 + 2,00t) N ⋅ m. No instante t = 1,00 s, o momento angular do disco é 5,00 kg ⋅ m²/s. Qual é o momento angular do disco no instante t = 3,00 s? ⋅⋅41 A Fig. 11-45 mostra uma estrutura rígida formada por um aro, de raio R e massa m, e um quadrado feito de quatro barras finas, de comprimento R e massa m. A estrutura rígida gira com velocidade constante em torno de um eixo vertical, com um período de rotação de 2,5 s. Supondo que R = 0,50 m e m = 2,0 kg, calcule (a) o momento de inércia da estrutura em relação ao eixo de rotação e (b) o momento angular da estrutura em relação ao eixo. Figura 11-45 Problema 41. ⋅⋅42 A Fig. 11-46 mostra a variação com o tempo do torque t que age sobre um disco inicialmente em repouso que pode girar como um carrossel em torno do centro. A escala do eixo t é definida por t_s = 4,0 N ⋅ m. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação no instante (a) t = 7,0 s e (b) no instante t = 20 s? Figura 11-46 Problema 42. Módulo 11-8 Conservação do Momento Angular 43 Na Fig. 11-47, duas patinadoras com 50 kg de massa, que se movem com uma velocidade escalar de 1,4 m/s, se aproximam em trajetórias paralelas separadas por 3,0 m. Uma das patinadoras carrega uma vara comprida, de massa desprezível, segurando-a em uma extremidade, e a outra se agarra à outra extremidade ao passar pela vara, o que faz com que as patinadoras passem a descrever uma circunferência em torno do centro da vara. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Determine (a) o raio da circunferência, (b) a velocidade angular das patinadoras e (c) a energia cinética do sistema das duas patinadoras. Em seguida, as patinadoras puxam a vara até ficarem separadas por uma distância de 1,0 m. Nesse instante, (d) qual é a velocidade angular das patinadoras e (e) qual é a energia cinética do sistema? (f) De onde vem a energia cinética adicional? Figura 11-47 Problema 43. 44 Uma barata, de massa 0,17 kg, corre no sentido anti-horário na borda de um disco circular de raio 15 cm e momento de inércia 5,0 × 10-3 kg · m², montado em um eixo vertical com atrito desprezível. A velocidade da barata (em relação ao chão) é 2,0 m/s, e o disco gira no sentido horário com uma velocidade angular ω0 = 2,8 rad/s. A barata encontra uma migalha de pão na borda e, obviamente, para. (a) Qual é a velocidade angular do disco depois que a barata para? A energia mecânica é conservada quando a barata para? 45 Um homem está de pé em uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de 1,2 rev/s; os braços do homem estão abertos e ele segura um tijolo em cada mão. O momento de inércia do sistema formado pelo homem, os tijolos e a plataforma em relação ao eixo vertical central da plataforma é 6,0 kg · m². Se, ao mover os braços, o homem reduz o momento de inércia do sistema para 2,0 kg · m², determine (a) a nova velocidade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional? 46 O momento de inércia de uma estrela que sofre uma contração enquanto gira em torno de si mesma cai para 1/3 do valor inicial. Qual é a razão entre a nova energia cinética de rotação e a energia antiga? 47 Uma pista é montada em uma grande roda que pode girar livremente, com atrito desprezível, em torno de um eixo vertical (Fig. 11-48). Um trem de brinquedo, de massa m, é colocado na pista e, com o sistema inicialmente em repouso, a alimentação elétrica do brinquedo é ligada. O trem adquire uma velocidade de 0,15 m/s em relação à pista. Qual é a velocidade angular da roda se esta tem massa de 1,1m e raio de 0,43 m? (Trate a roda como um aro e despreze a massa dos raios e do cubo da roda.) Figura 11-48 Problema 47. 48 Uma barata está no centro de um disco circular que gira livremente como um carrossel, sem torques externos. A barata caminha em direção à borda do disco, cujo raio é R. A Fig. 11-49 mostra a velocidade angular ω do sistema barata-disco durante a caminhada. A escala do eixo ω é definida por ωa = 5,0 rad/s e ωb = 6,0 rad/s. Qual é a razão entre o momento de inércia do inseto e o momento de inércia do disco, ambos calculados em relação ao eixo de rotação, quando a barata chega à borda do disco? Figura 11-49 Problema 48. 49 Dois discos estão montados (como um carrossel) no mesmo eixo, com rolamentos de baixo atrito, e podem ser acoplados e girar como se fossem um só disco. O primeiro disco, com um momento de inércia de 3,30 kg · m² em relação ao eixo central, é posto para girar no sentido anti-horário a 450 rev/min. O segundo disco, com um momento de inércia de 6,60 kg · m² em relação ao eixo central, é posto para girar no sentido anti-horário a 900 rev/min. Em seguida, os discos são acoplados. (a) Qual é a velocidade angular dos discos após o acoplamento? Se, em vez disso, o segundo disco é posto para girar a 900 rev/min no sentido horário, qual é (b) a velocidade angular e (c) qual o sentido de rotação dos discos após o acoplamento? 50 O rotor de um motor elétrico tem um momento de inércia Im = 2,0 × 1023 kg · m² em relação ao eixo central. O motor é usado para mudar a orientação da sonda espacial na qual está montado. O eixo do motor coincide com o eixo central da sonda; a sonda possui um momento de inércia Ip = 12 kg · m² em relação a esse eixo. Calcule o número de revoluções do rotor necessárias para fazer a sonda girar 30º em torno do eixo central. 51 Uma roda está girando livremente com uma velocidade angular de 800 rev/min em torno de um eixo cujo momento de inércia é desprezível. Uma segunda roda, inicialmente em repouso e com um momento de inércia duas vezes maior que a primeira, é acoplada à mesma haste. (a) Qual é a velocidade angular da combinação resultante do eixo e duas rodas? (b) Que fração da energia cinética de rotação inicial é perdida? 52 Uma barata de massa m está na borda de um disco homogêneo de massa 4,00m que pode girar livremente em torno do centro como um carrossel. Inicialmente, a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular de 0,260 rad/s. A barata caminha até metade da distância ao centro do disco. (a) Qual é, nesse instante, a velocidade angular do sistema barata-disco? (b) Qual é a razão K/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética antiga? (c) Por que a energia cinética varia? 53 Uma barra fina, homogênea, com 0,500 m de comprimento e 4,00 kg de massa, pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo centro da barra. A barra está em repouso quando uma bala de 3,0 g é disparada, no plano de rotação, em direção a uma das extremidades. Vista de cima, a trajetória da bala faz um ângulo θ = 60,0º com a barra (Fig. 11-50). Se a bala se aloja na barra e a velocidade angular da barra é 10 rad/s imediatamente após a colisão, qual era a velocidade da bala imediatamente antes do impacto? Figura 11-50 Problema 53. 54 A Fig. 11-51 mostra a vista, de cima, de um anel que pode girar em torno do centro como um carrossel. O raio externo R2 é 0,800 m, o raio interno R1 é R2/2,00, a massa M é 8,00 kg e a massa da cruz no centro é desprezível. Inicialmente, o disco gira com uma velocidade angular de 8,00 rad/s, com um gato, de massa m = M/4,00, na borda externa, em uma distância R2 do centro. De quanto o gato vai aumentar a energia cinética do sistema gato-disco se rastejar até a borda interna, de raio R1?