Slide - Medidas de Tendência Central - Estatística e Probabilidade 2022-2

Medidas de Tendência Central Patrícia de Sousa Ilambwetsi Estatística e Probabilidade Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição Média Mediana Moda 1 Tabelas de frequência e gráficos permitem transformar em informação os dados extraídos da base original. As medidas de tendência central são utilizadas para resumir toda a série de dados em um único valor ⇒ Média; ⇒ Mediana; ⇒ Moda Média Mediana Moda Necessário resumir mais ainda os dados Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 2 𝑋: variável aleatória (Maiúsculo); 𝑥𝑖: o valor da variável 𝑋 observada no indivíduo 𝑖; 𝑖 varia de 1 até 𝑛, sendo 𝑛 o tamanho da amostra; Média amostral: 𝑥 Média populacional: 𝜇 Média Mediana Moda Notação Matemática Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 3 Classificação de Variáveis, construção de tabelas e gráficos Medida de Tendência Central Medida de Variabilidade Exemplo Base de Dados Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 4 A média amostral é calculada da seguinte forma: 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑛 = 1 𝑛 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 Exemplo: Calcule a média amostral do desempenho na disciplina Estatística e Probabilidade utilizando os dados mostrados no slide 4 (Notas_EST) 𝑥 = 1 15 2,79 + 4,3 + 4,46 + 7,64 + 7,7 + 2,09 + 4,94 + 5,78 + 8,33 + 7,45 + 5,28 + 10 + 7,8 + 5,56 + 4,15 = 88,27 15 = 5,88 Média Mediana Moda Média Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 5 A média amostral para tabela de frequência simples é calculada da seguinte forma: 𝑥 = 𝑛1𝑥1 + 𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑛𝑥n 𝑛 = 1 𝑛 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 Média Mediana Moda Média Amostral para Tabela de Frequência Simples 𝑥 = 1 15 17.1 + 18.1 + 20.2 + ⋯ 24.1 = 21,0667 Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 6 Com aproximação ⇒ Não conhecemos as observações da amostra em tabelas de frequência, então, usa-se o ponto médio do intervalo Média Mediana Moda Média Amostral para Tabela de Frequência por Intervalo 𝑥 ≈ 1 15 350.1 + 450.1 + 550.5 + ⋯ 750.4 ≈ 610 Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 7 A mediana (md) é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. ⇒ Pelo menos 50% dos valores são menores ou iguais à mediana ⇒ Pelo menos 50% dos valores são maiores ou iguais à mediana Para calcular a mediana é necessário ordenar os dados de forma crescente. Seja: 𝑥 1 ≤ 𝑥 2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥 𝑛 em que 𝑥 1 representa o menor valor observado, 𝑥 2 o segundo menor valor e assim sucessivamente. Média Mediana Moda Mediana Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 8 A mediana da variável X pode então ser definida como: md X = 𝑥 𝑛+1 2 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2+1 2 Média Mediana Moda Mediana se 𝑛 é impar se 𝑛 é par Exemplo: Calcule a mediana do desempenho na disciplina Estatística e Probabilidade utilizando os dados mostrados no slide 4 (Notas_EST). Dados: {2,79; 4,3; 4,46; 7,64; 7,7; 2,09; 4,94; 5,78; 8,33; 7,45; 5,28; 10; 7,8; 5,56; 4,15} Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 9 Dados: {2,79; 4,3; 4,46; 7,64; 7,7; 2,09; 4,94; 5,78; 8,33; 7,45; 5,28; 10; 7,8; 5,56; 4,15} ⇒ Ordenar os dados em ordem crescente {2,09; 2,79; 4,15; 4,3; 4,46; 4,94; 5,28; 5,56; 5,78; 7,45; 7,64; 7,7; 7,8; 8,33; 10} ⇒ Com n = 15, temos a situação em que n é impar. Logo 𝑥 15+1 2 = 𝑥 8 = 5,56 Média Mediana Moda Mediana Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 10 • Refazer o exercício considerando apenas 14 observações Dados: {2,79; 4,3; 4,46; 7,64; 7,7; 2,09; 4,94; 5,78; 8,33; 7,45; 5,28; 10; 7,8; 5,56} ⇒ Ordenar os dados em ordem crescente {2,09; 2,79; 4,3; 4,46; 4,94; 5,28; 5,56; 5,78; 7,45; 7,64; 7,7; 7,8; 8,33; 10} ⇒ Com n = 14, temos a situação em que n é par. Logo 𝑥 14 2 + 𝑥 14 2 +1 2 = 𝑥 7 + 𝑥 8 2 = 5,56 + 5,78 2 = 5,67 Média Mediana Moda Mediana Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 11 • A moda (mo) é a realização mais frequente do conjunto de dados observados. Exemplo: Para a variável Idade, a moda é igual a 21 anos. Média Mediana Moda Moda Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 12 • A moda pode ser calculada para variáveis qualitativas e quantitativas – requer a construção de uma tabela de frequência • A mediana pode ser calculada para variáveis qualitativas ordinais e para variáveis quantitativas – exige que os dados sejam ordenados • A média pode ser calculada apenas para variáveis quantitativas – exige a realização da operação matemática de soma Média Mediana Moda Limitações para aplicação Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Posição 13