Slide - Probabilidade - Estatística e Probabilidade 2020-2

PROBABILIDADE June 30, 2021 Bioestatística Parte I June 30, 2021 1 / 48 PROBABILIDADE 1 Probabilidade Introdução Operações com Eventos Definição Clássica de Probabilidade Definição axiomática de probabilidade Exercícios Probabilidade condicional Independência de Eventos Partição de um espaço amostral Teorema se Bayes 2 Referências Bibliográficas Bioestatística Parte I June 30, 2021 2 / 48 Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas utilizadas nas tomadas de decisões. Bioestatística Parte I June 30, 2021 3 / 48 Fenômeno aleatório (ou experimento aleatório) É a situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Exemplo: as condições climáticas para o próximo domingo não podem ser estabelecidas com total acerto. (Modelos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências nessas situações). Bioestatística Parte I June 30, 2021 4 / 48 Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis, de um experimento aleatório. Ele será representado pela letra grega Ω (ômega). Quanto ao número de elementos pode ser: Finito: Número limitado de elementos. Exemplo: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Infinito: Número ilimitado de elementos: a) Enumerável: Quando os possíveis resultados puderem ser postos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais (caso das variáveis aleatórias discretas). Exemplo: N b) Não Enumerável: Quando os possíveis resultados não puderem ser postos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais (caso das variáveis aleatórias contínuas). R Bioestatística Parte I June 30, 2021 5 / 48 Evento Os subconjuntos de Ω são denominados eventos e podem ser representados pelas letras maiúsculas A, B, · · · . O conjunto vazio será representado por Φ, como já é tradicional. Podem-se ter operações entre eventos da mesma forma que com conjuntos, como é mostrado a seguir. Bioestatística Parte I June 30, 2021 6 / 48 União A união de dois conjuntos A e B, denotada por A U B, representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. É o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B ou ambos ocorrerem. Bioestatística Parte I June 30, 2021 7 / 48 Intersegao A intersegao do evento A com o evento B, denotada por ()éa ocorréncia simultanea de A e B. Sejam dados: A={ 1, 2,3, 4} e B={0, 1,3, 5} Temos: AN B={1, 2,3,4}N{0,1,3,5}={1,3} A B 0 s Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A ∩ B = Φ Bioestatística Parte I June 30, 2021 9 / 48 Dizemos que A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua interseção é vazia. O complementar de A será dado por Ac e temos que: A ∪ Ac = Ω e A ∩ Ac = Φ. Algumas vezes, encontramos A no lugar de Ac. Bioestatística Parte I June 30, 2021 10 / 48 Exemplo Lançam-se duas moedas. Sejam os eventos: A: saída de faces iguais. B: saída de cara na primeira moeda. Determinar os eventos: a) A ∪ B b) A ∩ B c) Ac d) Bc e) (A ∪ B)c f) (A ∩ B) Bioestatística Parte I June 30, 2021 11 / 48 Exemplo Suponha c = cara e k = coroa Ω = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} A: saída de faces iguais. A = {(c, c), (k, k)} B: saída de cara na primeira moeda. B = {(c, c), (c, k)} a) A ∪ B = {(c, c), (c, k), (k, k)} b) A ∩ B = {(c, c)} c) Ac = {(c, k), (k, c)} d) Bc = {(k, c), (k, k)} e) (A ∪ B)c = {(k, c)} f) (A ∩ B) = {(c, k), (k, c), (k, k)} Bioestatística Parte I June 30, 2021 12 / 48 Definição Clássica de Probabilidade Dado um experimento aleatório, sendo Ω seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de Ω tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, Ω é um conjunto equiprovável. Definimos a probabilidade de um evento A (A ⊂ Ω) ao número real P(A) tal que: P(A) = número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis = n(A) n(Ω) Bioestatística Parte I June 30, 2021 13 / 48 Exemplo Considerando o lançamento de um dado, pede-se: a) A probabilidade do evento A (obter um número par na face superior). b) A probabilidade do evento B (obter um número menor ou igual a 6 na face superior). c) A probabilidade do evento C (obter um número 4 na face superior). d) A probabilidade do evento D (obter um número maior que 6 na face superior). Bioestatística Parte I June 30, 2021 14 / 48 Exemplo Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , n(Ω) = 6 a) A = {2, 4, 6} , n(A) = 3, logo, P(A) = n(A) n(Ω) = 3 6 = 1/2 b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6, logo, P(B) = n(B) n(Ω) = 6 6 = 1 c) C = {4}, n(C) = 1, logo, P(C) = n(C) n(Ω) = 1 6 = 1/6 d) D = {}, n(D) = 0, logo, P(D) = n(D) n(Ω) = 0 6 = 0 Bioestatística Parte I June 30, 2021 15 / 48 Definigao axiomatica de probabilidade Uma fungao P(-) 6 denominada probabilidade se satisfaz as condigoes: @ (i)0< P(A) <1VAC2 @ (ii) PQ) =1 @ (iil) POs; Aj) = _-, P(A;), com os A; disjuntos, ou seja, P(A, U Ag) = P(A) + P(Ao2) Essas propriedades são conhecidas como axiomas de Kolmogorov. Os axiomas, muitas vezes, se inspiram em resultados experimentais e que, assim, definem a probabilidade de forma que possa ser confirmada experimentalmente. A partir daí, pode-se mostrar que valem as seguintes relações: Bioestatística Parte I June 30, 2021 17 / 48 1) Se A e B são dois eventos quaisquer, então, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 2) Para o evento complementar vale a seguinte relação: P(Ac) = 1 − P(A) 3) Se A ⊂ B,entao,P(A) ≤ P(B) 4) P(A ∪ B) = P(A ∩ B) = 1 − P(A ∩ B) 5) P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) Bioestatística Parte I June 30, 2021 18 / 48 Exercícios Exercício 1 Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que P(A) = 0, 2; P(B) = p; P(A ∪ B) = 0, 5; P(A ∩ B) = 0, 1. Determine o valor de p. Exercício 2 Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? Bioestatística Parte I June 30, 2021 19 / 48 Exercícios Exercício 3 O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos são definidos: A: a pessoa tem mais de 21 anos B: a pessoa tem menos de 21 anos C: a pessoa é um rapaz D: a pessoa é uma moça Calcule P(B ∪ D) e P(A ∩ C) Bioestatística Parte I June 30, 2021 20 / 48 Probabilidade condicional Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é representada por P(A|B): P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) Caso P(B) = 0, P(A|B) pode ser definido arbitrariamente. Nesse curso, usaremos P(A|B) = P(A). Bioestatística Parte I June 30, 2021 21 / 48 Exemplo Há apenas dois modos, mutuamente exclusivos, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Bioestatística Parte I June 30, 2021 22 / 48 Árvore de Probabilidades Foi dito quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades! Teremos: Bioestatística Parte I June 30, 2021 23 / 48 Árvore de Probabilidades Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele poderá chegar com atraso ao congresso. E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso. Bioestatística Parte I June 30, 2021 24 / 48 Quantos caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades? Temos quatro caminhos: 1o) viajar de navio e chegar atrasado; 2o) viajar de navio e chegar em tempo; 3o) viajar de avião e chegar atrasado; 4o) viajar de avião e chegar em tempo. Daí, analisemos esta árvore e esses caminhos para responder possíveis perguntas. Bioestatística Parte I June 30, 2021 25 / 48 a) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado? Daí, multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos: (0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio e atrasado)=0,034 b) Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado? Multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos: (0,60)x(0,01)= 0,006 = 0,6% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: P(avião e atrasado)=0,006 Bioestatística Parte I June 30, 2021 26 / 48 Árvore de Probabilidades c) Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado? A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o meio de transporte! Bioestatística Parte I June 30, 2021 27 / 48 Árvore de Probabilidades Como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que: 3, 4% + 0, 6% = 4% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: P(atrasado)=0,04 Bioestatística Parte I June 30, 2021 28 / 48 Árvore de Probabilidades d) Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo? Aqui também não foi estabelecido qual seria o meio de transporte que levaria Genésio a não se atrasar! No item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado (independente do transporte utilizado) foi de 4%. P(atrasado) + P(em tempo) = 100% 4% + P(em tempo) = 100% P(em tempo)= 100% − 4% P(em tempo) = 96% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: P(em tempo)=0,96. Bioestatística Parte I June 30, 2021 29 / 48 Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. Qual a probabilidade de ele ter ido de avião? Bioestatística Parte I June 30, 2021 30 / 48 Probabilidade Condicional! Para responder a essa pergunta, teremos que aplicar a seguinte expressão: P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) → P(avião dado atrasado) = P(avião e atrasado) / P(atrasado) Já concluímos anteriormente que: P(avião e atrasado)=0,006. Vimos ainda que P(atrasado)=0,04. → P(avião dado atraso) = P(avião e atraso) / P(atraso) → P(avião dado atraso) = 0, 006/0, 04 = 0, 15 = 15% Resposta! Bioestatística Parte I June 30, 2021 31 / 48 Exemplo 2 Bioestatística Parte I June 30, 2021 32 / 48 Independência de eventos Dizemos que A e B são independentes se: P(A ∩ B) = P(A)P(B) ou equivalentemente, P(A|B) = P(A), P(B) > 0 Esta última relação evidencia o significado de independência. O conhecimento de que B ocorreu não influencia na probabilidade de que A ocorra. Bioestatística Parte I June 30, 2021 33 / 48 Exemplo 1 A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes: Qual a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o gato estar vivo daqui a 5 anos? Qual a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos? Bioestatística Parte I June 30, 2021 34 / 48 Suponha P(G) = probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos P(G) = probabilidade de um gato nao estar vivo daqui a 5 anos P(C) = probabilidade de um cao estar vivo daqui a 5 anos P(C) = probabilidade de um cao no estar vivo daqui a 5 anos Assim, P(G) = 3, P(G) = 2, P(C) =4e P(C) =¢ Considerando os eventos independentes: @ Qual a probabilidade, ao mesmo tempo, de 0 cao estar vivo e de o gato estar vivo daqui a 5 anos? P(C)\G)=4x2=8 @ Qual a probabilidade de somente o cao estar vivo daqui a 5 anos? P(C(\C)=4x2=3 Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2, P(B) = p, P(AUB) = 0,6. Calcular p considerando A e B: @ i: mutuamente exclusivos @ ii: independentes Exercício 2 A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 30 anos é 2/5. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 2/3. Considerando os eventos independentes, determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: a: ambos estejam vivos b: somente o homem esteja vivo c: somente a mulher esteja viva d: nenhum esteja vivo e: pelo menos um esteja vivo Bioestatística Parte I June 30, 2021 37 / 48 Partição de um espaço amostral Os eventos C1, C2, · · · , Ck formam uma partição do espaço amostral se eles nao tem interseção entre si e sua uniao é igual ao espaço amostral. Isto é: Ci ∩ Cj = Φ para i ̸= j e ∪k i=1Ci = Ω. A figura a seguir apresenta um exemplo de partição de 6 eventos. Bioestatística Parte I June 30, 2021 38 / 48 Seja A um evento qualquer em Ω. Então, pela figura a seguir temos: Bioestatística Parte I June 30, 2021 39 / 48 Teorema da Probabilidade Total O evento A, neste caso, sera dado entao, por: A= (ANC) U(AN C2) U(AN C3) Sendo assim, a probabilidade de A, P(A), é dada por P(A) = Dia PIN A) Mas, P(C;N A) = P(C;)P(A|C;) , 7 = 1,2,--- ,k. Logo, P(A) = Dia P(Ci)(PCAICi) O qual denominamos Teorema da Probabilidade Total. Teorema se Bayes Suponha que os eventos C1, C2,--- , Cy formem uma partigao do espa¢go amostral 2 tal que P(C;) > 0, 7 = 1,2,--- ,k. Seja A qualquer evento tal queP(A) > 0. Entao, para qualquer 1=1,2,--- ,k temos: P(C;)P(AIC; P(Gj|A) = —PCAP (Ales) Dini P(Ci) P(AICi) Exemplo 1 Bioestatística Parte I June 30, 2021 42 / 48 Exemplo 1 Bioestatística Parte I June 30, 2021 43 / 48 Exemplo 2 Bioestatística Parte I June 30, 2021 44 / 48 Exercício 1 Em um cinema três filmes A, B e C foram responsáveis por toda a clientela da última semana, sendo 20% dos clientes assistiram ao filme A, 30% ao filme B e 50% assistiu ao filme C. Uma pesquisa, realizada após cada apresentação dos filmes, mostrou que 20% dos clientes que assistiram ao filme A estavam insatisfeitos, e a proporção de insatisfeitos com os filmes B e C era foi de 5% e 2%, respectivamente. Suponhamos que nenhum cliente assistiu a mais de um filme naquela semana. Um cliente insatisfeito fez uma reclamação via urna sem se lembrar de especificar a sala onde viu o filme. Pergunta-se: Qual é a probabilidade deste cliente ter assistido ao filme A? Bioestatística Parte I June 30, 2021 45 / 48 Exercício 2 Em um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de obter uma carta de espadas ou uma carta de paus? E a probabilidade de obter uma carta de paus ou uma carta de número 8? E por último, qual é a probabilidade de uma carta selecionada deste baralho não ser de espadas ou de paus? Exercício 3 Qual é a probabilidade de se ter obtido um número par no lançamento de um dado uma vez que se sabe que o resultado de tal lançamento gerou um número menor que 4? Bioestatística Parte I June 30, 2021 46 / 48 Exercício 4 Em certo colégio 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado ao acaso e tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? Bioestatística Parte I June 30, 2021 47 / 48 MAGALHÃES, M. N. ; LIMA,A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. Edusp.2004. MORETTIN, L.G. Estatística Básica - Probabilidade e Inferência. (Volume ùnico)Editora Pearson. 2010. SOARES, J. F. SIQUEIRA, A. L. Introdução À Estatística Médica. Coopmed. 2002. Bioestatística Parte I June 30, 2021 48 / 48